江苏常州市2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷（含解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 6
【答案】D
【解析】
【详解】由于,所以集合中元素个数为
2. 已知a，b为实数，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可得结论.
【详解】由，可得且，
则由“”可得“”，
但是不能由“”得到“”，因为b可能为0，
则“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由于，所以，
则
4. 已知函数是偶函数，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用偶函数的定义即可求解.
【详解】已知函数的定义域为，
所以 ，
又因为函数是偶函数，所以，解得，故C正确.
5. 已知幂函数的图象不经过原点，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可.
【详解】由题意可得，解得或，
当时，，此时图象不经过原点，符合题意；
当时，，此时图象经过原点，不符合题意；
所以，.
6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将函数单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数后构造辅助函数，通过导数判断单调性确定函数上界，进而得到参数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，求导得.
由在上单调递增，得对任意恒成立，整理得.
设，，求导得，故在上单调递增.
因此，要使在上恒成立，需.
7. 两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过大轮的转速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，再根据弧长公式计算可得.
【详解】大轮有60齿，小轮有45齿，当大轮转动一周时小轮转动周，
当大轮的转速为时，小轮转速为，
小轮周上一点每1s转过的弧度数为：.
又小轮的半径为，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：.
8. 已知锐角满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由和差化积公式结合题设可得：，然后 结合为锐角，二倍角的正切公式可得答案.
【详解】因，
可得，
则，
得到，又结合为锐角，
可得，从而，
得到，
结合，可得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 数集，，，满足等式，下列对应是函数的有（ ）
A. ，其中，B. ，其中，
C. ，其中，D. ，其中，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合指数函数、对数函数的定义域与值域，判断对应关系是否满足“定义域内任意元素在陪域中都有唯一确定元素与之对应”的要求即可
【详解】由题设等式得，其反函数为：
其中的定义域为，值域为；的定义域为，值域为，
对于A，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故A正确；
对于B，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故B正确；
对于C，定义域为，当时无意义，不存在对应的，不满足函数定义，不是函数，故C错误；
对于D，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故D正确；
10. 已知函数的图象关于直线轴对称，则（ ）
A. 在上单调递减
B. 在内有2个极值点
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】
【分析】 直接利用函数的对称性求出函数的关系式，根据余弦函数的单调性即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据余弦函数的对称性即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D.
【详解】由题意得，所以，即，又，
所以，故，
对于A，当时，，因为在单调递减，而，故A正确；
对于B，当时，，由余弦函数的图象知有一个极值点，故B不正确；
对于C，当时，，所以是曲线的对称中心，故C正确；
对于D，设切点，令，
得，或，
从而得或，
将和代入可得点的坐标和，
将点代入直线方程验证知均不在直线上，故D不正确.
11. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A. 为奇函数B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A,先令 ，求得，再令，可得，即可判断；对于B，令代入求解后，即可判断；对于C，令，代入求解后即可判断；对于D，通过计算可得函数是周期函数，最小正周期为，由此求解即可.
【详解】对于A,令 ，得，解得，
令，得，
即，
所以或，
当时，令，得与矛盾，故舍去;
所以，
即，
所以为奇函数，故A正确；
对于B，因为，，
所以，
即，解得，故B错误；
对于C，令，
得
所以，故C正确；
对于D，令，
得，
解得，
令，则，
所以，解得，
，解得；
令，
得，解得；
，解得；
所以函数是周期函数，最小正周期为，
又
，
所以
，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，若，则实数________．
【答案】
10
【解析】
【分析】根据对数的计算公式即可求解.
【详解】由题意，故.
13. 已知函数的部分图象如下图所示，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据图象求得的解析式，然后计算即可.
【详解】由图象可得，，，.
.
又的图象经过，，得.
.
.
14. 已知，，若，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意，，则，
令，，
则，
等号成立时，即，，
故的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，，求的取值范围．
【答案】（1）

（2）
【解析】
【分析】（1）由二次不等式解法结合题设可得答案；
（2）由题可得，然后由函数单调性结合题设可得答案.
【小问1详解】
当，，则不等式解集为；
【小问2详解】
，因，则.
要使时，，则.因均在上单调递增，
则在上单调递增，从而，即.
16. 已知角的终边经过点．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先根据三角函数定义求出，再根据二倍角公式求出，最后利用正切的两角和公式求出答案.
（2）先求出，再利用同角三角函数关系式求出，然后分两种情况计算.
【小问1详解】
已知角的终边经过点，.
，.
【小问2详解】
已知角的终边经过点，，.
，.
.
当时，.
当时，.
综上，或.
17. 已知函数为奇函数．
（1）求实数的值;
（2）设函数．
①求的值：
②证明函数的图象关于点对称．
【答案】（1）；
（2）①；
②证明：因为，其定义域为，
所以，
所以，
所以函数的图象关于点对称．
【解析】
【分析】（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可；
（2）①由题意可得，将代入求解即可；
②证明即可.
【小问1详解】
因为为奇函数，
由，得，
即，
当时，得，定义域为，不满足题意；
当时，由，得，
又因为是奇函数，
故定义域关于原点对称，
所以，
解得；
当时，，
定义域为，关于原点对称，
且，满足题意；
所以；
【小问2详解】
①因为，
所以；
②略；
18. 已知函数．
（1）若的最小正周期为，求的值；
（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（3）已知实数，满足，若对任意满足此条件的，若关于的方程在区间内至少存在2026个不同的实数解，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正切型函数的周期公式求解；
（2）依题意由，有，可求的取值范围；
（3）依题意可知至少包含2025个周期，则有，求解的取值范围即可.
【小问1详解】
函数的最小正周期为，
解得.
【小问2详解】
时，，
若在区间上单调递增，则有，解得，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
方程，解得，即，
若关于的方程在区间内至少存在2026个不同的实数解，
则在区间内至少存在2026个不同的实数解，至少包含2025个周期，
由，得，所以，
所以的取值范围为.
19. 已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）是否存在实数，使得的两个零点互为相反数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）极大值为，极小值为.
（2）时，在上单调递减，在单调递增；
时，在和上单调递增，在上单调递减；
时，在R上单调递增；
时， 在和上单调递增，在上单调递减.
（3）不存在满足条件的a，理由如下：
假设存在实数a，使得的两个零点互为相反数，设两个零点为和，
则有：，
两式相减消去参数a，得，
令，
求导得，对任意，恒成立，
仅在处导数为0，故在R上单调递增，
又，因此仅有唯一解，
但时，与零点定义矛盾，故不存在满足条件的a.
【解析】
【分析】（1）利用导数求的极值；
（2）讨论a的取值范围，利用导数求函数的单调性；
（3）假设存在满足条件的a，利用零点的定义得出矛盾.
【小问1详解】
当时，，
对函数求导得：，
解得或；解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为，极小值为.
【小问2详解】
，
对求导得，
当时，恒成立，
时，单调递减；时，单调递增，
当时，令得或，
①若，则，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
②若，则，恒成立，在R上单调递增；
③若，则，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
综上所述，时，在上单调递减，在单调递增；
时，在和上单调递增，在上单调递减；
时，在R上单调递增；
时， 在和上单调递增，在上单调递减.
【小问3详解】
略