2025--2026学年江苏省常州市正行中学高一下学期期末考试数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省常州市正行中学高一下学期期末考试数学试题-含解析试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 从含有500个个体的总体中，一次性地抽出25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么，总体中某个个体被抽到的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D. 3
4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5. 如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件与事件为对立事件
C. 事件与事件为互斥事件D. 事件与事件相互独立
7. 在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（实线为甲的折线图），则（ ）
A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等
B. 甲的环数的中位数比乙的大
C. 甲的环数的众数比乙的小
D. 乙打靶的成绩比甲的更稳定
10. 中，角所对的边分别为，，，则（ ）
A. B. 的外接圆半径为
C. 面积的最大值为D. 的内切圆半径的最大值为
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内且满足，，，则下列说法正确的有（ ）

A. 若，则
B. 若，则四面体的体积为
C. 若平面，则点的轨迹长度为
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 计算：______．
13. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，侧面积为，则圆台的高为______．
14. 受台风影响，路边一棵大树在树干某点处被台风折断且形成角，树尖着地处与树根相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．若，则折断前树身长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知平面向量，，，且与的夹角为．
（1）求与的夹角；
（2）求．
16. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面．
17. 为选拔运动员参加大学生运动会，某高校对40名大学生选手进行专项成绩考核（满分100分），考核成绩的频率分布直方图如图所示．现从得分在［70，90）中，按分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人．

（1）求；
（2）从5人中随机抽取2人进行考核，求至少有1人分数低于80分的概率．
18. 记的内角的对边分别为，面积为，已知，．
（1）求；
（2）若边上的中线，求；
（3）若，点分别在边上，线段将分成面积相等的两部分，求的最小值．
19. 如图，在平面四边形中，，，，，将沿着翻折得到（保留原平面四边形）形成四棱锥．
（1）若二面角为直二面角．
①求直线与平面所成角的正弦值；
②过点且平行于平面的平面交于点，求三棱锥的体积；
（2）点在同一个球面上，设该球面的球心为，半径为，二面角和的平面角大小分别为，求（结果用表示）．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：方法一：
，将等式两边同时除以，分子分母同乘进行化简得，
∴，∴ .
方法二：
利用复数模的运算性质：对任意复数，恒有，
对左右两边同时取模，得，即，
∵ ，，∴ .
2. 从含有500个个体的总体中，一次性地抽出25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么，总体中某个个体被抽到的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据简单随机抽样的性质，个体被抽到的概率等于样本容量除以总体容量，直接计算即可.
解答过程：已知总体容量为500，抽取的样本容量为25，则总体中某个个体被抽到的概率.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D. 3
答案：C
解析：
思路：利用两角和的正切公式展开，即可求解.
解答过程：由，可得： ，
两边同乘去分母得：，
展开右侧得：，
解得.
4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
答案：B
解析：
思路：结合线面平行的定义、判定定理及性质定理逐一验证各选项，即可.
解答过程：对选项A：若，，则或，因此A错误；
对选项B：该命题是线面平行的性质定理，即如果一条直线与一个平面平行，
如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行，因此B正确；
对选项C：若，，则或，因此C错误；
对选项D：若，，则与的位置关系为平行或异面，因此D错误.
5. 如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
解答过程：在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，
所以.
6. 掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件与事件为对立事件
C. 事件与事件为互斥事件D. 事件与事件相互独立
答案：D
解析：
思路：由各类事件的定义结合事件独立性的公式依次验证选项即可.
解答过程：由题意得，故A错误，
，故B，C错误，
，，所以，
故事件与事件相互独立，故D正确.
7. 在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值
解答过程：设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
则，，，.
∴，
，, .
设直线和所成角为，则，
所以.
8. 已知，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为，所以，
所以，
化简得，所以.
又由于，所以​​，
又，，
所以，所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（实线为甲的折线图），则（ ）
A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等
B. 甲的环数的中位数比乙的大
C. 甲的环数的众数比乙的小
D. 乙打靶的成绩比甲的更稳定
答案：AD
解析：
思路：根据图中数据计算平均数、中位数、众数、方差，然后逐一判断即可.
解答过程：由图可知，甲的环数由小到大排列：，
乙的环数由小到大排列：，
对A，甲的平均环数，
乙的平均环数，正确；
对B，甲的环数的中位数为，乙的环数的中位数为，错误；
对C，甲的环数的众数为，乙的环数的众数为，错误；
对D，甲的方差，
乙的方差，
因为，所以乙打靶的成绩比甲的更稳定，正确.
10. 中，角所对的边分别为，，，则（ ）
A. B. 的外接圆半径为
C. 面积的最大值为D. 的内切圆半径的最大值为
答案：ACD
解析：
思路：根据余弦定理将等式中的角转化为边化简即可求出边的值，根据正弦定理即可判断B选项，利用已知角列出面积公式，根据基本不等式求解面积的最大值，根据等面积法利用内切圆半径列出面积公式，根据半径表达式计算最大值．
解答过程：由余弦定理可得，整理得，解得，故A正确；
由正弦定理可得，则（为三角形外接圆的半径）；
，
由余弦定理可知，
因为，当且仅当时，等号成立；
故，故，则面积的最大值为；
设为的内切圆半径，则，
则，因为，当且仅当时，时，等号成立；
则，
令，则，则，
当时，即，取最大值，的内切圆半径的最大值为．
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内且满足，，，则下列说法正确的有（ ）

A. 若，则
B. 若，则四面体的体积为
C. 若平面，则点的轨迹长度为
D. 若，则的最小值为
答案：ABD
解析：
思路：应用向量关系证明线线平行判断A，根据三棱锥体积公式计算判断B，应用线面平行及边长计算判断C，把平面翻折展开至平面，当三点共线时，取最小值，再结合余弦定理计算判断D.
解答过程：对于A，当时，，取线段的中点，
则，即共线，
由于为的中点，在正方体中，所以，故A正确；

对于B，当时，则，所以是的中点，此时点到平面的距离为，
所以，故B正确；
对于C，取线段的中点，线段的中点，
当点位于线段上时，，平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，所以平面，
由于交于点，平面，所以平面平面，平面，所以平面，
因此点的轨迹为线段，由于正方体的棱长为，，所以点的轨迹长度为，故C错误；

对于D，当时，点位于线段上，把平面翻折展开至平面，如图所示，当点三点共线时，取最小值，
在中，由于为的中点，正方体的棱长为，
由勾股定理可知，，，
由余弦定理得，所以，
又因为为等边三角形，所以在中，，
所以，
所以，代入数据，解得，
因此的最小值为.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 计算：______．
答案：
解析：
思路：根据虚数单位的幂次运算规则，分别计算各项的值后求和即可得到结果；
解答过程：，
13. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，侧面积为，则圆台的高为______．
答案：
3
解析：
解答过程：设圆台的母线长为，高为，上底面半径，下底面半径.
∵ 圆台的侧面积公式为，且已知，
∴ 将已知条件代入得 ，解得.
∵ ，
代入，得.
14. 受台风影响，路边一棵大树在树干某点处被台风折断且形成角，树尖着地处与树根相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．若，则折断前树身长度为______．
答案：（或）米
解析：
思路：在中，利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理分别求出AB和BC的长度，最后求和即可．
解答过程：在中，由题意可知，，．
∴．
由正弦定理，得，
∴．
故折断前树身长度为（米）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知平面向量，，，且与的夹角为．
（1）求与的夹角；
（2）求．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由向量的数量积公式可得，即可得夹角为.
（2）由向量的数量积公式对平方再开方即可求解.
（1），
，
所以与的夹角为.
（2），
，
则.
16. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面．
答案：（1）见解析；
（2）见解析﹒
解析：
思路：(1)设与交于点，接，可得，即可证明∥平面；
(2)证明AC⊥BD及AC⊥即可﹒
（1）设与交于点，接，
底面是菱形，
为中点，
又∵是的中点，
，
面，平面
∥平面；
（2）在直四棱柱中，面面，
∴．
∵底面为菱形，∴，
∴面面，
∴面﹒
17. 为选拔运动员参加大学生运动会，某高校对40名大学生选手进行专项成绩考核（满分100分），考核成绩的频率分布直方图如图所示．现从得分在［70，90）中，按分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人．

（1）求；
（2）从5人中随机抽取2人进行考核，求至少有1人分数低于80分的概率．
答案：（1）

（2）解析：
思路：（1）根据频率之和等于1列式计算即可；
（2）根据古典概型概率公式求解即可.
（1）由图可知，解得.
（2）考核成绩在内的频率分别为，
所以抽取的5人中，考核成绩在内的分别为人和人，分别记为，
从5人中随机抽取2人的样本点：
，共10个，
至少有1人分数低于80分的样本点有：，共7个，
所以至少有1人分数低于80分的概率.
18. 记的内角的对边分别为，面积为，已知，．
（1）求；
（2）若边上的中线，求；
（3）若，点分别在边上，线段将分成面积相等的两部分，求的最小值．
答案：（1）
（2） （3）4
解析：
思路：（1）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解即可.
（2）根据余弦定理求出，以及三角形面积公式求解即可.
（3）根据三角形面积以及基本不等式求解即可.
（1）已知，则，解得.
因为，所以.
（2），是边上的中线，

在中，.
根据余弦定理，，代入化简得.
已知，，所以，即.
由(1)知，因此.
所以.
（3）由，，解得，.

由正弦定理，解得，，
则.
设，，由平分面积得12mnsinπ3=3⟹mn=4 .
结合得.
由余弦定理，
由基本不等式，等号成立当且仅当，
因此最小值为.
19. 如图，在平面四边形中，，，，，将沿着翻折得到（保留原平面四边形）形成四棱锥．
（1）若二面角为直二面角．
①求直线与平面所成角的正弦值；
②过点且平行于平面的平面交于点，求三棱锥的体积；
（2）点在同一个球面上，设该球面的球心为，半径为，二面角和的平面角大小分别为，求（结果用表示）．
答案：（1）①；②；
（2）．
解析：
思路：（1）①根据翻折变换可得全等三角形，并且根据直二面角可作出在底面的投影，作出直线与平面所成角，根据直角三角形求解夹角的正弦值；
②根据面面平行的性质，两平面平行，则平面内直线与另一平面平行，根据线面平行确定点的位置，进而通过换底计算三棱锥的体积；
（2）利用球心与切面圆心连线垂直于截面的性质，构造二面角的平面角，根据角所在的直角三角形得到正切值，代入计算结果即可．
（1）过点作，连接；
因为二面角为直二面角，所以平面平面，
且平面平面，
因为，平面，所以平面，
故为直线与平面所成角；
因为，，，，
所以，；
因为沿着翻折得到，所以；
故，；
在中，，解得；
则；
故在直角三角形中，，
在直角三角形中，；
故；
故直线与平面所成角的正弦值为．
②连接，取靠近点的四等分点，连接，；
由①可知，，根据翻折可知；
又因为，故，
因为平面，平面，所以平面；
因为，故，
因为平面，平面，所以平面；
又，且平面，故平面平面；
故为靠近点的四等分点；则，
而，
到平面的距离为；
故；
（2）取的中点，连接；
的外接圆圆心为，则平面，则
的外接圆圆心为，则平面，则；
因为为的中点，故，因为，故，
又因为，且平面，则平面，
故，故为二面角的平面角；
则；
因为为的中点，则，且，
故四边形为平行四边形，则，则；
又因为，且平面，则平面，
故，故为二面角的平面角；
可得；
则．