辽宁抚顺市第一中学2025-2026学年第二学期高二期末考试数学试卷（含答案）

这是一份辽宁抚顺市第一中学2025-2026学年第二学期高二期末考试数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了考查范围，考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟试卷分值：满分150分．
注意事项：
1．考查范围：选择性必修三及函数与不等式
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由，而，
则.
2. “”是“函数在上单调递增”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】函数，函数的单调递增区间是，
由函数在上单调递增，得，则，因此，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
3. 若函数则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为，
所以，.
4. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ）
A. 0或1B. 或1C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可.
【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1.
5. 定义一种运算，则函数的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】当时，，，
因为在上是单调递增函数，所以，即；
当时，，，
因为在上是单调递减函数，所以，即；
综上可知，的值域为.故选项C正确.
6. 已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知．
解法2：当时，．
令，得或，
解得或，不满足题意，因此排除B、D选项．
当时，，
令，得或，
解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A．
7. 已知函数，若，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可.
【详解】因为，所以为定义在上的偶函数，
因为，当时，即时，解得，
所以在上递增，，
由，，故.
8. 已知奇函数满足，当时，，则（）
A. 0B. 1C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知解析式可求解.
【详解】因为函数满足，
所以，即是以4为周期的函数.
由题意知奇函数的自变量可取0，所以.
又因为当时，，所以，解得，
所以当时，，
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由对数的运算可判断A，由基本不等式结合乘1法可判断BCD.
【详解】由题意可知，所以，A项正确；
，当且仅当时取等，B项正确；
所以，当且仅当时取等，C项正确；
，当且仅当时取等，D项错误．
10. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，若，，则（ ）
A.
B. 数列有最小项
C.
D. 当或时，取得最大值
【答案】ACD
【解析】
【详解】已知正项等比数列，，，
由条件得，即，，
由，即，
代入得：，
整理得，解得（负根舍去，因），故选项A正确；
得，通项公式，
前项和：，
即，故选项C正确；
数列是递减正项数列：，
增大时不断减小趋近于0，不存在最小项，故选项B错误；
前项积，指数是开口向下的二次函数，对称轴为，
为正整数，因此和时指数最大，对应为最大值，故选项D正确.
11. 已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（）
A. B. 是偶函数
C. D. 在上是减函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】令判断A，令可判断B，令，所给等式两边取导数可判断C，对两边取导数，再令可求出，即可得出函数单调性判断D.
【详解】令，可得，故A正确；
令，可得，即，所以函数为奇函数，故B错误；
令，则，两边取导数可得，即，故C正确；
由，对两边求导，，
令，可得，又，所以，
当时，，所以在上是减函数，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数且，则的值为______．
【答案】
【解析】
【详解】函数且，
所以，即,
所以
13. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，且该函数上单调递增，由可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为函数的定义域为，是偶函数，
则，即，
所以，函数的图象关于直线对称，
当时，，则函数在上单调递减，
故函数在上单调递增，
因为，则，即，
即，即，解得或，
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
14. 数列满足，，且对任意，都有.若是数列中第一个大于100的项，则______.
【答案】11
【解析】
【分析】先构造，得到数列是公差为2的等差数列，再利用累加法求解数列的通项公式，从而找到数列中第一个大于100的项.
【详解】令.
由得，
所以数列是公差为2的等差数列，
又，所以.
所以
当，，
，
…
，
，
将以上个等式左右两边分别相加得
，
所以，因为也满足，所以，
要找第一个大于100的项，即，所以
所以第一个大于100的项是第11项，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）若，解不等式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义求解即可.
（2）根据换元法和指数函数的性质求解即可.
【小问1详解】
因为函数为奇函数，所以，即
.
化简得，
所以，即.
【小问2详解】
时，原不等式可化为，设，则.
所以不等式变为，化简得，
因为，所以，所以要使得不等式成立，则.
即，即，根据指数函数的性质可知.
所以不等式的解集为.
16. 已知正项等比数列满足．
（1）求数列的通项公式：
（2）设满足，求的前项和．
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】(1)由递推关系及等比数列定义可得；
(2)由分组求和可得.
【小问1详解】
设公比为 .
由 得 .
又 , 故 .
令 得 , 令 得 , 两式相除得 ,
由正项数列知 , 代入得 , 因此 .
【小问2详解】
由 得 , 则 ，
前 项和拆分为奇数项与偶数项之和: ，
奇数项和为 .
偶数项和为 .
相加得 .
17. 设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据求a,b的值即可；
（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以.
依题设，即
解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
由及知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，.故的单调递增区间为.
【考点】导数的应用；运算求解能力
【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．
18. 数列中，是数列的前项和，已知，．
（1）求证：是等差数列；
（2）已知，
（Ⅰ）若，求数列的前n项和；
（Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值．
【答案】（1）法一：当时，
，，，
，
，
，
，
是常数列，设该常数为k，则，，
，也符合上式，因此是等差数列．
法二：
，
，
，
①，
又，
②，
②-①，
则数列是等差数列.
法三：
当时，解得，
当时，，
即，
，，，成等差数列，
猜想，.
（ⅰ）时，，，成等差数列，猜想显然正确.
（ⅱ）假设时猜想正确，
即，，
则当时，，
，
，
，
，，
，
时，猜想也正确；
综上所述，，对都成立.
是等差数列.
（2）（Ⅰ）（Ⅱ）54
【解析】
【分析】（1）法一：利用的关系可证是常数列，进而可证结论；法二：利用的关系可得，可证结论；法三：利用数学归纳法可证结论；
（2）（Ⅰ）利用已知结合（1）求得，进而得，利用错位相减法可求得数列的前n项和；
（Ⅱ）求得与之间插入的k项之和，可得前k组之和，判断的单调性，进而计算可求得的最小值．
【小问1详解】
略.
【小问2详解】
（Ⅰ），，，
设数列的前n项和为，
③，
④，
所以③-④得，
，
所以.
（Ⅱ）新数列为：，，，，，，…，，，，…，，…，
将此数列分成若干组，，为第一组；，，为第二组；……，，，…，为第k组，
与之间的k项数列的和为：，
可得数列取到后的第k项时：.
前k组之和为：
，
显然随k的增大而增大，
当时，，，
，第44项再往后取m项，使m项的和大于978，
即：，
，当时，，时，，
，有最小值为54．
19. 已知函数.
（1）讨论函数的极值点个数；
（2）当时，证明：；
（3）函数有两个零点，求证：.
【答案】（1）时，无极值点；
时，有一个极小值点，无极大值点；
时，有一个极小值点，一个极大值点.
（2）当时，，
即证，
令，即证，即证，
因为，则函数在上单调递增，
当时，；当时，，所以函数的值域为，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，则，
故，即，故原不等式得证；
（3），
因为函数有两个零点、，不妨设，
则，所以，
则，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证．
【解析】
【分析】（1）求导，分、、三种情况讨论其单调性即可；
（2）令，利用同构思想求证即可；
（3）根据得出，将目标转化为求，再令，进而转化为求证，再构造函数求最值即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
，
令，，
当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点；
当时，即或时，
有两个不等的实数根，
当时，，，得；得；
则在上单调递减，在上单调递增，
则函数有一个极小值点，无极大值点；
当时，，得或；得；
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点，
综上，时，无极值点；
时，有一个极小值点，无极大值点；
时，有一个极小值点，一个极大值点.
【小问2详解】
略
【小问3详解】
略