专题07 圆锥曲线中的切线方程、切点弦方程、极点极线、光学性质9大重点题型（专项训练）

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专题07 圆锥曲线中的切线方程、切点弦方程、极点极线、光学性质9大重点题型（解析版） 高二数学选择性必修一题型建模 专项突破1 过圆 x2+y2=r2 上一点 Mx0,y0 的切线方程:xx0+yy0=r22. 设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1上的点, 则过该点的切线方程为:xx0a2+yy0b2=13. 设 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1 上的点, 则过该点的切线方程为:xx0a2−yy0b2=14. 设 Px0,y0 为抛物 线 y2=2px 上的点, 则过该点的切线方程为yy0=px+x0设 Px0,y0 为圆 x2+y2=r2 外一点, 则切点弦的方程为:xx0+yy0=r26. 设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 A, B 则弦 AB 的方程为:xx0a2+yy0b2=17. 过 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2= 的两支作两条切线, 则切点弦方程为xx0a2−yy0b2=18. 设 Px0,y0 为抛物线 y2=2px 开口外一点, 则切点弦的方程为:yy0=px+x09.极点极线的定义如图, 设 P 是不在圆雉曲线上的一点, 过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H, 连接 EH,FG 交于 N, 连接 EG,FH交于 M, 则直线 MN 为点 P 对应的极线. 若 P 为圆雉曲线上的点, 则过 P 点的切线即为极线.同理, PM 为点 N 对应的极线, PN 为点 M 所对应的极线. 因而将 △MNP 称为自极三点形. 设直线 MN 交圆锥曲线于点 A,B 两点, 则 PA, PB 恰为圆锥曲线的两条切线.10.其他定义对于圆锥曲线 C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, 已知点 Px0,y0 (非中心) 及直线 l:Ax0x+ B⋅x0y+y0x2+Cy0y+D⋅x+x02+E⋅y0+y2+F=0, 则称点 Px0,y0 是直线 l 关于圆锥曲线 C 的极点, 直线 l称为点 P 关于圆锥曲线 C 的极线。配极原则: 共线点的极线必共点, 共点线的极点必共点。11.替换原则 x0x→x2,x0y+y0x2→xy,y0y→y2,x+x02→x,y+y02→y.12.抛物线的光学性质如图 1 所示, 从抛物线的焦点 F 发出的光线, 被抛物线反射后, 得到的是一系列的与抛物线对称轴平行 (或重合) 的光线; 如图 2 所示, 设抛物线在 P 处的切线 l交对称轴于点 Q,PM⊥ 上切线 l交对称轴于点 M, 则焦点 F 是 QM 的中点. 图1 图213 椭圆的光学性质如图 3 所示, 从椭圆的一个焦点发出的光线, 被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; 如图 4 所示, 椭圆在点 P 处的切线为 l, 直线 PQ⊥l 交直线 F1F2 于点 Q, 则 PQ 平分 ∠F1PF2, 由角平分线性质定理, PF1PF2=QF1QF2.  图3 图 414. 双曲线的光学性质如图 5 所示, 从双曲线一个焦点发出的光线, 被双曲线反射后, 反射光线的反向延长线交于另一个焦点; 如图 6 所示, 双曲线在点 P 处的切线 / 与直线 F1F2 相交于点 Q, 则 PQ 平分 ∠F1PF2, 由角平分线性质定理, PF1PF2=QF1QF2 题型一、椭圆中的切线方程和切点弦方程1．设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程 .【答案】【分析】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为，代入椭圆方程中整理化简，令判别式等于零，可求出的值，从而可求得切线方程【详解】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为，将代入中得，，化简整理得，令，化简整理得，即，解得，所以切线方程为，即，故答案为：2．已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题中所给的结论，求出过的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利用互相垂直的直线之间斜率的关系求出过点且与直线垂直的直线的斜率，最后求出直线方程.【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.故选：B【点睛】本题考查了求过点与已知直线垂直的直线方程，考查了数学阅读能力，属于基础题.3．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题；椭圆，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（    ）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】设，根据题意，求得过点B的切线l的方程，即可求得C、D坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】设，由题意得，过点B的切线l的方程为：，令，可得，令，可得，所以面积，又点B在椭圆上，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最小值为.故选：C【点睛】解题的关键是根据题意，直接写出过点B的切线方程，进而求得面积S的表达式，再利用基本不等式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.4．已知椭圆的右焦点，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为.(1)求椭圆的离心率的值.(2)若直线经过点，且与椭圆相交于两点，已知点为弦的中点，求直线的方程.(3)已知平面内有点，求过这个点且和椭圆相切的直线方程.【答案】(1)(2)(3)和【分析】（1）根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解；（2）先求出椭圆的方程，再利用点差法求解即可；（3）分直线斜率是否存在讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程，根据即可得解.【详解】（1）由题意可得椭圆得焦半径，，故，所以椭圆的离心率；（2）由（1）得，所以椭圆得方程为，设，因为点为弦的中点，所以，由，两式相减得，即，所以，即，所以直线的方程为，即；（3）当所求直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与椭圆相切，符合题意，当所求直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，则，解得，所以所求直线的方程为，综上所述，过点且和椭圆相切的直线方程为和.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.5．已知椭圆过点，且离心率为.直线经过点(1)求椭圆的方程；(2)当直线与椭圆相切时，求两切点所在的直线方程(3)若直线与交于不同两点，动直线与直线分别交于点和为线段的中点，求的最小值.【答案】(1)(2)或.(3)【分析】（1）根据顶点坐标及离心率列方程组求解即可；（2）易知是椭圆的一条切线，设另一条切线为，切点为.且有：，与椭圆方程联立，由判别式得，得，即可求出另一条切线，得解；（3）设直线的方程为，.韦达定理得，求出的总坐标，利用是中点得，进而，可得点的轨迹方程为：，最后利用点线距离求解最小值即可.【详解】（1）由题可知：，解得；所以椭圆的方程为：.（2）由题易知：是椭圆的切线，切点为.设另一条切线为，切点为.且有：.联立，消去，得：，即，联立：；解得：；所以，解得：.所以直线的斜率.故切点所在直线方程为：.综上所述：两切点所在的直线方程为或.（3）设直线的方程为.且有：.其中.由（2）可知：.直线的方程为：.得.同理，可得.因为是中点，所以.因为.所以.点的轨迹方程为：所以.6．已知椭圆C：的焦距为2，，分别为其左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8．(1)求椭圆C的方程；(2)已知结论：若点为椭圆C上一点，则椭圆C在该点的切线方程为．点T为直线上的动点，过点T作椭圆C的两条不同切线，切点分别为A，B，直线AB交x轴于点Q．证明：Q为定点．【答案】(1)(2)证明见详解.【分析】（1）由已知可得，，求出的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）设，，，根据已知可得以及方程，代入点坐标，即可得出直线的方程.令，可求得为常数.【详解】（1）如图1，由已知可得，，所以.又，所以，.所以，椭圆的标准方程为.（2）设，，.则由已知可得，方程为：，方程为：.将代入、方程整理可得，，.显然、点坐标都满足方程.即直线的方程为，令，可得，即点坐标为.所以，为定点.7．已知直线l：与圆O：相切.(1)求的值；(2)已知椭圆E：在点处的切线方程为，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程；(3)是否存在这样的二次曲线F：，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据直线与圆相切得到，化简即可；（2）解法1：根据切线结论得到，再利用直线与圆相切得到方程，化简即可；解法2：根据切线方程结论变形得，再次化简有，最后平方即可得到方程；（3）联立得到韦达定理式，根据化简并代入韦达定理式即可.【详解】（1）由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，即；（2）解法1：设，由条件所给的公式，可知椭圆在点处的切线方程为.又因为点在切线上，可得①，同理可得②，由①②，可知都在直线上，即直线方程为③，因为圆与直线相切，所以点到直线的距离所以，由于点具有任意性，故点的轨迹方程为.解法2:设，由条件所给的公式，可知直线方程为①，直线方程为②，由①②，得，又，，由①②，得，则，所以，故点的轨迹方程为.（3）假设存在曲线满足条件，设，联立，消去，得，，由韦达定理，有.由，所以恒成立，所以存在曲线，且.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立直线方程与曲线方程得到韦达定理式，再利用向量点乘为0代入化简即可.题型二、双曲线中的切线方程和切点弦方程8．过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．【答案】【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程.【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为，则，联立方程，消去得，因为与双曲线相切，所以，即，即，即，因为，所以，代入可得，即，所以，所以，即，同理可得的方程为，因为在切线上，所以，所以满足方程，又由两点确定一条直线，所以满足直线方程，所以过的直线方程为.故答案为：.9．已知双曲线的一条切线的斜率为2，求这条切线方程．【答案】.【分析】设出切线方程，与双曲线方程联立后用求出，从而求出切线方程.【详解】设出切线方程为，与联立得：，由，解得：，代入得切线方程为．10．已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程．【答案】【分析】根据双曲线的切线方程（或切点弦方程）的结论直接代入即可得直线的方程.【详解】如下图所示：方法一：根据题意，设切点坐标为，根据结论：若点在双曲线上，则过点的双曲线的切线方程是．则可得切线的方程分别为，；又因为在切线上，可得，；因此在方程的两根，可知直线的方程为，也即.方法二：可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是；可得直线的方程为，也即11．（1）求双曲线在点处的切线方程；（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由双曲线上一点的切线方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分别表示出直线的方程，再将点的坐标代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由双曲线上一点处的切线方程为，所以双曲线在点处的切线方程为，化简可得.（2）设切点，则，，又点在直线上，代入可得，，所以点均在直线上，所以直线的方程为，即.12．求双曲线在点处的切线方程．【答案】【分析】根据仿射变换可解.【详解】设变换，则，可将双曲线变换为圆，于是点可化为，显然在圆上，易得切线方程为，即，双曲线在点处的切线方程为.13．已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，．(1)求双曲线C的方程；(2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点．【答案】(1)x2﹣y2＝1；(2)证明见解析.【分析】(1)依题意，建立关于、的方程组，解出、的值，即可求得双曲线的方程；(2)设，，，，直线，将其与双曲线方程联立，由相切可得，化简可得，由此表示直线方程，同理可得直线方程，进而得到直线方程，由此可得证．【详解】（1）依题意，，解得，：；（2）设，，，，直线，由得，，直线与双曲线相切，且，，，即，又，，，，则，直线，即，同理，切线的方程为，在切线、上，，、满足直线方程，而两点确定唯一一条直线，直线，则当时，无论取何值，等式均成立，点恒在直线上，故无论点在何处，直线恒过定点．14．如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M．（注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）  (1)求双曲线的方程；(2)证明：直线AB与切于点M，且；(3)当点在第三象限，且时，求的值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据双曲线的渐近线及焦距列方程求解即可；（2）联立直线与双曲线方程，根据相切求出切点横坐标，再联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系可得出为中点得证；（3）法一可由直线，联立求出点坐标，代入双曲线方程求出，再由三角形面积公式得解，法二利用，，求出即可得解.【详解】（1）的渐近线方程为，，的渐近线方程为，，所以，得，，所以双曲线的方程为．（2）已知，且满足，设切点，，，根据题意得，直线AB方程为．直线AB与联立，得，化简得，， 所以直线AB与切于点．所以，．直线AB与联立，得，即，得，所以，即为中点，所以．（3）法一：因为，则，直线与直线联立，得，即，将点代入，得，化简得，由得，，所以．法二：因为，，点与点关于原点对称，所以．因为，所以，因为，所以，所以，，所以．【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于直接算面积需要求出，或者利用三角形面积之间关系可转化为求，不论那种方法，都需要较强的运算能力.15．已知：若点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为．如图，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为P，Q，连结P，Q两点，并过线段的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记与的面积分别为，．(1)求直线的方程（含m）；(2)证明直线过点C，并比较与的大小．【答案】(1)(2)证明见解析，【分析】（1）利用易知分别求出两点处的切线方程，将分别代入两切线方程即可得直线的方程为；（2）联立双曲线和直线方程，利用韦达定理可得的中点，同理根据（1）中结论可得直线的方程为，显然在直线上；联立双曲线和直线方程可得即为中点即可得.【详解】（1）根据题意可设，由已知可得双曲线在处的切线方程为，同理，在处的切线方程为；又两切线交点为，所以满足，即同时满足方程，所以直线的方程为.（2）联立整理可得，所以,即可得线段的中点，设，根据已知可得在两点处的切线方程分别为，；两切线交点为，所以可得直线的方程为，整理可得；易知满足直线方程，即直线过点C；联立双曲线与直线方程，整理可得，所以，可得，所以的中点坐标为，即为的中点，即；易知的面积为，的面积；又，可得；即与的大小关系为.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题目提供的已知条件直接写出双曲线在某点处的切线方程，再根据两切线交点坐标得出两切点的直线方程，联立并利用韦达定理化简即可实现问题求解.题型三、抛物线中的切线方程和切点弦方程16．抛物线中，以为切点的切线方程为 【答案】【分析】先对抛物线方程求导，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程.【详解】已知抛物线方程，将其变形为.因为点在抛物线上，所以在点处切线的斜率可对求导完成.，切线过点，则斜率.根据点斜式方程可得切线方程为，即. 故答案为：.17．抛物线在处的切线方程为 ．【答案】【分析】设出切线，联立抛物线与切线消x得一元二次方程，由解出参数即可得切线方程.【详解】设切线为，联立抛物线与切线消x得，由得，故切线为.故答案为：.18．过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 .【答案】【分析】解法一：设切线方程为，联立切线方程与抛物线方程，由，得，则切线方程可求.解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率，再由点斜式方程求得答案.【详解】解法一：由题意，切线方程一定存在，设切线方程为．由⇒⇒，由，得，∴.故切线方程为，即.故答案为：.解法二：由得，∴.∴.∴切线方程为，即.故答案为：.19．过点作抛物线的切线，切点分别记为，则直线的方程为 ．【答案】【分析】设切点，，利用导数求出点处的切线斜率结合点斜式得切线方程，再结合切线所过的点和切点在抛物线化简得，同理点B得解.【详解】设切点，，由得，求导得，则上切点处的切线斜率，所以在点处的切线方程为，因为切线过点，所以，结合，化简得，同理可得，故点，均在直线上，所以直线的方程为.故答案为：.20．已知抛物线C：过点.(1)求过点M的抛物线C的切线方程；(2)若A，B是抛物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）解法一：将点的坐标代入抛物线方程求得，设出切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式法求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解；解法二：将点的坐标代入抛物线方程求得，利用导数法求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解；（2）设，，利用得，设直线AB的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理代入得，从而求得直线AB过定点，易知当时，点M到直线AB的距离最大，利用两点间的距离公式求解即可.【详解】（1）将M的坐标代入抛物线C的方程中，得，故抛物线C的标准方程为.解法一 ：由题意知过点M的抛物线的切线的斜率一定存在且不为0，设过点M的抛物线的切线方程为，将其代入，得，由，得，故过点M的抛物线C的切线方程为.解法二 ：当时，由得，而，所以过点M（1，2）的抛物线C的切线的斜率为1，故过点M的抛物线C的切线方程为，即；（2）设，，则，同理，故，化简得.易知直线AB的斜率不为0，则可设直线AB的方程为，将其代入，得，所以，，所以，即，直线AB的方程为，直线AB过定点.连接MQ，易知当时，点M到直线AB的距离最大，故点M到直线AB距离的最大值为.21．已知抛物线．(1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程；(2)求过点的抛物线的切线方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设，，设直线的方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标求得参数值得直线方程；（2）设切线方程，代入抛物线方程后由判别式为0求得参数值，得切线方程．【详解】（1）当直线的斜率为时，与抛物线只有一个交点，故不合题意，所以直线的斜率不为0，设直线的方程为由，消去得则设，，所以因为的中点为，所以，所以，所以直线的方程为，即；（2）若过点的切线斜率为，则该直线与抛物线相交，所以不合题意，所以过点的切线设为由消去得,则有所以或，所以所求切线方程为或即或22．如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．  (1)若，求切线的方程；(2)若，求证：直线恒过定点．【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）由题意设切线：，联立抛物线方程可得关于y的一元二次方程，由求出k即可求解；（2）易知直线PA斜率不存在求得直线，恒过定点；当直线PA斜率存在时，设，，切线：，联立抛物线方程得关于y的一元二次方程，由求出k，则PA：，同理可得：，结合题意可得：，根据直线恒过定点问题，即可证明.【详解】（1）显然切线的斜率存在且不为0，设切线：，代入，得，由，解得所以直线的方程为，即．（2）若直线PA的斜率存在，设，，：，代入，得由，解得．所以直线的方程为，即同理直线的方程为因为在直线和上，所以，可得点，在直线上，所以直线的方程为，因为，所以，则直线的方程为，由，得，故直线过定点.若直线PA的斜率不存在，则，设直线，代入，得，由，解得，此时，解得，得，即，所以，恒过定点；综上：直线过定点.  23．已知线段是抛物线的弦，且过抛物线焦点.(1)过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，求证：三点共线(为坐标原点)；(2)设是抛物线准线上一点，过作抛物线的切线，切点为.求证：（i）两切线互相垂直；（ii）直线过定点，请求出该定点坐标.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.【分析】（1）由题知抛物线的焦点，准线为，故设直线的方程为：，，进而得，再结合韦达定理证明即可；（2）(i) 设，过作抛物线的切线，斜率为，则方程为,切线的切线斜率分别为，进而结合韦达定理即可得，进而证明；（ii）结合（i）得，进而得，直线的方程为，整理即可得，进而得定点坐标.【详解】（1）解：由题知抛物线的焦点，准线为，所以，设直线的方程为：，所以，联立方程得，设 ，则，因为过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，所以因为，故所以 ，，所以，，即三点共线.（2）解：（i）设，所以，设过作抛物线的切线，斜率为，则方程为， 所以，得，所以，，即，设切线的切线斜率分别为，则为方程的实数根，所以，，所以，两切线互相垂直.(ii)由（i）知，，所以，，即，所以，所以，，所以，直线的方程为，整理得，即所以，直线过定点.24．已知动点满足关系式.(1)求动点的轨迹方程；(2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点.①证明：三点共线；②当直线与有两个交点时，求的取值范围.【答案】(1)(2)①证明见解析；②的取值范围为.【分析】（1）由双曲线定义即可求解；（2）①由切线方程和导数几何意义依次求出和即可得证；②求出直线的方程，与曲线联立，利用判别式结合焦半径公式即可求解.【详解】（1）设，则即 ，所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且所以动点的轨迹方程为.（2）①证明：由（1）曲线:,，设，对函数求导得，所以两切线方程为：，即，又切线过点P，所以，即满足，即满足方程，所以，设， 则由，所以，即三点在直线上，即三点共线；②由上得，所以直线的方程为即，联立，因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根，所以，所以.所以的取值范围为.25．已知点是抛物线：上的一点.(1)若点横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；(2)过点作圆：的两条切线，交抛物线的准线于、两点.①若，求点纵坐标；②求面积的最小值.【答案】(1)(2)①2；②【分析】（1）将抛物线转化为二次函数，结合导数的意义求切线斜率，从而得到切线方程；（2）①利用切线长定理表示的周长，结合内切圆半径公式和三角形面积公式均可得到的面积，从而得到点纵坐标；②利用三角形面积公式可将的面积表示为的式子，通过换元和均值不等式得到面积的最小值.【详解】（1）的横坐标为4，，又，求得，抛物线在处的切线斜率为，切线方程为，即.（2）设与圆相切于点，与圆相切于点，与圆相切于点，由切线长相等可得：，，，周长为，，设，由题意设，（在轴左侧时，由对称性可知三角形面积相同），，，，①由，则，解得，所以点的纵坐标为2.②，令，则，，，当且仅当，即时，面积最小值为.【点睛】关键点点睛：解题关键在于利用切线长定理表示的周长，进而利用三角形内切圆半径公式表示的面积.题型四、切线方程及切点弦方程的应用26．过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，则的重心的轨迹方程为（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】设，，，的重心为，通过求导确定的方程.的方程为，再结合重心坐标公式得到，即可求解.【详解】设，，，的重心为，的方程为，对求导可得.故，的方程为，将，代入的方程化简得.同理的方程为，两方程联立解得，.，则，，故的重心的轨迹方程为.故选：C.27．已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点．(1)求双曲线的离心率；(2)证明：直线的斜率为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据点在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再利用双曲线的离心率公式（对于双曲线）来计算离心率.（2）通过联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理求出交点坐标，再根据已知条件得出斜率关系，进而求出直线PQ的斜率.【详解】（1）解：将的坐标代入，得，所以双曲线的离心率．（2）证明：由题意知，直线的斜率都存在且不为0，设直线的方程为，直线的方程为．由消去，整理得．由，得，由，得．由题意，解得，所以，所以，同理．由题意，，得．因为，所以，故，所以直线的斜率，即直线的斜率为定值．28．已知为坐标原点，抛物线：，过点（0，4）的直线与相交于M，N两点.(1)求；(2)过M，N分别作的两条切线，，记，的交点为P.（i）求面积的最小值；（ii）设A，B分别为，与x轴的交点，证明：的外接圆过定点.【答案】(1)(2)（i）32  （ii）证明见详解【分析】(1)设出直线MN的方程及点M、N的坐标，并与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，即可求解的值；(2)(i)将抛物线C的方程化为y关于x的函数，求导即可求得抛物线在点M、N处的切线斜率，写出切线方程，联立即可求得点P的坐标，结合韦达定理表示出弦MN的长，再表示出的面积，由函数的性质即可求解的面积最小值；(ii)求出点A、B的坐标，设的外接圆圆心，利用点A、B、P在圆上，结合韦达定理表示出m、n及圆E的半径，再写出圆E的方程，由方程的特点即可证明.【详解】（1）根据题意直线斜率存在，设直线，，，联立抛物线：得，方程的判别式，，，，所以.（2）（i）抛物线，，所以，的斜率分别为，则，，交点即，点到直线的距离，，，当时取等，所以面积的最小值为32.（ii）证明：，与x轴的交点坐标，，，，的中点为，所以垂直平分线方程为，又垂直平分线方程为，所以的外接圆圆心为即，半径，所以外接圆方程为，即，故，所以恒过定点和，故的外接圆过定点.29．如果抛物线的切线交等轴双曲线于两点，求线段中点的轨迹方程.【答案】【分析】通过抛物线的切点求出切线方程，再根据双曲线的中点求出弦方程，利用两方程表示同一条直线得到坐标关系，最后结合切点在抛物线上得出中点的轨迹方程.【详解】设与抛物线的切点为，的中点为，因是抛物线切于的切线，则方程：.①同时是双曲线以，为中点的弦，易求方程为.②①②同一条直线，所以有，从而：③但点在抛物线上，所以有.将③代入得，以代换动点的坐标得所求方程为.30．已知椭圆，是直线在第一象限上一点，由向已知椭圆作两切线，切点分别是，求直线的方程，使与两坐标轴围成的三角形面积最小，并求出这个最小值.【答案】，【分析】设，则切点弦所在直线方程为，可得，由结合基本不等式可得.【详解】设，所以切点弦所在直线方程为．所以，，．又，，当且仅当，即，时，故面积的最小值为，此时直线方程为．31．已知抛物线仅经过中的一点．(1)求的方程．(2)过原点作圆的两条切线，切点分别为E，F．且E，F在的准线上．①求；②若是圆上纵坐标最大的点，点M，N在上，线段PM，PN的中点分别为，，且点G，H也在上，求|MN|．【答案】(1)(2)① ；②【分析】（1）通过代入四个给定点，验证满足抛物线方程的点，确定参数的值；（2）①利用抛物线的准线方程，结合圆的切线性质，建立方程求解半径； ②通过参数方程设点，结合中点坐标公式和抛物线方程，解方程确定点M、N的坐标，最终计算距离.【详解】（1）因为中的，所以点不可能在上，点关于轴对称，要么都在上，要么都不在上，因为只经过四个点中的一点，所以都不在上，所以点在上，将其坐标代入，得，所以的方程为（2）（i）由题可知，O，E，D，F四点共圆，该圆是以OD为直径的圆，又，所以该圆的方程为，．．与圆的方程相减，得直线EF即的准线的方程为，解得．（ii）由（i）可知．设．因为点G，H在上，所以，将代入，可得，同理有，所以是方程的两个根，所以，所以.32．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合．(1)求椭圆C和抛物线E的方程；(2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证：（i）直线AB过定点，并求该定点的坐标；（ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M．【答案】(1)，(2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程；（2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可.【详解】（1）由题，解得，∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为，∴，即．∴抛物线的方程为．（2）由（1）知，抛物线的准线方程为，∴可设，（i）由得，且．又，∴抛物线在处的切线方程为，即．在切线上，①，同理可得②，由①②得直线的方程为，令，则，所以直线恒过抛物线的焦点．（ii）联立得，∴，则线段AB的中点为，，又，∴MN与抛物线E的准线垂直，且，故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M．33．椭圆：的离心率为，点在上.(1)求的方程；(2)圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）.①求的值；②当变化时，证明：直线与轴交于定点.【答案】(1)(2)①1；②证明见解析【分析】（1）根据离心率和点的坐标可求出的值，进而可得到椭圆方程.（2）①通过相切可求出点到直线的距离，结合方程根据韦达定理即可求出的值；②首先求出点的坐标，然后求出直线的斜率，进而得到直线的方程，从而可求出定点坐标.【详解】（1）由题意可得，且，又，解得，，，故的方程为.（2）①由题可得，设直线，的斜率分别为，，则直线的方程为，由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离，整理得，同理，则，为方程的两个根，所以.②证明：设，，由得，则，即，所以，所以，同理得，直线的斜率，所以直线的方程为，令，得，所以直线与轴交于定点.34．已知圆，动直线与圆交于两点，且，点，到直线的距离分别为，动点满足，，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程.(2)记为圆上一动点，过点作曲线的切线.（ⅰ）证明：；（ⅱ）若，记与曲线的切点分别为，求的面积.【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【分析】（1）根据圆的弦长与圆心到直线的距离关系，结合椭圆的定义求出曲线的方程；（2）（i）利用切线与椭圆的位置关系，通过联立方程，根据判别式为0得到切线斜率的关系，从而证明两切线垂直；（ii）先求出切线方程，再联立切线方程与椭圆方程求出切点坐标，最后计算三角形面积.【详解】（1）设点到直线的距离为，则，得.因为点为的中点，所以，由椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，设椭圆的方程为，则，，故，，所以曲线的方程为.（2）（ⅰ）设，当中有一条的斜率不存在时，不妨设的斜率不存在，则的方程为，由与曲线相切，知，将代入圆的方程得.由于直线与曲线相切，故的方程为，此时.当的斜率都存在时，，设的斜率分别为，故过点的曲线的切线方程为（其中取或），则，消去得，.则，即，易知为此方程的两个根.由及根与系数的关系知，故.综上所述，.（ⅱ）设，，易知的斜率都存在，设，联立方程，得，消去得，.则，即.由知，，，则，解得，故.同理可得.由均过点，得，，所以点的坐标满足方程，即直线的方程为.联立直线与椭圆的方程得，消去得，.由根与系数的关系知，，所以.又点到直线的距离，所以，即的面积为.35．如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2．(1)求抛物线的方程．(2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点．①求证：直线过定点；②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①证明见解析；②存在，【分析】（1）由抛物线的性质求得抛物线方程．（2）①设，设过点的切线，与抛物线方程联立，由判别式等于，得，设的斜率分别为，由韦达定理及中点坐标公式求出的中点为，由点斜式写出直线的方程即可求解；②设，得到直线与的斜率，由斜率乘积为,得，再将①问中的韦达定理代入上式化简得，即可求解.【详解】（1）设抛物线方程为，由抛物线定义知，，抛物线的方程．（2）①设，由于切线斜率一定存在，故设过点的切线，代入中，得：，，．设的斜率分别为，则，，，得，的中点为．又，直线的方程：，即：，过定点．②设，则．同理：．，．把代入中得：，所以由，，，解得．存在定点，使得以为直径的圆恰过点．36．如图所示，设是圆上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别是、．求的最小值，以及取得最小值时点的坐标．【答案】最小值，点的坐标是【分析】设，过点的直线，与抛物线方程联立，求得，，由求得，计算并化简得，由代入化简得，求导判断函数的单调性即得其最小值.【详解】设是圆上任意一点，依题意切线、的斜率存在，分别设为．设过点的直线，将其代入可得，．（*）若与抛物线相切，则，整理化简得．依题意，是上述关于的二次方程的两个实根，则，．①当时，方程（*）的两个相等的实根为．若设，，则，．同理，，．于是．将①式代入并化简整理可得．又因点是上的点，则有，代入可得．考察函数（其中），求导得．令可得或．当时，；当时，．故在上递减，在上递增．当时，取得最小值，即的最小值为．此时对应的点的坐标是．题型五、极点极线初步学习37．已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据极点极线的定义，写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点斜率乘积为定值，得直线的方程.【详解】设,则的直线方程为，， 整理得,由解得，，定点，则为中点，，即．故选：A.38．从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（   ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据定义写出极线的方程，由点到直线距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系再进行求解.【详解】设，椭圆方程：，椭圆方程：，则有①，由极线的定义得直线的方程为，即，原点到直线的距离，化简得②，对比①②式得出，，则有，因为椭圆的离心率在内，所以，所以，当且仅当，即时取等，此时，所以的最大值为.故选：D.39．阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质，定理①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆的离心率为是上一点.(1)求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程；(2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上.【答案】(1)椭圆方程为，极线方程为(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据离心率以及坐标即可求解得椭圆方程，根据极线方程的公式即可求解，（2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可根据斜率公式化简求解①，联立两直线方程可得交点坐标，即可求解②.【详解】（1）因为离心率为，故又是上一点，所以，故，所以椭圆方程为，由于点对应的极线方程为；故处的极线方程为，即极线方程为，（2）①由题意可知的斜率不为，设，设，，，，②根据①结果，可设，则（1）（2）联立（1）（2）可得：故点，易知点恒在上40．几何学伴随着人类文明而产生，对人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.在现代数学里，几何学与代数、分析、数论等多个方向关系极为密切，几何的思想成为了数学最重要的思想之一，几何对物理、化学、生物、工程等各个领域也有着极其重要的作用.目前，几何学大致包含了欧式几何、射影几何、解析几何等几类不同思路的研究方法.其中，射影几何学中的极点与极线理论对于研究圆锥曲线提供了新的思考方式.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为：.已知椭圆：的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为，，（，，均存在）.(1)求极线的方程；(2)求证：.【答案】(1).(2)证明见解析【分析】（1）由长轴长和焦点坐标求出椭圆的的值，得到椭圆方程，按定义得到极线的方程；（2）作出图像，设出直线的方程后联立方程组，整理得到二元一次方程，由韦达定理得到的代数式，设点坐标，表示出，然后化简即可得证.【详解】（1）由椭圆：的长轴长为，则，解得，又椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，所以，解得.所以椭圆的方程为.由题意可知，对于椭圆，极点对应的极线的方程为，即.（2）如图：  显然不存在时，不存在交点，∴一定存在，设，联立方程组，整理得，，即，设交点，则，，设，则，，，，，，，即.41．定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”.结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线.结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点.试根据上面的定义和结论解决下列问题：已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点.(1)求；(2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点；(3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值.【答案】(1)3(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）先求的方程为，联立可得；（2）先求得和交于点，再求得直线的方程为，也过，即可证；（3）在点处的切线方程为，则与平行，由椭圆的光学性质可得，即为定值.【详解】（1）根据定义，可得的方程为，即，将其代入的方程得，解得，不妨取，所以.（2）根据所给结论可知分别是关于点的极线，如图（1），取，则.由解得所以和交于点，要证明直线相交于一点，只需证明直线过点即可.设.根据所给结论，可知直线，直线.因为直线和都经过点，所以，所以直线的方程为，将代入，得，方程也成立，所以直线过点，故直线相交于一点.（3）由题意，在点处的切线方程为，则与平行，且经过坐标原点.如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知.又因为，所以，所以，所以.过作，与交于点，则，所以.另一方面，因为，所以，从而，所以.因此，故为定值.【点睛】关键点点睛：本题第二问证明三点共线，先求两条直线的交点，再证交点在第三条直线上即可.第三问先考虑在点处的切线方程为与平行，进而根据椭圆的光学性质和平面几何相关知识可得.题型六、极点极线在圆锥曲线中的应用42．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程.（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解.【详解】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． （2）依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立，设，由韦达定理得． 又，则 注意到，即： .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.43．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形．(1)求C的标准方程；(2)M，N为C上且在x轴上方的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)定值为．【分析】（1）根据面积求出，即可得出椭圆方程；（2）设，根据相似三角形表示出，利用直线与椭圆方程化简可得的和积，代入化简即可得解.【详解】（1）椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，因为四边形是面积为8的正方形，所以有且，解得，故，所以椭圆的标准方程为；（2）由已知，则，设，因为，所以．又因为，所以，所以．即．设，的方程分别为：，，设，，则，所以，因此，同理可得：，因此，，所以．所以为定值，定值为．【点睛】关键点点睛：本题的关键在于运算，大量的运算保证了消参的进行，为求证定值的必要条件，运算能力的培养是解决问题的关键.44．如图，椭圆的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点，(1)若轴，求的面积；(2)若，求点的坐标；(3)求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题设条件，直接求出，即可求解；（2）设，直线的方程为，联立椭圆方程，求出，结合条件得到，即可求出，从而求解；（3）直接求出的纵坐标，从而得到，再利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，由椭圆，得，，则，，，所以，，当时，由，得，所以，      所以的面积为．（2）设，，则直线的方程为，由，消可得，整理得，所以，得，所以，      因为，所以，可得，所以，解得，代入，得出，所以点的坐标为.（3）设，由（2）得，则直线的方程为，由，消得到，所以，得，得到，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为．45．已知椭圆过和两点.  (1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q（不同于B，A）.证明：点B在以为直径的圆内.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）把给定点的坐标代入椭圆方程，求出即得.（2）设出点的坐标，求出直线的方程，分别与椭圆方程联立求出点坐标，再借助向量数量积求解即得.【详解】（1）依题意，将点和的坐标代入椭圆，得，解得，所以椭圆方程为（2）由（1）知，显然点不在x轴上，设，，直线斜率分别为，直线的方程为，的方程为，由，消去得，显然，于是，解得，则，由，消去得，显然，于是，解得，则，因此，，则，则有为钝角， 所以点B在以为直径的圆内.46．已知椭圆的离心率为，直线，左焦点F到直线l的距离为．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆相交于A，B两点．C，D是椭圆T上异于A，B的任意两点，且直线AC，BC，AD，BD的斜率都存在．直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．设直线AC，BC的斜率为，．①求的值；②求直线MN的斜率．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由距离公式求出，再由离心率求出，即可求出，从而得解；（2）首先求出，两点坐标，①设，利用斜率公式计算可得；②设，的斜率分别为，，设直线的方程为，直线的方程为，即可求出点坐标，同理求出点坐标，再由斜率公式计算即可得解.【详解】（1）因为，所以，又左焦点到直线的距离为，有，解得或（舍去），所以，，椭圆方程为．（2）由（1）知，椭圆的方程为，由，解得或，所以，．①，斜率都存在，即，存在．设，显然，且，从而．②设，的斜率分别为，，设直线的方程为，直线的方程为．由，解得，从而点的坐标为，因为，，设直线的方程为，即，设直线的方程为，即，用代，代得点的坐标为，即点的坐标为，所以．47．已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）存在点．【详解】（Ⅰ）由于椭圆：过点且离心率为，，，椭圆的方程为.,直线的方程为：，令，；（Ⅱ），直线的方程为：，直线PB与x轴交于点N，令，则.设, ,,则，所以，（注：点在椭圆上，），则，存在点使得.考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.48．已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【答案】（1）；（2）证明详见解析.【分析】（1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.（2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：    由椭圆方程可得：， ，，，椭圆方程为：（2）[方法一]：设而求点法证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点．当时，直线：，直线过点．故直线CD过定点．[方法二]【最优解】：数形结合 设，则直线的方程为，即．同理，可求直线的方程为．则经过直线和直线的曲线的方程可写为．可化为．④易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得．故，可得或．其中表示直线，则表示直线．令，得，即直线恒过点．【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.49．设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【答案】（1）的方程为或；（2）证明见解析.【分析】（1）根据与轴垂直，且过点，求得直线的方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；（2）方法一：分直线与轴重合、与轴垂直、与轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.【详解】（1）由已知得，的方程为.由已知可得，点的坐标为或.所以的方程为或.（2）［方法一］：【通性通法】分类＋常规联立当与轴重合时，.当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，则，直线、的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.则.从而，故、的倾斜角互补，所以.综上，.［方法二］：角平分线定义的应用当直线l与x轴重合或垂直时，显然有．当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为，交椭圆于，．由得．由韦达定理得．点A关于x轴的对称点，则直线的方程为．令，，则直线过点M，．［方法三］：直线参数方程的应用设直线l的参数方程为（t为参数）．（*）将（*）式代入椭圆方程中，整理得．则，．又，则，即．所以．［方法四］：【最优解】椭圆第二定义的应用当直线l与x轴重合时，．当直线l与x轴不重合时，如图，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则有轴．  由椭圆的第二定义，有，，得，即．由轴，有，即，于是，且．可得，即有．［方法五］：角平分线定理逆定理＋极坐标方程的应用椭圆以右焦点为极点，x轴正方向为极轴，得.设．．所以，．由角平分线定理的逆定理可知，命题得证．［方法六］：角平分线定理的逆定理的应用设点O（也可选点F）到直线的距离分别为，根据角平分线定理的逆定理，要证，只需证．当直线l的斜率为0时，易得．当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：．由方程组得恒成立，．．直线的方程为：．因为点A在直线l上，所以，故．同理，．．因为，所以，即．综上，．［方法七］：【通性通法】分类＋常规联立当直线l与x轴重合或垂直时，显然有．当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为，交椭圆于，．由得．由韦达定理得．所以，故、的倾斜角互补，所以.［方法八］：定比点差法设，，所以，由作差可得，，所以，，又，所以，，故，、的倾斜角互补，所以.当时，与轴垂直，为的垂直平分线，所以.故．【整体点评】（2）方法一：通过分类以及常规联立，把角相等转化为斜率和为零，再通过韦达定理即可实现，是解决该类问题的通性通法；方法二：根据角平分线的定义可知，利用点关于轴的对称点在直线上，证直线过点即可；方法三：利用直线的参数方程证明斜率互为相反数；方法四：根据点M是椭圆的右准线与x轴的交点，用椭圆的第二定义结合平面几何知识证明，运算量极小，是该题的最优解；方法五：利用椭圆的极坐标方程以及角平分线定理的逆定理的应用，也是不错的方法选择；方法六：类比方法五，角平分线定理的逆定理的应用；方法七：常规联立，同方法一，只是设直线的方程形式不一样；方法八：定比点差法的应用．50．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．【答案】(1)(2)【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：.（2），所以，①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，，且即联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.题型七、椭圆中的光学性质51．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意求出，再代入通径公式运算求解即可.【详解】由题意可知：，，解得，，可得，所以.故选：C.52．古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光学性质．光线从椭圆的一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点．已知点、是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N．若点、N关于的角平分线对称，且，则椭圆C的离心率为（   ）．A．B．C．D．【答案】A【分析】由点、N关于的角平分线对称，可得，设，根据椭圆的定义求出，再在中，利用余弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出的关系即可得解.【详解】由题意可得共线，因为点、N关于的角平分线对称，所以，设，则，故，由，得，在中，由余弦定理得，，即，即，解得或（舍去），所以，在中，由余弦定理得，，即，解得，即椭圆C的离心率为.故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.53．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得【详解】由已知得，，由椭圆定义可得，根据光的反射定理可得为的角平分线，由正弦定理，所以，，又所以即.故选：D.54．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（    ）A．B．C．4D．8【答案】C【分析】延长、交于点，由光学性质分析可知，则为的中点，且，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得的值.【详解】由椭圆，则，长轴长.如图，在平面直角坐标系中，延长交于点，连接，由题意可知，又因为，则为的中点，且，所以，又因为为的中点，则为的中位线，则.故选：C.55．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由角平分线性质得到，再结合余弦定理及椭圆定义即可求解.【详解】  由可得：，由角平分线的性质可得：，所以，设，由题意，因为，所以，由余弦定理可得：，解得：，又，所以，得：，故选：D56．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为（    ）A．4B．6C．8D．16【答案】C【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线均为，求出点到的距离，结合椭圆的定义得到原点到点处切线的距离，得到方程，求出，，由余弦定理，，得到，结合焦距为即可求解.【详解】如图，设点处的切线为为的平分线，交轴于点，则，过点，分别作，垂足分别为，过点作于点.设，则.因为，所以，所以.因为为的中点，所以由梯形的中位线定理，得，所以.因为，所以，所以.因为，所以在中由余弦定理，得，即，所以，即.又因为，所以，即椭圆的长轴为8.故选：C.57．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，C上的两点A，B的连线经过点，过点A作C的切线l，记点B关于l的对称点为D，若与的面积之比为22:9，且，则（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由椭圆的光学性质可得D，A，三点共线．设，则，，结合已知可求得，利用面积可求得，进而计算可求得.【详解】如图，由椭圆的光学性质可得D，A，三点共线．设，则，，故，解得，所以，，又，解得，所以，于是得．故选：C．58．椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用椭圆的光学性质，结合光的反射定律三角形面积公式求得，再利用椭圆的定义，借助勾股定理理建立方程求解.【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线，由与关于直线对称，得，则，解得，，于是，即，，因此，所以椭圆的离心率.故选：D59．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）  A．3B．4C．6D．8【答案】D【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长.【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即．延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH，则OH是的中位线，于是，而点在圆上，则的周长等于．  故选：D.题型八、双曲线中的光学性质60．在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据离心率为得到，，利用特殊值的思路，设双曲线的标准方程为，，，然后利用勾股定理列方程解得，最后求的余弦值即可.【详解】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以.故选：A.61．根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知分别是双曲线C：的左.右焦点，若从发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】显然在第一象限，然后根据已知求出点的坐标，再求出点的坐标，由此可得轴，设角的角平分线为，求出直线的倾斜角，即可求解．【详解】解：由已知可得在第一象限，将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以，又由双曲线的方程可得，，所以，则，所以，且点，都在直线上，又，设过点与双曲线相切的直线方程为，代入所以，设的角平分线为，则，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，因为，解得所以直线的斜率为故选：D．62．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率.【详解】由题意知延长 则必过点 ，，设，则，，由双曲线的定义可得，，由可得，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得解得：，则，故选：D63． “双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点（如图1），并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角（如图2）．已知左、右焦点分别为的双曲线的离心率为，并且过点，坐标原点为双曲线的对称中心，点的坐标为（1，0），则下列结论不正确的是（    ）A．双曲线的方程为B．若从射出一道光线，经双曲线反射，则其反射光线所在直线的斜率的取值范围为C．D．过点作垂直的延长线于点，则【答案】B【分析】A选项根据离心率找到关系，代点求方程即可；B选项可由双曲线渐近线的斜率得到；C选项判断直线为切线，再由题中所给定义得到结论；D选项联立两条直线方程求出点坐标，求出.【详解】设双曲线的方程为．对于A，由离心率，可得，于是双曲线的方程为，将代入，得，所以双曲线的方程为，故A正确；对于B，根据题中条件分析可知，反射光线所在直线与双曲线有两个交点，且过点，则其斜率介于双曲线的两条渐近线斜率之间，而双曲线渐近线斜率，则其反射光线所在直线的斜率的取值范围为，故B错误；对于C，因为，所以，与双曲线方程联立，得到，可知该直线与双曲线只有一个交点，即直线为双曲线在点处的切线，根据题中条件“过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知，，故C正确；对于D，由C选项知，因为直线垂直于直线，所以，又，所以，由，得，因此，故D正确；故选：B.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用双曲线的光学性质判断选项.64．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ）A．4B．8C．12D．16【答案】B【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合.根据双曲线的定义有所以根据椭圆的定义由所以路程故选：B.65．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知曲线的方程为，，从点发出的光线，沿与的渐近线垂直的方向射出后被反射，反射光线所在直线恰与渐近线平行，则的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据双曲线的光学性质可得焦点三角形的性质，从而可得基本量的关系，故可求离心率.【详解】由题意知，表示的曲线为双曲线的右支，点为双曲线的左焦点，光线射向双曲线上的点，由双曲线的光学性质可知，反射光线所在直线过右焦点，由已知，，所以，点到直线：的距离，即，所以，所以，，且，所以，,又，得，所以，得，故选：B.66．如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）.  A．B．C．D．【答案】C【分析】使用题设条件得到.也就是，然后引入参数并得到等量关系故，最后使用余弦定理即可得到齐次方程并求解.【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线.，且由知，故.所以.可设，，.由于，故.从而，，故，.在中，由余弦定理得，，解得，所以.故选：C.  67．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论．【详解】设，，，由题意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得或（舍去），所以，则，则.故选：C.68．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（   ）A．B．C．2D．【答案】A【分析】由对称性以及几何关系得出，，再由求出的离心率，即可得.【详解】连接，因为，则，即为等边三角形，由对称性可知，则，又因为，即，整理得，解得或（舍），所以.故选：A.69．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）  A．B．C．D．【答案】C【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，  设，则，显然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：C.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）.题型九、抛物线中的光学性质70．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：，一条平行于y轴的光线，经过点，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若，则抛物线C的准线方程是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据抛物线的定义，即可转化求解.【详解】由题意可知，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以，得，所以抛物线的准线方程为.故选：B71．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为，平行于x轴的光线从点射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则（    ）A．6B．8C．10D．12【答案】C【分析】由题意求出A点坐标，根据光线反射的性质求出反射光线的方程，即可求出B点坐标，利用两点间距离公式，即可求得答案.【详解】由抛物线C的方程为，可得其焦点为，由于，故点纵坐标为4，代入中，即，即，由题意知反射光线经过点，则的方程为，联立，得，即得，故，故选：C72．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，抛物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，一条光线沿射出，经过抛物线上的点（异于点）反射，反射光线经过点，若，则抛物线的方程为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设直线AB的方程，联立其与抛物线方程求出，代入抛物线方程可求出，再运用抛物线焦点弦公式可得，解方程即可.【详解】如图所示，，设，，直线AB的方程为，，则，解得：，将代入得，又因为，即：，即：，又因为，所以，即：，所以抛物线方程为.故选：B.73．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ）A．B．C．13D．15【答案】D【分析】求出点的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点的坐标即可得解.【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得，由抛物线的光学性质，得点共线，设，则，解得，点，于是，，，所以的周长为.故选：D74．抛物线有一个重要性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线：上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（    ）A．B．24C．32D．【答案】D【分析】易得点A和C的焦点坐标，从而达到直线AB的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用抛物线的定义求解.【详解】解：由题意得点A的坐标为，C的焦点为，所以直线AB的方程为，与抛物线方程联立，消去y得，由韦达定理得，所以，所以由抛物线的定义得．故选：D75．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可.【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上，且过点的直线方程：，联立，可得，解得或，结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：.故选：D.76．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据抛物线的定义求出即可得解.【详解】根据抛物线的光学性质可知与轴平行，所以由抛物线定义可知，解得，所以抛物线的标准方程为，故选：D77．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出直线方程，与抛物线方程联立求出点的坐标即得.【详解】抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则，直线方程为：，即，由，消去得，解得或，由，得，于是，，而，所以的周长为.故选：D  综合攻坚 能力跃升一、填空题1．过双曲线右支上的点作的切线，，为双曲线的左右焦点，为切线上的一点，且若，则双曲线的离心率为 .【答案】/【分析】先设出的坐标写出切线方程从而得到切线与轴交点的横坐标，再利用双曲线第二定义表示出的值，再根据得到相似比即可求的值进而求离心率.【详解】设，则切线的方程为，设切线与轴交点为，令可得点的横坐标，根据双曲线第二定义可得，由，即，也即，解得，则，故.故答案为：2．在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为 ．【答案】【分析】首先求切线的方程，再求直线的方程，即可求交点的坐标，即可求解.【详解】由条件可知，，解得：，，所以椭圆，所以在点处的切线方程为，即，因为，所以直线，联立，解得：，，即，且所以.故答案为：3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率 ．【答案】【分析】设直线与圆切于点，根据，得到 则，进而利用勾股定理求出离心率.【详解】设直线与圆切于点，则，由，则，所以，，，由勾股定理得，即，解得，则，．故答案为：4．双曲线的光学性质如下：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（三点共线），满足，，则 ．【答案】或【分析】设，由双曲线定义表示出，解三角形求出，，结合双曲线定义利用表示，从而建立关系式求出（用表示），可求得．【详解】由题可知三点共线， 三点共线，如图，连接，，设，则，因为，所以，又，所以，，所以，，所以，得，则．故答案为：5．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则 ．【答案】【分析】由题意可得，进而可得直线的方程为，设，，与抛物线方程联立方程可求得，可求得，进而可得，利用余弦定理可求得.【详解】如图，在中，，所以，所以，又因为轴，所以，因此，故直线的方程为，联立，得，设，，则，由抛物线的定义知，而，所以，在中，，，由余弦定理，得，解得．故答案为：.6．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则 秒.【答案】0.018【分析】根据椭圆和双曲线的定义推得和的周长，然后根据时间速度以及路程之间的关系列出等式，即可解得答案.【详解】设 ，设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，光速为 ，而与的离心率之比为，即 ，即 ，在图①中， ，两式相减得：，即.即 的周长为，在图②中，的周长为,由题意可知： ，则 ，故 （秒），故答案为：.二、解答题7．直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，．(1)求；(2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值；(3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）设，，根据中点坐标公式可得，利用抛物线的定义求焦点弦，列式求解即可；（2）易知直线斜率必存在，设为，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合两点式斜率公式即可证明；（3）利用焦半径公式及（2）的韦达定理求出点的坐标，利用焦半径求出，利用导数法求得在点处的切线方程，利用点到直线的距离求出的高，即可求解面积.【详解】（1）设，，线段中点设为，则，由题意，抛物线的焦点为，根据抛物线的定义得，所以；（2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意.所以直线斜率必存在，设为，与抛物线联立得：，所以，得，所以直线的斜率之积为，所以直线的斜率之积为定值，该定值为；（3）由（1）知，，由题意，所以，所以或，当时，，此时，，由得，所以过点A的切线方程为，即，过点B的切线方程为，即，联立得，又的斜率，即，即，所以到的距离，因为，所以的面积为；当时，，此时，，由得，所以过点A的切线方程为，即，过点B的切线方程为，即，联立得，又的斜率，即，即，所以到的距离，因为，所以的面积为；综上，的面积为8．如下图所示，过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值．  【答案】．【分析】设，，则切点弦的方程为，与抛物线方程联立即可求出，进而求出，再求切线方程即可求出，化简求出四边形的面积，最后结合的范围求一元二次函数的最值即可.【详解】设点，，则切点弦的方程为，设，联立，得，从而，则，点到直线的距离为，则，由，得，则，则直线，则，同理可得，，故，故四边形的面积为，当时，，，当且仅当时，两个等号同时成立，故四边形的最大值为．9．已知椭圆：上一点处的切线为，两焦点，在上的射影分别为，我们常常把过切点且与切线垂直的直线叫做法线，它平分，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点如图记，，当点不在轴上时，记的面积为若.  (1)求证：；(2)试探究 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由；(3)若椭圆的离心率为，且当时，四边形的面积，求椭圆的方程.【答案】(1)证明见解析(2)为定值，(3)【分析】（1）根据椭圆的定义结合余弦定理，再应用二倍角正弦公式及余弦公式计算证明；（2）应用弦长计算化简结合关系计算求解；（3）根据面积公式计算化简结合离心率计算求解即可求出椭圆方程.【详解】（1）记，，，则，.在中， 又，两式相减，得， （2）题意得 故，，则， 由（1）得，，则.当为椭圆左右顶点时，也满足上式 故，为定值；（3） ， ， ，则， 由，知，故椭圆的方程为10．已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点．(1)求抛物线的标准方程；(2)求直线l的方程；(3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标求得，即可求解；（2）根据点差法，结合斜率公式即可求解直线的斜率，进而可判断直线过焦点，由焦点弦公式即可求解；（3）设设抛物线的切线方程为，联立直线与抛物线得交点坐标关系，设的方程为，联立，求出、，进而求得，利用点到直线的距离公式求出点到直线线的距离，根据三角形面积公式列关系利用导数求出最值即可.【详解】（1）因为抛物线：的焦点为，所以，所以抛物线.（2）由题易知直线的斜率存在．设，则可得．因为线段的中点为，所以，所以，则的方程为，即．（3）设抛物线的切线方程为，，即，由，可得，，设的方程为，联立，，同理，，点到直线线的距离，所以，令，因为，则，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，此时.