2025-2026学年江苏省常州市第二中学高二（上）期末数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年江苏省常州市第二中学高二（上）期末数学试卷（含答案+解析）试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.A53−C42=( )
A. 66B. 54C. 26D. 14
2.四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识.每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有( )
A. 18种B. 30种C. 36种D. 72种
3.求与直线x+y−4 3=0平行且将圆x2−2x+y2=0的周长平分的直线方程为( )
A. x−y−1=0B. x+y+1=0C. x+y−1=0D. x−y+1=0
4.已知数列{an}满足an≠0，则“a1a4=a2a3”是“{an}为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5.如表是某企业在2023年1月−5月的5个月内购买某品牌碳酸锂价格y(单位：千元)与月份代码x的统计数据.由表中数据计算得到经验回归方程为y =b x+0.19，则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为( )
A. 2.41千元B. 2.38千元C. 2.35千元D. 2.32千元
6.已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2 2，则该抛物线的准线方程为( )
A. x=−12B. x=−1C. x=−2D. x=−4
7.若(1+2x)(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则a0+a1+a2+⋯+a7的值为( )
A. −2B. −3C. 253D. 126
8.双曲线C：x2−y2=4的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2，△F1AB的内切圆圆心分别为O1，O2，O3，则△O1O2O3的面积是( )
A. 6 2−8B. 6 2−4C. 8−4 2D. 6−4 2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.事件A，B满足P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(B|A)=0.3，则( )
A. P(A∪B)=0.75B. P(A|B)=0.375C. P(B|A−)=0.5D. P(A|B−)=0.5
10.下列说法正确的是( )
A. 用0，1，2，3，4能组成48个不同的3位数
B. 将10个团员指标分到3个班，每班要求至少得2个，有15种分配方法
C. 小明去书店看了4本不同的书，想借回去至少1本，有16种方法
D. 甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，有9种不同的方法
11.已知直线l：y=k(x+2)交y轴于点P，圆M：(x−2)2+y2=1，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则( )
A. 若直线l与圆M相切，则k=± 1515
B. 当k=2时，四边形PAMB的面积为2 19
C. 直线AB经过一定点
D. 已知点Q(74,0)，则|CQ|为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是 ．
13.已知椭圆C:x220+y216=1的一个顶点为B(0,−4)，直线l交椭圆于M，N两点，如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为 .
14.已知数列{an}满足an=an+1an−1−an+1−an−1+2(n≥2,n∈N∗)，若a2=a3=3，则a2026+a2027= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C经过坐标原点O和点(4,0)，且圆心在x轴上.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l：3x+4y−11=0与圆C相交于A、B两点，求所得弦长|AB|的值.
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1n(an+3)(n∈N∗)，Sn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn>t36总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
17.(本小题15分)
某公司为了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响.对公司近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，进行了对比分析，建立了两个模型：①y =α +β x2，②y =eλ x+t ，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令ui=xi2，vi=lnyi，(i=1,2,3,…，12)，经计算得如下数据：
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2)根据(1)的分析及表中数据，求y关于x的回归方程.
附：(1)相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2；
(2)线性回归方程y =a +b x中a ，b 的计算公式分别为：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−⋅y−i=1nxi2−n(x−)2，a =y−−b ⋅x−.
18.(本小题17分)
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为12，右顶点坐标(4,0).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为12.
(i)求四边形APBQ面积的最大值；
(ii)设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由.
19.(本小题17分)
在二十大报告中，体育、健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.(注：比赛结果没有平局)
(1)求甲队最终2：1获胜且种子选手M上场的概率；
(2)已知甲队2：1获得最终胜利，求种子选手M上场的概率.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查排列数公式、组合数公式的应用，属于基础题．
由题意，利用排列数公式、组合数公式，计算求得结果．
【解答】
解：A53−C42=5×4×3−4×32×1=54.
故选：B.
2.【答案】C
【解析】解：根据题意可知，
将四名志愿者分成三个组，其中一组为2人，
则不同的安排方法共有C42A33=6×6=36种．
故选：C.
将四名志愿者分成三个组，其中一组为2人，再由排列组合知识求解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设与直线x+y−4 3=0平行的直线方程：x+y+m=0，
圆x2−2x+y2=0化为(x−1)2+y2=1，圆心坐标(1,0).
因为直线平分圆，圆心在直线x+y+m=0，所以1+0+m=0，解得m=−1，
故所求直线方程为x+y−1=0.
故选：C.
设出与已知直线平行的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．
本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线平行的方程的设法，考查计算能力．
4.【答案】C
【解析】解：“{an}为等比数列”⇒“a1a4=a2a3”，反之不成立，例如a1=2，a4=1，a2=3，a3=13.
∴“a1a4=a2a3”是“{an}为等比数列”的必要不充分条件．
故选：C.
由“{an}为等比数列”⇒“a1a4=a2a3”，反之不成立，可以举例说明．
本题考查了等比数列的定义通项公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由已知得x−=1+2+3+4+55=3，y−=0.5+0.7+1+1.2+1.65=1，
∵回归方程y =b x+0.19必过样本中心点为(3,1)，
∴1=3b +0.19，解得b =0.27，∴y =0.27x+0.19，
∴则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为y =0.27×8+0.19=2.35千元．
故选：C.
根据回归方程必过样本中心点求出回归方程，利用回归方程预测8月该品牌碳酸锂的价格．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：由抛物线的方程可得F(p2,0)，
设P在x轴上方，则y2=2p⋅8，可得yP=4 p，
则S△OFP=12|OF|⋅yP=12⋅p2⋅4 p=2 2，解得p=2，
所以准线方程为x=−p2=−22=−1，
故选：B.
由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由P点的横坐标可得P的纵坐标，代入三角形的面积公式可得p的值，进而求出准线方程．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，属于中档题．
利用二项式定理可知，先求出a8的值，对已知关系式中的x赋值1即可求得a0+a1+a2+⋯+a7+a8的值，进一步可求得答案.
【解答】
解：∵(1+2x)(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8
∴a8=2×C77×−27=−256，
令x=1得：(1+2)(1−2)7=a0+a1+a2+⋯+a7+a8=−3
∴a0+a1+a2+⋯+a7=−3−a8
=−3+256=253.
故选：C.
8.【答案】A
【解析】解：由题意如图所示：由双曲线C：x2−y2=4，知a2=b2=4，
所以c2=a2+b2=8，
所以F2(2 2,0)，|F1F2|=2c=4 2
所以过F2作垂直于x轴的直线为x=2 2，
代入C中，解出A(2 2,2),B(2 2,−2)，
由题知△AF1F2，△BF1F2的内切圆的半径相等，
且|AF1|=|BF1|，△AF1F2，△BF1F2的内切圆圆心O1，O2的连线垂直于x轴于点P，
设为r，在△AF1F2中，由等面积法得：12(|AF1|+|AF2|+|F1F2|)⋅r=12|F1F2|⋅|AF2|，
由双曲线的定义可知：|AF1|−|AF2|=2a=4，
由|AF2|=2，所以|AF1|=6，
所以12(6+2+4 2)⋅r=12×4 2×2，
解得：r=2 22+ 2=2 2×(2− 2)2=2 2−2，
因为F1F2为△F1AB的∠AF1B的角平分线，
所以O3一定在F1F2上，即x轴上，令圆O3半径为R，
在△AF1B中，由等面积法得：12(|AF1|+|BF1|+|AB|)⋅R=12|F1F2|⋅|AB|，
又|AF1|=|BF1|= |F1F2|2+|AF1|2= (4 2)2+22=6，
所以12×(6+6+4)⋅R=12×4 2×4，
所以R= 2，
所以|PF2|=r=2 2−2，|O3P|=|O3F2|−|PF2|=R−r= 2−(2 2−2)=2− 2，
所以S△O1O2O3=12|O1O2||O3P|=12×2r×|O3P|=r×|O3P|=(2 2−2)×(2− 2)=6 2−8，
故选：A.
由题意画出图，由已知求出c的值，找出A，B的坐标，由△AF1F2，△BF1F2，△F1AB的内切圆圆心分别为O1，O2，O3，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出△O1O2O3的底和高，利用三角形的面积公式计算即可．
本题主要考查了双曲线性质，定义的综合应用，考查了一定的运算能力，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：由P(B|A)=0.3得P(AB)=P(B|A)P(A)=0.3×0.5=0.15，
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.5+0.4−0.15=0.75，故A正确；
所以P(A|B)=P(AB)P(B)=，故B正确；
P(B|A−)=P(A−B)P(A)=P(B)−P(AB)0.5=0.4−，故C正确，；
对于D，P(A|B−)=P(B−A)P(B−)=P(A)−P(AB)0.6=0.5−，故D错误，
故选：ABC.
根据条件概率的计算可得P(AB)=P(B|A)P(A)=0.3×0.5=0.15，进而根据并事件的概率求解A，根据条件概率的公式即可求解BCD.
本题考查条件概率，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，第一步先排百位数，有4种排法，第二步排十位数有5种排法，第三步排个位数有5种排法，由分步乘法计数原理可得共有4×52=100个不同的三位数，A错误；
对于B，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下7个团员指标排成一排，7个指标之间有6个空，用2块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将7个指标分给3个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有C62=15种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有15种，B正确；
对于C，因为借回至少1本的反面为1本都不借，又小明所有的借书方法数为24种，所以借回至少1本的方法数为24−1=15种，C错误；
对于D，第一步甲先拿贺卡，有3种方法，第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿，有3种方法，第三步余下两人拿贺卡，由于其中一人不能拿自己的贺卡，故只有一种方法，由分步乘法计数原理可得共3×3=9种方法，D正确；
故选：BD.
根据分步乘法计数原理求出三位数的个数判断A，根据隔板法和分步乘法计数原理求出分配方法数，判断B，利用间接法求出满足要求的方法数判断C，利用分步乘法计数原理求出满足条件的方法数，判断D.
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A：若直线l与圆M相切，则|4k| 1+k2=1，解得k=± 1515，故A正确；
对于B：当k=2时，P(0,4)，则SPAMB=2S△PAM=|AM|⋅|PA|= |PM|2−1= 19，故B错误；
对于C：P(0,2k)，由圆M：(x−2)2+y2=1，可得圆心M(2,1)，半径为1，
A，B在以PM为直径的圆上，PM为直径的圆的方程为(x−1)2+(y−k)2=1+k2，
∴直线AB：−2x+2ky+3=0，∴直线AB经过定点N(32,0)，故C正确；
对于D：因为PM⊥AB，所以点C的轨迹是以MN为直径的圆，
即(x−74)2+y2=116，圆心Q(74,0)，所以|CQ|=14为定值，故D正确；
故选：ACD.
利用相切可求k，判断A；SPAMB=2S△PAM=|AM|⋅|PA|计算可判断B；可得直线AB：−2x+2ky+3=0，进而可判断C；求得圆的方程可判断D.
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】740
【解析】解：设Ai(i=1,2)表示从第i箱取到的零件是次品，B表示从第一箱中取零件，B−表示从第二箱中取零件，
由全概率计算公式得取出的零件是次品的概率是：
P(A)=P(A1|B)P(B)+P(A2|B−)P(B−)
=210×12+320×12=740.
故答案为：740.
设Ai(i=1,2)表示从第i箱取到的零件是次品，B表示从第一箱中取零件，B−表示从第二箱中取零件，由全概率计算公式能求出取出的零件是次品的概率．
本题考查概率的求法，考查全概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】6x+5y−28=0
【解析】解：由椭圆C:x220+y216=1，
c= a2−b2= 20−16=2，
得F(2,0)，
设线段MN的中点Q(x0,y0)，
因为点F为△BMN的重心，
所以BF=2FQ，
所以(2,4)=2(x0−2,y0)，
所以x0=3，y0=2，Q(3,2)，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由中点坐标公式可得x1+x2=6，y1+y2=4，
又点M，N在椭圆上，
所以x1220+y1216=1，x2220+y2216=1，
两式相减得(x1+x2)(x1−x2)20+(y1+y2)(y1−y2)16=0，
所以kMN=y1−y2x1−x2=−45⋅x1+x2y1+y2=−45⋅(64)=−65，
所以直线l的方程为y−2=−65(x−3)，即6x+5y−28=0，
综上，直线l的方程为6x+5y−28=0.
故答案为：6x+5y−28=0.
由题意可得F(2,0)，设线段MN的中点Q(x0,y0)，由点F为△BMN的重心，得BF=2FQ，推出Q点坐标，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由中点坐标公式可得x1+x2=6，y1+y2=4，把点M，N坐标代入椭圆的方程，用点差法可得kMN，进而可得直线l的方程．
本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
14.【答案】72
【解析】解：由an=an+1an−1−an+1−an−1+2(n≥2,n∈N∗)，若a2=a3=3，
则an−1=an+1an−1−an+1−an−1+1=(an+1−1)(an−1−1)，
可得a2−1=(a3−1)(a1−1)，即3−1=2(a1−1)，解得a1=2，
当n=3时，a3−1=(a4−1)(a2−1)，即2=2(a4−1)，解得a4=2，
当n=4时，a4−1=(a5−1)(a3−1)，即，解得a5=32，
当n=5时，a5−1=(a6−1)(a4−1)，即12=a6−1，解得a6=32，
当n=6时，，即12=12(a7−1)，解得a7=2=a1，…，
可得数列{an}是最小正周期为6的数列，
则a2026+a2027=a4+a5=2+32=72.
故答案为：72.
由数列的递推式，计算数列的前几项，推得数列{an}是最小正周期为6的数列，可得所求和．
本题考查数列的递推式和数列的周期性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
15.【答案】解：(1)由题意可得，圆心为(2,0)，半径为2.
则圆的方程为(x−2)2+y2=4.
(2)圆心(2,0)到l的距离为d，d=|6−11|5=1，
∴|AB|=2 r2−d2=2 3.
【解析】(1)求出圆的圆心与半径，即可得到圆的方程．
(2)利用点到直线的距离，结合半径以及半弦长满足勾股定理，推出结果即可．
本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
16.【答案】【解答】
解：(1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2，
整理得2a1d=d2.
∵a1=1，解得(d=0舍)，d=2.
∴an=2n−1(n∈N∗).
(2)bn=1n(an+3)=12n(n+1)=12(1n−1n+1)，
∴Sn=b1+b2+⋯+bn=12[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=12(1−1n+1)=n2(n+1).
假设存在整数t满足Sn>t36总成立．
又Sn+1−Sn=n+12(n+2)−n2(n+1)=12(n+2)(n+1)>0，
∴数列{Sn}是单调递增的．
∴S1=14为Sn的最小值,故t360，可得−4