2026-2027学年上学期人教版八年级数学第十五章《轴对称》单元检测卷（含详解）

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2026-2027学年上学期人教版八年级数学第十五章《轴对称》单元检测卷姓名    班级    分数       选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）.1.如图，四个图标中是轴对称图形的是（ ）.A. B. C. D. 2.如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（ ）.A. 2条B. 4条C. 6条D. 8条3.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.A. 等边三角形B. 直角三角形C. 平行四边形D. 正方形4.在平面直角坐标系中，点(2,−1)关于x轴对称的点是（ ）.A. (2,1)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−2,−1)5.若点A(1+m,1−n)与点B(−3,2)关于y轴对称，则m+n的值是（ ）.A. −5B. −3C. 3D. 16.如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）. A. AE=ECB. AE=BEC. ∠EBC=∠BACD. ∠EBC=∠ABE7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1，则AD的长为（ ）.A. 1.5B. 2C. 3D. 48.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中等边三角形是（ ）.A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④9.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F，DE⊥BC交AB于点E，则∠EDF的度数为（ ）. A. 50°B. 60°C. 65°D. 75°10.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）.A. 42°或138°B. 48°或132°C. 48°或138°D. 42°或132°二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）.11.已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为       ．12.命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为              ．13.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，则△ABC的面积是       cm2． 14.如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为          ．15.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=        s时，△PBQ为直角三角形．三、解答题：本题共8小题，共75分.16.(本小题9分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE=AF．17.(本小题9分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E．(1)求证：△BCD是等腰三角形；(2)若△BCD的周长是13，BC=5，求AC的长．18.(本小题9分)如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(2,3)．(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；(2)若点M(−4,2)与点N(2,2)关于一条直线成轴对称，请在图中画出这条对称轴；(3)在x轴上找一点P，使PA+PB最小，则P点的坐标为          ． 19.(本小题9分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)连接EF，求证：AD垂直平分EF．20.(本小题9分)如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)判断△BOC的形状，并说明理由． 21.(本小题9分)阅读：在同一个三角形中，相等的边所对的角相等，简称为“等边对等角”．例如，在△ABC中，如果AB=AC，依据“等边对等角”可得∠B=∠C．请运用上述知识，解决问题：已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE是三角形的角平分线，交AD于F．(1)若∠ABC=40°，求∠AFE的度数．(2)若AE=AF，试判断△ABC的形状，并写出证明过程．22.(本小题10分)如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．(1)求证：DB=DE；(2)过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF=3，求△ABC的周长． 23.(本小题11分)如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．(1)如图1，连接AQ、CP.求证：△ABQ≌△CAP；(2)如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；(3)如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 答案和解析1.【答案】C 【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选C．根据轴对称图形的概念解答．本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B 【解析】解：如图，因为该图形是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，所以此图形的对称轴有4条．故选B．根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3.【答案】D 【解析】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选D．4.【答案】A 【解析】 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横、纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．【解答】解：点(2,−1)关于x轴对称的点是：(2,1)．故选A．5.【答案】D 【解析】 本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．【解答】解：∵点A(1+m,1−n)与点B(−3,2)关于y轴对称，∴1+m=3、1−n=2，解得：m=2、n=−1，所以m+n=2−1=1，故选D．6.【答案】C 【解析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．首先利用等腰三角形的性质证得∠ABC=∠ACB，然后根据题意得BE=BC，即△BCE是等腰三角形，根据等腰三角形的性质证得∠ACB=∠BEC，易证得∠BAC=∠EBC，即可求解．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=∠EBC．故选C．7.【答案】B 【解析】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，∴∠BDC=90°−60°=30°，∴BD=2BC=2×1=2，∵∠C=90°，∠A=15°，∴∠ABC=90°−15°=75°，∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=75°−60°=15°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD=2．故选B．根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解．本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．8.【答案】D  本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．直接根据等边三角形的判定方法进行判断．【解答】解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形；④三边都相等的三角形是等边三角形；其中等边三角形是①②③④，故选D．9.【答案】B 【解析】解：∵△ABC是正三角形，∴∠C=60°，，ED⊥BC，∴∠EDB=∠DFC=90°，∴∠FDC=180°−90°−60°=30°，∴∠EDF=180°−∠EDB−∠FDC=180°−90°−30°=60°，故选B．10.【答案】B 【解析】 此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【解答】有两种情况；(1)如图：当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D， 则∠ADB=90°. 因为∠ABD=42°， 所以∠A=90°−42°=48°；(2)如图：当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H， 则∠FHE=90°．因为∠HFE=42°， 所以∠HEF=90°−42°=48°， 所以∠FEG=180°−48°=132°， 综合(1)(2)得：等腰三角形的顶角是48°或132° . 故选B．11.【答案】50°或80° 【解析】解：∵等腰三角形的一个外角为130°，∴与此外角相邻的内角为50°，当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°．故答案为：50°或80°．等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．12.【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0 【解析】 本题考查的是互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．根据互逆命题的定义写出逆命题即可．【解答】解：命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0；故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0．13.【答案】24 【解析】 本题考查了三角形的面积和线段垂直平分线的性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得出BD=DC，求出AB+AC=14cm，求出AB的长，代入三角形面积公式求出即可．【解答】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BD=DC．∵△ABD的周长为14cm，∴BD+AD+AB=14cm，∴AB+AD+CD=14cm，∴AB+AC=14cm．∵AC=8cm，∴AB=6cm．∵∠BAC=90°，∴△ABC的面积是12AB×AC=12×6×8=24(cm2).故答案为24．14.【答案】6 【解析】解：∵AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，∴12BC·AD=15，∴AD=6，∵EF垂直平分AB，∴点A，B关于直线EF对称，∴EF与AD的交点即为P点，如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD的长度即为PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值为6，故答案为6．根据三角形的面积公式即可得到AD=6，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论．本题考查了轴对称−最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．15.【答案】32或125 【解析】 本题考查了等边三角形的性质的运用，30°角的直角三角形的性质的运用，利用分类讨论是解题的关键．先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=6cm，∠A=∠B=∠C=60°，当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，∴BP=2BQ．∵BP=6−2t，BQ=t，∴6−2t=2t，解得t=32；当∠QPB=90°时，∠PQB=30°，∴BQ=2PB，∴t=2(6−2t)，解得t=125；即当32或125秒时，△BPQ是直角三角形．故答案为32或125．16.【答案】解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，∴∠AFB=∠BED，∵∠AEF=∠BED，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF． 【解析】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据角平分线的定义和余角的性质证得∠AFB=∠BED，然后证明∠AFE=∠AEF即可得到结论．17.【答案】(1)证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=12(180°−∠A)=72°，∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠A=∠ACD=36°，∴∠CDB=∠A+∠ACD=72°，∴∠CDB=∠B=72°，∴CD=CB，∴△BCD是等腰三角形；(2)解：∵△BCD的周长是13，∴BC+BD+CD=13，∵AD=CD，∴BC+BD+AD=13，∴BC+AB=13，∵BC=5，∴AB=13−5=8，∴AC=AB=8， 【解析】(1)先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠B=∠ACB=72°，再利用线段的垂直平分线性质可得DA=DC，从而利用等腰三角形的性质可得∠A=∠ACD=36°，然后利用三角形外角的性质可得∠CDB=72°，最后根据等角对等边即可解答；(2)根据已知和(1)的结论易得BC+AB=13，从而可得AC==AB=8．本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．18.【答案】【小题1】解：如图，△A1B1C1即为所求．【小题2】点M(−4,2)与点N(2,2)关于直线x=−1成轴对称．如图，直线x=−1即为所求．【小题3】(2,0)【解析】1. 根据轴对称的性质作图即可．2. 根据轴对称的性质可知，点M(−4,2)与点N(2,2)关于直线x=−1成轴对称，直接画图即可．3. 连接AB1，交x轴于点P，连接BP，此时PA+PB最小，则点P即为所求，即可得出答案．如图，连接AB1，交x轴于点P，连接BP，此时PA+PB最小，则P点的坐标为(2,0)．故答案为：(2,0)．【答案】解：(1)∵D是BC的中点，∴BD=CD，又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴AD平分∠BAC；(2)∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∵BE=CF，∴AB−BE=AC−CF，∴AE=AF，∵DE=DF，∴AD垂直平分EF． 20.【答案】证明：(1)在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)；(2)△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC−∠ABD=∠ACB−∠ACE，∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO，∴△BOC是等腰三角形． 【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE；(2)由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．21.【答案】解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠ABC=40°，BE平分∠ABC，∴∠DBF=12∠ABC=20°，∴∠BFD=90°−20°=70°，∴∠AFE=∠BFD=70°；(2)∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∵∠ABE=∠DBE，∠AFE=∠BFD，∴∠BAE=180°−∠ABE−∠AEB，∠BDF=180°−∠DBF−∠BFD，∴∠BAE=∠BDF=90°，∴△ABC是直角三角形． 【解析】(1)根据角平分线的定义求出∠DBF，再根据三角形内角和定理求出∠BFD即可解决问题； (2)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)证明：如图，∵△ABC是等边三角形，BD是中线∴∠ABC=∠ACB=60°∴∠DBC=30°(等边三角形三线合一)∵CE=CD∴∠CDE=∠CED     又∵∠BCD=∠CDE+∠CED∴∠CDE=∠CED=12∠BCD=30°∴∠DBC=∠DEC∴DB=DE(等角对等边) (2)如图，∵DF⊥BE，由(1)知，DB=DE∴DF垂直平分BE∵∠CDE=∠CED=12∠BCD=30°∴∠CDF=30°∵CF=3∴CD=6∵AD=CD∴AC=12∴△ABC的周长=3AC=36． 【解析】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CDE=30°是正确解答本题的关键．(1)根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠EDC，根据等角对等边即可得到DB=DE．(2)由CF的长可求出CD，进而可求出AC的长，则△ABC的周长即可求出．23.【答案】解：(1)证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，同时从点A、点B出发，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，AB=CA∠ABQ=∠CAPBQ=AP,∴△ABQ≌△CAP(SAS)；(2)点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC，∵∠BAC=60°，∴∠QMC=60°；(3)如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变，理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠PAC=180°−60°=120°，即点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°． 【解析】点拨(1)根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可；(2)先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；(3)先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．