2025-2026学年江苏省常州市正行中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年江苏省常州市正行中学高二（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线x2=y的准线方程为（ ）
A. x=-1B. x=-C. y=-1D. y=-
2.已知数列{an}为等比数列，其中a6，a10是方程x2+8x+5=0的两根，则a8=（ ）
A. B. C. D.
3.若两平行直线x+my+2=0与2x-4y+n=0（n＞0）之间的距离是，则m+n=（ ）
A. -2B. -12C. 12D. 14
4.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=（ ）
A. 264B. 520C. 521D. 263
5.已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，且△PF1F2的内切圆半径为，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（ ）
A. B. 1C. D.
6.已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为180，则数列项数为（ ）
A. 11B. 19C. 9D. 21
7.已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=-1的对称点在y=kx-1的图象上，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（ ）
A. 540B. 504C. 408D. 390
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a8＜0，a5+a10＞0，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列{an}为递减数列B. a7≤0
C. Sn的最大值为S7D. 使得Sn＞0时n的最大值是14
10.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ）
A. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种
B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种
C. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种
D. 课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种
11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ）
A. |AB|的最小值为4
B. 若点A在第一象限，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为
C. 存在点A、B，使得OA⊥OB
D. 过点H（-2，1）作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，若点T为C的曲线段MON上任意一点，则△TMN面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的二项展开式中含x4的项的系数为 （用数字作答）.
13.已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦AB的长为 .
14.已知椭圆C：，O为坐标原点，直线y=kx与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P1，且，若直线QA与椭圆C交于点B，且=0，则椭圆C的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=（n+1）an，且a1=1.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
已知圆C经过点（1，0），圆心C在曲线y=2x（x＞0）上，且直线x-y-1=0被圆C截得的弦长为.
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（-1，-2）作圆C的切线，求切线的方程.
17.(本小题15分)
某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x（单位：千辆）与年使用人次y（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示.
（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型y=a+blgx或指数函数模型y=c•dx（c＞0，d＞0）对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出y关于x的回归方程；
（2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比30%.请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？
参考数据：vi=lgyi，.
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.，
其中n=a+b+c+d.
18.(本小题17分)
已知{an}为递增等差数列，a3+a6=30，a1a8=29，Sn为{an}的前n项和.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Mn，证明：.
19.(本小题17分)
已知双曲线G：的两条渐近线互相垂直，F1，F2分别为左右焦点，过F1的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当AB⊥x轴时，.
（1）求双曲线G的方程；
（2）过点A作直线x=-2的垂线，垂足为D.
（i）求证：直线BD过定点；
（ii）求△BDF2面积的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】7
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=（n+1）an，且a1=1，
当n≥2时，2Sn-1=nan-1，
两式相减可得2Sn-2Sn-1=（n+1）an-nan-1，即2an=（n+1）an-nan-1，
所以（n-1）an=nan-1，
所以，即是常数数列，
又a1=1，所以，则an=n
因为，
当n为偶数时，
=（22-12）+（42-32）+…+[n2-（n-1）2]
=（2-1）（2+1）+（4-3）（4+3）+…+[n-（n-1）][n+（n-1）]
=；
当n为奇数时，
=（22-12）+（42-32）+…+[（n-1）2-（n-2）2]-n2
=（2-1）（2+1）+（4-3）（4+3）+…+[（n-1）-（n-2）][（n-1）+（n-2）]-n2
=；
综上，数列{bn}的前n项和
16.【答案】（1）（x-1）2+（y-2）2=4 （2）x=-1与3x-4y-5=0
17.【答案】由散点图可知指数函数模型y=c•dx适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型．
因为y=c•dx，所以lgy=lgc+xlgd.
设lgy=v,则v=lgc+xlgd.
因为，，，，
所以．
把样本中心点（4，1.54）代入，得lgc=0.54，
所以，
所以，
所以，
即y关于x的回归方程为
提出零假设H0：是否报废与是否保养无关．
由题意，报废电动车中保养过的共20×30%=6台，未保养的电动车共20-6=14台，
2×2列联表如下：
则，
根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为是否报废与保养有关
18.【答案】已知{an}为递增等差数列，设公差为d,
根据等差数列的性质可得：a3+a6=a1+a8=30，
又a1a8=29，且a8＞a1，
解得a1=1，a8=29，，
则数列{an}的通项公式为an=1+4（n-1）=4n-3；
证明：
Sn为{an}的前n项和，
设数列的前n项和为Mn，
根据等差数列的求和公式可得，
则
=
=，
则，
由，可得，
即有
19.【答案】 （i）证明：易知，
即F1（-4，0），
过F1的直线分别交双曲线左支于A，B两点，
所以过F1的直线斜率不为0，
设过F1的直线方程为x=-4+ty，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得（t2-1）y2-8ty+8=0，
由韦达定理得，
所以，，
此时需满足，
解得-1＜t＜1，
D（-2，y1），
所以直线BD的斜率为，
则直线BD方程为，
由对称性分析可知直线BD过的定点在x轴上，
所以在中，
令y=0，
解得，
又y1+y2=ty1y2，
所以，
则直线BD过定点（-3，0）；（ii） x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
\
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
合计
60
100
100.54
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
P（x2≥k）
0.25
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
k
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
\
保养
未保养
合计
报废
6
14
20
未报废
54
26
80
合计
60
40
100