福建省漳州市第二中学2025−2026学年第二学期高二年段期末考试数学试卷（含答案）

这是一份福建省漳州市第二中学2025−2026学年第二学期高二年段期末考试数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
4．函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中为污染物初始含量，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）
（参考数据：）
A．2hB．3hC．4hD．5h
6．对于随机事件，若，，，则下列不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：
已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．变量与之间的线性相关系数
C．预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元D．残差绝对值的最大值为0.4
10．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数关于直线对称
B．4是函数的周期
C．
D．方程恰有4不同的根
11．如图，已知正方体的棱长为2，P是正方形（包括边界）底面内的一动点，则下列结论正确的有（ ）

A．三棱锥的体积为定值
B．存在点P，使得
C．若，则P点在正方形内的运动轨迹长度为
D．若点P为的中点，点Q为的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题
12．设曲线的斜率为的切线为，则的方程为____________．
13．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______．
14．已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为______；若，则的最大值为______.
四、解答题
15．已知等比数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）记为的前n项和，若，求k.
16．在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响.
（1）求考生甲得分的分布列和数学期望；
（2）求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率.
17．已知椭圆的左焦点为，离心率为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程.
18．如图，平面，，，，，为的中点．
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长．
19．已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为点 M 在 z 轴上，设 M(0,0,a).
由 |MA|=|MB|，根据空间两点间距离公式得：
(0−1)2+(0−0)2+(a−2)2=(0−1)2+(0+3)2+(a−1)2,
两边平方化简得： 1+(a−2)2=10+(a−1)2，
解得 a=−3.
所以点 M 的坐标为 (0,0,−3).
2．【答案】C
【详解】集合 A 为函数 y=x2 的值域，因 x2≥0，故 A=[0,+∞)；
集合 B 为函数 y=ln(2−x) 的定义域，由 2−x>0 得 x0，解得 m=1.
此时 g(x)=2x−2−x，满足 g(−x)=−g(x)，是奇函数，充分性成立.
必要性：
若 g(x)=2x−m2⋅2−x 为奇函数，则 g(0)=1−m2=0，解得 m=±1.
此时 m 不一定为 1，必要性不成立.
综上，是充分不必要条件.
4．【答案】A
【详解】的定义域为R，
，
故为奇函数，排除BC选项，
当时，，则，
又，，故，故，
A选项满足要求，D选项错误.
5．【答案】B
【详解】由题意，当 t=1 时剩余 80%，即 0.8M0=M0e−k，得 e−k=0.8.
设过滤一半需时间 t，则 0.5M0=M0e−kt=(e−k)t=0.8t.
两边取对数得 t=−lg23lg2−1.
代入 lg2≈0.3010，得 t≈−0.30103×0.3010−1=−0.3010−0.097≈3.1.
故最接近 3h.
6．【答案】C
【详解】由 P(B|A)=P(AB)P(A)=14，得 P(AB)=25×14=110，故 C 错误.
验证其他选项：
A, P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=25+35−110=910，正确；
B, P(A|B)=P(AB)P(B)=16，正确；
D, P(AB)=P(B)−P(AB)=35−110=12，正确.
7．【答案】D
【详解】设，
由题意可知，函数在上单调递减，且，
函数的对称轴为，
所以，解得.
故选.
8．【答案】A
【详解】解： ，，
，
，等号取不到，
，
，
，
，
令，
∵，∴单调递减，且，
，可得
于是 ，
，
故选A.
9．【答案】ACD
【详解】依题意，，
因为回归直线方程为必过样本中心点，
则，解得，故A正确；
回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B错误；
当时，，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确；
当时，，残差绝对值为，
当时，，残差绝对值为，
当时，，残差绝对值为，
当时，，残差绝对值为，
当时，，残差绝对值为，
所以残差绝对值的最大值为0.4，故D正确；
故选ACD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A：因为是偶函数，
所以，即
所以关于对称，故A正确.
对于B：因为，
所以，
所以，即周期，故B正确
对于C：
所以，故C错误；
对于D：因为，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如下图所示：
所以与有4个交点，故D正确.
故选 ABD
11．【答案】ACD
【详解】对于A，在正方体中，平面平面，
则点P到平面距离为定值，的面积为定值，为定值，A正确；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设，，，
不垂直，因此不存在点P，使，B错误；
对于C，连接，平面，平面，则，而，
又平面，则平面，又平面，则.
同理得，又平面，则平面，
由，得平面，又平面，因此点轨迹为平面
与底面交线，即为线段，又，C正确；

对于D，取中点为，连接，平面，
由平行于，平面，得，又，则平面，
又取中点为，则，有四点共面，则平面平面.
平面即为平面，设平面分别与交于，
由平面平面，平面，平面，
则，又都是中点，则是中点，同理是中点，
于是平面截正方体所得截面为正六边形，又正方体棱长为2，则，
所以截面面积为，D正确.

故选ACD
12．【答案】
【详解】设切点为 (x0,y0).
对 y=lnx+x 求导得 y'=1x+1.
由斜率为 2 得 1x0+1=2，解得 x0=1.
代入原函数得 y0=ln1+1=1，即切点为 (1,1).
切线方程为 y−1=2(x−1)，整理得 2x−y−1=0.
13．【答案】1
【详解】因为 X∼N(800,σ2)，正态曲线关于 x=800 对称，
所以 P(X