北师大版（2024）四年级上册（2024）有趣的算式精品测试题

这是一份北师大版（2024）四年级上册（2024）有趣的算式精品测试题，文件包含北师大版四年级数学上册_第3单元_第6课时_有趣的算式_讲义与练习_教师版docx、北师大版四年级数学上册_第3单元_第6课时_有趣的算式_讲义与练习_学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
怎样从一组算式里发现规律，并且不计算就写出后面的结果？
一、学习目标
1. 能按“算一算—看一看—猜一猜—再验证”的步骤探索一组算式，并用自己的话说出发现的规律
2. 能运用111…1类与99…9类算式的规律，不计算直接写出11111×11111、99999×99999等较大算式的积
3. 能发现个位是5的数乘它本身的规律并用它口算；会玩“重排相减”游戏，找到神秘的四位数6174
二、重点
• 用“观察—猜想—验证”三步发现算式规律
• n个1×n个1与n个9×n个9的积的规律
• 个位是5的数×它本身＝（十位数字×比十位数字大1的数）×100+25
三、难点
• 把观察到的“数字特点”准确地用语言表达成规律，并记得用新算式验证
• “n个9×n个9”的积中，9的个数比因数中9的个数少1，容易数错
学习支架
探索规律四步法
1. 算一算：算出一组算式的得数
2. 看一看：观察得数有什么特点
3. 猜一猜：把规律用自己的话说清楚
4. 再验证：用新算式算一算，核对猜想
由“1”组成的数相乘
由“9”组成的数相乘
个位是5的数乘它本身
照样子写一写（补全45×45、55×55）
易错对比：积里9的个数
用竖式验证45×45=2025
神秘的四位数探索记录
四、知识要点
1. 探索规律的一般方法
算一算，然后认真观察，说一说你发现了什么。
探索规律一般分四步：
第一步，算一算：先算出一组算式的得数，把结果记录下来；
第二步，看一看：观察得数有什么特点、是怎样变化的；
第三步，猜一猜：把发现的特点用自己的话说出来，写成规律；
第四步，再验证：用规律写一个新的算式，算一算核对是否正确。
关键结论：只有经过验证的规律才可靠。发现规律不等于验证规律。
2. 由“1”组成的数相乘
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
11111×11111=123454321
规律：n个1×n个1，积从1数到n，再从n数回1。
例如：111111×111111=12345654321。
注意：因数有几个1，积就从1数到几再数回来，不要多写或少写数字。
3. 由“9”组成的数相乘
99×99=9801
999×999=998001
9999×9999=99980001
99999×99999=9999800001
规律：n个9×n个9，积由（n-1）个9、1个8、（n-1）个0和1个1组成。
例如：999999×999999=999998000001。
常见错误：积中9的个数比因数中9的个数少1，不要写成和因数一样多。
4. 个位是5的数乘它本身
15×15=225，225=1×2×100+25
25×25=625，625=2×3×100+25
35×35=1225，1225=3×4×100+25
45×45=2025，2025=4×5×100+25
55×55=3025，3025=5×6×100+25
规律：个位是5的数×它本身＝（十位数字×比十位数字大1的数）×100+25。
口算方法：先算“十位数字×（十位数字+1）”，再在后面补上25。
5. 神秘的四位数
在0~9十个数字中任意选四个数字，组成最大的数和最小的数，两数相减；再把得数的四个数字重新组成最大的数和最小的数，再次相减……不断重复，最后会得到一个不再变化的四位数——6174，它就是神秘的四位数。
以2、9、8、4为例：
9842-2489=7353
7533-3357=4176
7641-1467=6174
7641-1467=6174（不再变化）
注意：选的四个数字不能完全相同；得数里有0时，组成最小数要把0排在最高位（如0378，计算时按378算）。
五、典型例题
【例1】
不计算，直接写出111111×111111的积，并照样子再写出一个这样的算式。
【解答】先算一算前面几个算式，把结果记录下来：
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
认真观察积的变化：
1个1×1个1，积是1；
2个1×2个1，积是121；
3个1×3个1，积是12321；
4个1×4个1，积是1234321。
猜想：n个1×n个1，积从1数到n，再从n数回1。
验证：5个1×5个1，11111×11111=123454321，和猜想一致。
所以：
111111×111111=12345654321
再写一个：1111111×1111111=1234567654321
【点拨】探索规律一般分四步：算一算（收集数据）→看一看（观察特点）→猜一猜（说出规律）→再验证（用新算式核对）。先用小一点的数算，看清积的变化，再大胆猜想更大的数。
【例2】
不计算，你能直接写出99999×99999和999999×999999的积吗？
【解答】先算一算前面几个算式：
99×99=9801
999×999=998001
9999×9999=99980001
观察积的特点：积的中间是8。
99×99=9801：8的左边有1个9，右边有1个0，最后是1；
999×999=998001：8的左边有2个9，右边有2个0，最后是1；
9999×9999=99980001：8的左边有3个9，右边有3个0，最后是1。
猜想：n个9×n个9，积由（n-1）个9、1个8、（n-1）个0和1个1组成。
验证：99999×99999=9999800001，8的左边有4个9、右边有4个0，符合猜想。
所以：
99999×99999=9999800001
999999×999999=999998000001
【点拨】注意：积中9的个数比因数中9的个数少1，不要数错。也可以这样验证：99999×99999=99999×100000-99999=9999900000-99999=9999800001。
【例3】
先用计算器算一算15×15、25×25、35×35，再照样子写出45×45、55×55的积，并说一说你发现了什么规律。
【解答】先算一算：
15×15=225，225=1×2×100+25
25×25=625，625=2×3×100+25
35×35=1225，1225=3×4×100+25
观察：积的末两位都是25，前面的数正好是“十位数字×（十位数字+1）”。
15×15：十位是1，1×2=2，得225；
25×25：十位是2，2×3=6，得625；
35×35：十位是3，3×4=12，得1225。
照样子写一写：
45×45：十位是4，4×5=20，20×100+25=2025；
55×55：十位是5，5×6=30，30×100+25=3025。
验证：45×45=2025，55×55=3025，和规律写出的结果一致。
【点拨】规律可以概括为：个位是5的数×它本身＝（十位数字×比十位数字大1的数）×100+25。口算时先算“十位数字×（十位数字+1）”，再在后面补上25。
【例4】
在0~9十个数字中任意选四个数字，组成最大的数和最小的数，两数相减；再把得数的四个数字重新组成最大的数和最小的数，再次相减……不断重复。选2、9、8、4这四个数字，能找到一个神秘的四位数吗？
【解答】第一步：2、9、8、4组成最大的数9842，最小的数2489。
9842-2489=7353
第二步：7353的四个数字重新组成最大的数7533，最小的数3357。
7533-3357=4176
第三步：4176的四个数字重新组成最大的数7641，最小的数1467。
7641-1467=6174
第四步：6174的四个数字重新组成最大的数7641，最小的数1467。
7641-1467=6174，结果和上一步相同，不再变化。
所以神秘的四位数是6174。
【点拨】每一步都要把得数的四个数字重新组成最大数和最小数，再相减。不断重复后结果不再变化，这个数就是神秘的四位数，就像掉进了“数字黑洞”。注意：选的四个数字不能完全相同。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 根据规律直接写出积：
111×111＝（________）。
2. 根据规律直接写出积：
1111×1111＝（________）。
3. 根据规律直接写出积：
999×999＝（________）。
4. 根据规律直接写出积：
9999×9999＝（________）。
5. 照样子填一填：
15×15=1×2×100+25，25×25=2×3×100+25，所以35×35＝（________）。
6. 不计算，写出45×45的积：
45×45＝（________）。
7. 不计算，写出55×55的积：
55×55＝（________）。
8. 判断正误：
11111×11111＝123454321。（ ）
9. 判断正误：
9999×9999＝99800001。（ ）
10. 判断正误：
发现了规律就可以直接写出后面算式的得数，不需要再验证。（ ）
11. 玩“重排相减”游戏：用2、9、8、4组成最大的数9842和最小的数2489。
9842-2489＝（________）。
★★ 能力提升
12. 不计算，根据规律选择正确的结果：
1111111×1111111＝（ ）。
A. 1234567654321
B. 12345654321
C. 12345676543210
D. 12345676543
13. 不计算，根据规律选择正确的结果：
99999×99999＝（ ）。
A. 9999800001
B. 9999900001
C. 99998000001
D. 99980001
14. 学校举行队列表演，五年级同学站成一个方阵，每行25人，排了25行。一共有多少名同学？用发现的规律口算，并写出过程。
15. 小明说：“1×1=1，11×11=121，111×111=12321，所以11111×11111=123454321。”请你用计算器或竖式验证他说得对不对。
★★★ 拓展延伸
16. 数学小组的同学发现：个位是5的数乘它本身有规律。请用规律直接写出65×65、75×75、85×85、95×95的积，再任选一个用竖式验证。
17. 在0~9中任选四个数字，也能找到神秘的四位数。选1、2、3、4这四个数字，按“组成最大数—组成最小数—相减—再重排”的方法不断重复，写出每次的算式，最后停在哪个四位数上？
18. 不计算，先根据规律写出11111×11111和99999×99999的积，再比一比哪个积大，大多少？
参 考 答 案
第1题：12321
【解析】3个1×3个1，积从1数到3再数回1，是12321。
第2题：1234321
【解析】4个1×4个1，积从1数到4再数回1，是1234321。
第3题：998001
【解析】3个9×3个9：8的左边有2个9、右边有2个0，最后是1，得998001。
第4题：99980001
【解析】4个9×4个9：8的左边有3个9、右边有3个0，最后是1，得99980001。注意9的个数比因数少1。
第5题：1225
【解析】35的十位是3，分解式是3×4×100+25=12×100+25=1225。
第6题：2025
【解析】十位是4，4×5=20，20×100+25=2025。
第7题：3025
【解析】十位是5，5×6=30，30×100+25=3025。
第8题：对
【解析】5个1×5个1，积从1数到5再数回1，是123454321，说法正确。
第9题：错
【解析】9999×9999=99980001：8的左边有3个9、右边有3个0，最后是1。99800001中8左边只有2个9，9的个数少了。
第10题：错
【解析】猜想出的规律可能只对前面几个算式成立，必须用新算式算一算验证后，才能放心使用。
第11题：7353
【解析】9842-2489=7353，把得数的四个数字重新组成最大的数7533和最小的数3357，继续相减。
第12题：A
【解析】7个1×7个1，积从1数到7再数回1，是1234567654321。B是6个1的结果，C末尾多了一个0，D漏写了末尾的21。
第13题：A
【解析】5个9×5个9：8的左边有4个9、右边有4个0，最后是1，得9999800001。
第14题：625名。
25×25＝2×3×100+25＝600+25＝625（名）
答：一共有625名同学。
【解析】25的十位是2，2×3=6，积的前面是6，末两位是25，所以25×25=625。
第15题：123454321。
验证：11111×11111=123454321，和按规律写出的积一致。
规律：n个1×n个1，积从1数到n再数回1，所以小明说得对。
【解析】本题考查“猜想—验证”的完整过程：先按规律猜想，再用计算器或竖式算出11111×11111=123454321核对，验证后才可以下结论。
第16题：4225；5625；7225；9025。
65×65＝6×7×100+25＝4225
75×75＝7×8×100+25＝5625
85×85＝8×9×100+25＝7225
95×95＝9×10×100+25＝9025
验证（以65×65为例）：65×65＝65×60+65×5＝3900+325＝4225，与规律一致。
【解析】十位数字从4、5扩展到6、7、8、9，规律不变：先算“十位数字×（十位数字+1）”，再在后面补25。选一个用竖式或计算器核对即可验证。
第17题：最后停在6174。
4321-1234＝3087
8730-378＝8352
8532-2358＝6174
7641-1467＝6174，不再变化
所以神秘的四位数是6174。
【解析】每一步都要把得数的四个数字重新组成最大数和最小数再相减。得数3087里含有0，组成最小数时0排在最高位，写作0378，按378计算；不断重复后停在6174不再变化。
第18题：9876345680。
11111×11111＝123454321
99999×99999＝9999800001
9999800001-123454321＝9876345680
所以99999×99999的积大，大9876345680。
【解析】先分别用两条规律直接写积：11111×11111=123454321，99999×99999=9999800001；再作差比较。9位数比5位数大，作差时注意数位对齐。算式
积
观察积的特点
1×1
1
积是一位数
11×11
121
从1数到2，再数回1
111×111
12321
从1数到3，再数回1
1111×1111
1234321
从1数到4，再数回1
11111×11111
123454321
从1数到5，再数回1
算式
积
8的左边和右边
99×99
9801
8左边1个9，右边1个0
999×999
998001
8左边2个9，右边2个0
9999×9999
99980001
8左边3个9，右边3个0
99999×99999
9999800001
8左边4个9，右边4个0
999999×999999
999998000001
8左边5个9，右边5个0
算式
积
分解式
15×15
225
1×2×100+25
25×25
625
2×3×100+25
35×35
1225
3×4×100+25
45×45
2025
4×5×100+25
55×55
3025
5×6×100+25
算式
积
分解式
错误
正确
999×999=998001，积里有3个9，9的个数和因数一样多。
999×999=998001，积里8的左边只有2个9，9的个数比因数少1。
45
×
45
225
1800
2025
步骤
算式
得数
第1步
9842-2489
7353
第2步
7533-3357
4176
第3步
7641-1467
6174
第4步
7641-1467
6174（不再变化）