2025-2026学年山东省青岛市第十七中学高二（下）期中数学试卷-

这是一份2025-2026学年山东省青岛市第十七中学高二（下）期中数学试卷-，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果函数y=f（x）在x=1处的导数为1，那么=（ ）
A. B. 1C. 2D.
2.在研究线性回归模型时，样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）所对应的点均在直线y=-3x+2上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r=（ ）
A. -1B. 1C. -3D. 2
3.（x-1）5的展开式中含x2的项是（ ）
A. -5x2B. 5x2C. -10x2D. 10x2
4.甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有A，B，C，D，E五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（ ）
A. 420B. 460C. 480D. 520
5.f（x）在（0，+∞）上的导函数为f′（x），xf′（x）＞2f（x），则下列不等式成立的是（ ）
A. 20242f（2025）＞20252f（2024）B. 20242f（2025）＜20252f（2024）
C. 2024f（2025）＞2025f（2024）D. 2024f（2025）＜2025f（2024）
6.设，下列正确的是（ ）
A. a0=-1B. a6=-64
C. a6=64D. a0+a1+a2+⋯+a6=0
7.若函数在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ）
A. [-1，+∞）B. （-1，+∞）C. D.
8.以下关于杨辉三角的猜想中，错误的是（ ）
A. 第100行中，从左到右看第51个数最大
B. 第150行的所有数的和为2149
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知随机变量X服从正态分布N（9，σ2），σ＞0且P（X＜m）=P（X＞n），则下列选项中一定正确的是（ ）
A. E（2X+1）=19
B. m+n=6
C. 若P（X≥8）=0.7，则P（8≤X＜10）=0.4
D. P（X≥7+2σ）＞P（X≤7-σ）
10.下列说法中正确的有（ ）
A. 在回归分析中，决定系数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好
B. 已知相关变量（x,y）满足回归方程，则该方程对应于点（2，29）的残差为1.1
C. 已知随机变量ξ～B（n,p），若E（ξ）=30，D（ξ）=20，则n=45
D. 以拟合一组数据时，经z=lny代换后的经验回归方程为，则c=e4，k=0.3
11.已知函数y=f（x）在R上可导且f（0）=-2，其导函数f′（x）满足：，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数f（x）有且仅有两个零点
B. 函数g（x）=f（x）+2e2有且仅有三个零点
C. 当0≤x≤2时，不等式f（x）≥3e4（x-2）恒成立
D. f（x）在[1，2]上的值域为[-2e2，0]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有 种排法.
13.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：
则D（X）的值为 .
14.函数f（x）=（sinx）2k+（csx）2k，x∈R，k∈N且k≥2的值域为 （用k表示）.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破.时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车/普通旅客快车以数字编号（如1461次）；快速列车以K+数字编号（如K9521次）；特快列车以T+数字编号（如T236次）；直达特快列车以Z+数字编号（如Z27次）；城际列车以C+数字编号（如C2723次）；动车组列车以D+数字编号（如D9933次）；高铁列车以G+数字编号（如G3588次）；市郊旅客列车以S+数字编号（如S501次）；临时旅客列车以L+数字编号（如L7455次）；旅游列车以Y+数字编号（如Y965次）.
为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了200名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格：
说明：
①CRH表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“C”“D”“G”“S”开头的旅客列车；
②受限于列车开行安排，车次编号以“L”“Y”开头的旅客列车未列入统计.
用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”.回答下列问题：
（1）从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，求P（X=2）和E（X）；
（2）据另一项调查显示，80%未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，60%选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=alnx+x-2a（a∈R）.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若曲线y=f（x）经过点A（1，-1），且在A处的切线为l.证明：除切点A外，曲线y=f（x）在直线l的下方.
17.(本小题15分)
人工智能（ArtificialIntelligence），英文缩写为AI.是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词、解答难题、到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局.
（1）在小明以2：1获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率；
（2）记整场比赛小明的获胜局数为ξ，求ξ的分布列和期望.
18.(本小题17分)
2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为.
（1）求x的值；
（2）是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？
（3）为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为ξ，求ξ的分布列以及E（ξ）.
参考公式：.
参考数据：
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-x.
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x∈[0，+∞），b∈（-∞，1]时，f（x）≥ax2+b恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】AC
12.【答案】72
13.【答案】2
14.【答案】[21-k，1]．
15.【答案】解：（1）记“未选择‘常见普速列车’出行”为事件A，
P（A） =．
从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，
则X～B，
P（X = 2）=，
E（X） = np = ．
（2）由（1）知P（A） =，则有，
记“参加调查的旅客今后将不会改变出行方式”为事件B，
由题意P（B|A）=，=，
∴
=，
∴参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率为．
16.【答案】①当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＜0时，f（x）在（-a，+∞）上单调递增，在（0，-a）上单调递减 证明：因为曲线y=f（x）经过点A（1，-1）
所以1-2a=-1，解得a=1．
所以．
因为f′（1）=2，所以l的方程为y=2x-3．
要证除切点A（1，-1）外，曲线y=f（x）在直线l的下方，
即证：lnx+x-2＜2x-3（x＞0，x≠1），
只需证：lnx-x+1＜0（x＞0，x≠1）．
设g（x）=lnx-x+1（x＞0，x≠1），则，
令g′（x）＞0，得0＜x＜1；令g′（x）＜0，得x＞1，
所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以g（x）＜g（1）=0．
所以当x＞0，x≠1时，lnx+x-2＜2x-3，
所以原命题得证
17.【答案】；

18.【答案】200；
有99.9%的把握认为，观看现场直播与学生性别有关；
分布列见解析，．
19.【答案】解：（1）由题意可得f′（x）=ex-1，则f'（0）=0，又f（0）=1，
∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．
（2）不等式f（x）≥ax2+b恒成立等价于ex-ax2-x≥b恒成立，
由b∈（-∞，1]时，f（x）≥ax2+b恒成立，得ex-ax2-x≥1⇔ex-ax2-x-1≥0，
令g（x）=ex-ax2-x-1，由当x∈[0，+∞）时，f（x）≥ax2+b恒成立，
得∀x∈[0，+∞），g（x）≥0，g′（x）=ex-2ax-1，令h（x）=ex-2ax-1，x≥0，
h′（x）=ex-2a,而ex≥1，则当2a≤1，即时，h′（x）≥0，
函数g′（x）在[0，+∞）上单调递增，g′（x）≥g′（0）=0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，
则g（x）≥g（0）=0，符合题意，因此；
当时，0＜x＜ln2a时，h′（x）＜0，则函数g′（x）在（0，ln2a）上单调递减，
此时g′（x）＜g′（0）=0，∴函数g（x）在（0，ln2a）上单调递减，
则当x∈（0，ln2a）时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意，
∴，即实数a的取值范围是（-∞，]．
（3）证明：由（2）知，当时，，
取，则，而，
∴
=，
∴． X
1
2
3
4
5
p
0.2
0.2
0.2
0.2
m
列车等级
CRH
普客
普快
快速
特快
直达特快
频数
54
27
38
42
18
21
看现场直播
未看现场直播
男同学
1.5x
x
女同学
150
250
P（χ2≥k）
0.1
0.01
0.001
k
2.706
6.635
10.828