湖南衡阳市第八中学2025−2026学年高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

这是一份湖南衡阳市第八中学2025−2026学年高二下学期7月期末考试数学试题（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数的实部大于0，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，若，则的值为（ ）
A．10B．C．D．
4．已知函数与函数在区间上的图象交于A，B，C三点，则的面积是（ ）
A．2B．C．D．4
5．已知直线与圆：相交于两点，其中点为圆心，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知.则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（ ）
A．20种B．19种C．18种D．17种
二、多选题
9．已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，且，则
D．若，，则至少与，中一个平行
10．已知抛物线过点，焦点为，点为抛物线上不同的两点，则（ ）
A．
B．存在直线，使得当直线过点时，有成立
C．
D．若，则
11．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，，下列结论正确的是（ ）
A．B．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大
C．D．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为
三、填空题
12．若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则__________．
13．已知椭圆C:，若不过原点且斜率为的直线与相交于，两点，且线段的中点为，则=____.
14．已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，若且，则__________．
四、解答题
15．为了研究某地居民的性别和是否喜欢京剧的关联性，某机构调查了当地200位居民，得到如下列联表：
单位：人
（1）将列联表中数据补充完整，依据的独立性检验，能否认为居民是否喜欢京剧与性别有关？
（2）从被调查的女性居民中按是否喜欢京剧采用分层随机抽样的方法选取6人参与游戏，游戏规则如下：第一轮从6人中随机选取1人，若选中的居民喜欢京剧，则游戏结束；若选中的居民不喜欢京剧，则从剩下的人中进行下一轮选取，以此类推，直至选中的居民喜欢京剧，游戏结束．记游戏结束时选取的人数为X，求X的分布列与期望．
附：，n＝a＋b＋c＋d．
16．在中，，．
（1）若，求的值；
（2）若为锐角三角形，，求的面积．
17．已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点.
（1）求的方程.
（2）过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，.
（i）证明：；
（ii）求的面积的最小值.
18．如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）设，，点F在线段BD上，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值.
19．已知函数，其中，.
（1）求的单调区间；
（2）若的极小值点为1，且，
（ⅰ）证明：，；
（ⅱ）设函数，若有唯一零点，证明：，.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意， M=A∩B 表示点 (x,y) 需同时满足 y>x 且 y=x2.
对于 A： (1,1) 不满足 y>x，故 (1,1)∉A，A 错误；
对于 B： (1,2) 不满足 y=x2（ 2≠12），故 (1,2)∉B，B 错误；
对于 C： (3,4) 不满足 y=x2（ 4≠32），故 (3,4)∉B，C 错误；
对于 D： (2,4) 满足 4>2 且 4=22，即 (2,4)∈A 且 (2,4)∈B，故 (2,4)∈M，D 正确.
2．【答案】A
【详解】设 z=a+bi(a,b∈R,a>0)，则 z=a−bi.
由 z(z+1)=6−2i 展开得：
zz+z=(a2+b2)+(a+bi)=(a2+b2+a)+bi=6−2i.
根据复数相等可得方程组： a2+b2+a=6，b=−2，
将 b=−2 代入第一式得 a2−4+a=6，即 a2+a−10=0，
解得 a=1 或 a=−2.
因为 a>0，所以 a=1.
故 z=1−2i.
3．【答案】D
【详解】由 a⟂b，得数量积 a⋅b=2x+(−1)×2=2x−2=0，解得 x=1.
所以 b=(1,2).
则 a−b=(2−1,−1−2)=(1,−3).
故 |a−b|=12+(−3)2=10.
4．【答案】A
【详解】令 f(x)=g(x)，即 2sin(πx+π4)=2cs(πx+π4)，化简得 tan(πx+π4)=1.
因为 x∈[−94,34]，所以 πx+π4∈[−2π,π].
在此范围内， πx+π4 可取 −7π4,−3π4,π4.
解得交点横坐标为 x1=−2,x2=−1,x3=0.
代入函数求得交点坐标为 A(−2,1),B(−1,−1),C(0,1).
观察可知 A,C 两点纵坐标相同，连线平行于 x 轴，底边长 |AC|=0−(−2)=2.
点 B 到 AC 的距离（高） ℎ=|1−(−1)|=2.
所以 S△ABC=12×|AC|×ℎ=12×2×2=2.
5．【答案】B
【详解】圆方程化为标准式： (x−1)2+(y+2)2=4，圆心 C(1,−2)，半径 r=2.
设圆心 C 到直线 l:kx−y=0 的距离为 d.
由 0