黑龙江佳木斯市第二中学2025−2026学年高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设命题p：，使得，则为（ ）
A．，使得B．，使得
C．，都有D．，都有
3．若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（ ）
A．72B．60C．48D．12
4．已知函数，则单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，则函数（ ）
A．是奇函数，且在R上单增B．是奇函数，且在R上单减
C．是偶函数，且在R上单增 D．是偶函数，且在R上单减
6．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
7．某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量y与x负相关B．线性回归方程中
C．当时，残差为-D．可以预测当时能耗约为2.2吨
8．是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A．不含常数项B．二项式系数之和为32
C．系数最大项是D．各项系数之和为
10．若随机变量，下列说法中正确的是（ ）
A．B．期望
C．期望D．方差
11．已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则（ ）
A．是函数的一个对称中心B．函数的一个周期是4
C．D．
三、填空题
12．随机变量X服从正态分布，，______．
13．已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有________种．
14．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______.
四、解答题
15．已知关于的不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）解关于的不等式.
16．已知函数在处取得极值.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
17．近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？
（2）为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望.
参考公式：，.
18．已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，设，若既有极大值又有极小值，求的取值范围．
19．2026年央视春晚的舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈、列队、翻转等高难度表演．某实验室为了检测机器人在目标位置定位的稳定性，设置了以下测试程序：机器人从图中的0号位置出发，每次右移2格或左移1格，共移动了n次，其中每次右移的概率为p（），左移的概率为．
（1）当，时，求机器人最终回到0号位置的概率；
（2）当，时，记机器人最终位于X号位置，求X的分布列；
（3）当时，机器人最终位于4号位置的概率为，求的最大值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】解不等式，得或，即或，而，所以.
故选D.
2．【答案】C
【详解】为，都有.
故选C
3．【答案】A
【详解】分两步进行：
第一步：先安排3个男生，不同的排法有种；
第二步：利用插空法安排2个女生，不同的排法有种；
则女生不相邻的排法数有种.
故选A.
4．【答案】B
【详解】函数 f(x)=x−lnx 的定义域为 (0,+∞)。
求导得f'(x)=1−1x=x−1x。
令f'(x)>0，即 x−1x>0，结合定义域解得 x>1。
所以 f(x) 的单调递增区间是 (1,+∞)。故选 B。
5．【答案】A
【详解】函数 f(x)=2x−2−x 的定义域为R。
因为 f(−x)=2−x−2x=−(2x−2−x)=−f(x)，所以 f(x) 为奇函数。
又 f(x)=2x−(12)x=2x+[−(12)x]，
因为 y=2x 是增函数， y=(12)x 是减函数，则 y=−(12)x 是增函数，
所以 f(x) 在 R上是增函数。故选 A。
6．【答案】A
【详解】由题意知 f(x) 为偶函数且周期为 2，即 f(−x)=f(x)， f(x+2)=f(x)。
所以 f(−34)=f(34)=f(34+2)=f(114)。
因为 2≤114≤3，代入解析式得：
f(114)=5−2×114=5−112=−12。
故选 A。
7．【答案】D
【详解】对于A，因回归方程斜率为负值，则变量y与x负相关，故A正确；
对于B，，，
因回归方程过，则，故B正确；
对于C，当时，由B分析，，则残差为：
故C正确；
对于D，当，由B分析，，故D错误.
故选D
8．【答案】C
【详解】解：令，
则，
因为，
所以，
则在上递增，
又是偶函数，且是定义在R上的奇函数，
所以是定义在R上的奇函数，
则在上单调递增，
所以，即，故A错误；
，即，故B错误；
，即，故C正确；
，即，故错误，
故选C
9．【答案】ABC
【详解】对于A：的展开式的通项为
.
令，得（不符题意），A正确；
对于B：二项式系数之和，B正确；
对于C：系数为正依次是，故系数最大项是，C正确；
对于D：令，得各项系数之和为，D错误.
故选ABC.
10．【答案】BCD
【详解】A选项：因，所以，故A错误.
B选项：，故B正确.
C选项：，故C正确.
D选项：，，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】BCD
【详解】根据奇偶性和周期性，逐一判断即可.
【详解】①由知，故关于轴对称，故A选项错误；
②是上的奇函数，即，又故，
所以，，故周期为4，故B选项正确；
③周期为4，且，得，故C选项正确；
④周期为4，，得，，故，故D选项正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】因为 X∼N(10,σ2)，正态曲线关于直线x=10对称。
所以P(X>8)=P(X8)=1−0.8=0.2。
13．【答案】
【详解】因为A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，
所以有一所学校必然有2名师范生实习.
若甲学校有2名师范生实习，而A一定去甲学校实习，
则B，C，D共3名师范生平均分配到甲、乙、丙3所学校实习，
此时共有种不同的安排方法.
若甲学校只有1名师范生实习，而A一定去甲学校实习，
则B，C，D共3名师范生按照分配到乙、丙2所学校实习，
此时共有种不同的安排方法.
综上，不同的安排方法有种.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】因为，所以由得，
因为关于的不等式在区间上有解，
所以只需小于等于的最大值，
当时，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为1，
所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
15．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）利用二次不等式的解的端点即相应的二次方程的根，易得的值;
（2）分类讨论解二次不等式.
【详解】（1）由题意知不等式对应的方程的两个实数根为和，且，由根与系数的关系，得
解得.
（2）由知不等式可化为，即，解得，所以不等式的解集为.
16．【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）最大值为2，最小值为.
【详解】（1）由题意得，由题意得，即，解得，
故，定义域为R，
，令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
易知为极小值点，符合题意，
所以单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，
所以，.
又，，
故的最大值为2，最小值为.
17．【答案】（1）认为购买AI手机与顾客的性别有关；
（2）见详解
【详解】（1），所以可以认为购买AI手机与顾客的性别有关.
（2）根据题意可能取值为：
；
；
；
；
；
的分布列为
的期望.
18．【答案】（1）见详解；
（2）.
【详解】（1）当时，的定义域为，，
当时，恒成立，在上为增函数；
当时，，，
当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，，当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
综上所述，当时，在上为增函数；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）因为，所以，
若既有极大值又有极小值，则至少存在两个变号零点，
即至少有两个不同实数根，
记，则，
当时，，当时，，
所以在时，取得极大值，
又趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于0，
所以，的图象如图所示，
由图可知，当，即时，有两个变号零点，
且分别为极大值点和极小值点，所以的取值范围为．
19．【答案】（1）
（2）X的分布列为
（3）的最大值为.
【详解】（1）移动了n次，设右移次，则左移次，
所以机器人最终位于号位置，且.
当，时， 令，可得，
即机器人最终回到0号位置，则右移2次，
所以机器人最终回到0号位置的概率.
（2）当，时，则，，
可得；
；
；
；
所以X的分布列为
（3）当时，令，解得，
机器人最终位于4号位置，则右移3次，
则，，
可得，
因为，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以的最大值为.时间x
1
2
3
4
5
生产能耗y/吨
5
4.5
4
3.5
2.5
购买AI手机
购买不带AI的手机
总计
男性顾客
40
70
110
女性顾客
60
30
90
总计
100
100
200
0.010
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
…
0
1
2
3
4
5
6
…
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
X
0
3
6
P
X
0
3
6
P