2025-2026学年黑龙江省佳木斯市第二中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年黑龙江省佳木斯市第二中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足z(1−i)=2i，其中i为虚数单位，则z的虚部为( )
A. 1B. iC. −1D. −i
2.已知向量a,b满足|a|=2|b|=6，且b⊥(b−a)，则|a−b|=( )
A. 0B. 3C. 6D. 3 3
3.在△ABC中，AB=2,AC=3,csA=34，则csB=( )
A. 18B. −18C. 19D. −19
4.已知向量AB=(3,1),AC=(2−m,1−m)，若点A，B，C不能构成三角形，则实数m应满足的条件为( )
A. m=12B. m≠12C. m=14D. m≠14
5.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题一定正确的是( )
A. 若m⊥α，m//n，且α⊥β，则n//β
B. 若m⊥α，m⊥n，且α⊥β，则n⊥β
C. 若m⊥α，n//β，且α//β，则m⊥n
D. 若m//α，n//β，且α//β，则m//n
6.在空间直角坐标系中，直线l经过点O(0,0,0)，且其方向向量n=(1,0,1)，则点M(0,1,1)到直线l的距离为( )
A. 3B. 6C. 3D. 62
7.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中点，则过B、E、D1三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为( )
A. 5B. 6C. 2 6D. 4 6
8.已知三角形ABC满足(BA|BA|+BC|BC|)⋅AC=0，则三角形ABC的形状一定是( )
A. 正三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′(A,B,C,D的对应点分别是A′，B′，C′，D′)，已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是( )
A. AB=4
B. 四边形ABCD的周长为4+2 2+2 3
C. A′D′=2 2
D. 四边形ABCD的面积为6 2
10.已知向量a=(−6,3)，b=(1,t)，则( )
A. 当a+b=(−5,4)时，t=1
B. 当a⊥b时，t=−12
C. a与b夹角为锐角时，则t的取值范围为(2,+∞)
D. 当t=3时，a在b上的投影向量为(310,910)
11.已知四棱锥P−ABCD中，PC⊥平面ABCD，AD⊥CD，AC=4，四棱锥P−ABCD的外接球的球心为O.记四棱锥P−ABCD，O−ABCD的体积分别为V1，V2，三棱锥P−ACD，P−ABC的体积分别为V3，V4，则下列说法中正确的有( )
A. AB⊥BP
B. V1=2V2
C. V1=2V3
D. 若直线PA与平面ABCD所成的角的大小为45°，则V4的最大值为163
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z满足|z|=2 5，且z−4是纯虚数，则复数z= ______．
13.在三棱锥A−BCD中，AC⊥平面BCD，BC⊥BD，且AC= 3,BC=2,BD= 5，则该三棱锥外接球的表面积为______．
14.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是BC边上靠近B点的三等分点，E是BC边上的动点，则AE⋅CD的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=(2m2−3m−2)+(m2−m−2)i，m∈R．
(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；
(2)当m=1时，z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=4，E为PA的中点．
(1)证明：AB⊥DE；
(2)求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值；
(3)求点P到平面BDE的距离．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，acsA=2b−ccsC．
(1)求角A；
(2)若D是线段BC的中点，且AD= 2，求S△ABC．
18.(本小题17分)
如图，三棱锥P−ABC中，BC⊥平面PAC，BC= 3，AC=3，PB= 5，点E满足AE=2EC，PE=1．
(1)证明：PE⊥平面ABC；
(2)若在棱AB上存在一点D，使得PD⊥AC．
(ⅰ)求BD的长；
(ⅱ)若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=1，asinA−sinCa−b=sin(A+C)，a≠b．
(1)求△ABC的外接圆半径；
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】4+2i或4−2i
13.【答案】12π
14.【答案】[−43,103]
15.【答案】(−1,−12) p=6，q=13
16.【答案】证明：PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，可得PD⊥AB，
底面ABCD是正方形，即AB⊥AD，PD∩AD=D，
所以AB⊥平面PAD，
而DE⊂平面PAD，
所以AB⊥DE 33 4 33
17.【答案】π3 32
18.【答案】由BC⊥平面PAC，PE，PC⊂平面PAC，
所以BC⊥PE，BC⊥PC，
因为AE=2EC，AC=3，所以CE=1，
在Rt△PBC中，PC= PB2−BC2= 2，
又PE=CE=1，所以PC2=PE2+CE2，即PE⊥AC，
又AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC，
所以PE⊥平面ABC
(ⅰ)2 33；(ⅱ)[ 55, 22]
19.【答案】解：(1)因为c=1，asinA−sinCa−b=sin(A+C)，a≠b，
可得asinA−csinCa−b=sinB，
由正弦定理可得a2−c2=b(a−b)=ab−b2，
即a2+b2−c2=ab，
由余弦定理可得：a2+b2−c2=2abcsC，
可得csC=12，而C∈(0,π)，
可得C=π3，
所以sinC= 32，
设△ABC的外接圆的半径为R，
由正弦定理可得csinC=2R，即R=12⋅ 32= 33，
所以△ABC的外接圆的半径为 33；
(2)由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=1 32=2 3，
所以a=2 3sinA，b=2 3sinB，
所以△ABC的周长为a+b+c=2 3(sinA+sinB)+1
=2 3[sinA+sin(π3+A)]+1
=2 3(sinA+sinπ3csA+csπ3sinA)+1
=2 3(32sinA+ 32csA)+1
=2sin(A+π6)+1，
在锐角△ABC中，A∈(0,π2)B=2π3−A∈(0,π2)，可得A∈(π6,π2)，
可得A+π6∈(π3,2π3)，
所以sin(A+π6)∈( 32,1]，
所以a+b+c∈( 3+1,3]．