2024-2025学年山东省青岛第十七中学高一下学期期中阶段性检测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省青岛第十七中学高一下学期期中阶段性检测数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z对应的点为(−2,1)，设i是虚数单位，则z1+i=( )
A. 32−12iB. −32−12iC. −12−32iD. −12+32i
2.已知向量a→,b→满足|a→|=1，|b→|= 3，|a→−2b→|=3，则a→·b→=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
3.▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=7,c=6,csB=15，则a=( )
A. 5B. 6C. 8D. 10
4.如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O′A′B′C′，则原四边形OABC的面积是( )
A. 16 2B. 8 2C. 16D. 8
5.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为2 3的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )
A. 16B. 16 3C. 18 3D. 21
6.设α是空间中的一个平面，l,m,n是三条不同的直线，则下列说法对的是( )
A. 若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B. 若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l//m
C. 若l//m，m⊥α，n⊥α则l⊥n
D. 若l//m，m//n，l⊥α，则n⊥α
7.如图，在▵ABC中，D为BC的中点，AE=2EC，AD与BE交于点F，若AB=a，AC=b，则BF=( )
A. −35a+25bB. 25a−35bC. −25a−35bD. 25a+35b
8.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB，点D是线段A1A上靠近A1的三等分点，则直线C1D与B1C所成角的余弦值为( )
A. 510B. 1010C. 1020D. 520
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)下列命题正确的有( )
A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B. 若AB与BC共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C. a=b的充要条件是|a|=|b|且a→/\!/b→
D. “若A，B，C，D是不共线的四点，且AB=DC”⇔“四边形ABCD是平行四边形”
10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，且M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法正确的是( )
A. MN//平面ADD1A1B. MN⊥AB
C. 直线MN与平面ABCD所成角为60∘D. 点A到平面A1BD的距离为 33
11.已知▵ABC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c，则下列说法正确的是( )
A. 若acsA=bcsB，则▵ABC是等腰三角形
B. 在锐角▵ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C. 若tanA+tanB+tanC>0，则▵ABC为锐角三角形
D. 若 3c−2asinBsinC= 3bsinB−asinA，则csAcsC的取值范围是−12,14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.知a=2 5，b=(9,18)，a,b=π3，则a在b上的投影向量是 .(用坐标表示)
13.如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为 米.
14.已知圆柱O1O2的下底面圆O2的内接正三角形ABC的边长为3，P为圆柱上底面圆O1上任意一点，若三棱锥P−ABC的体积为3 32，则圆柱O1O2的外接球的体积 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,2),b=(−3,k)．
(1)若a→/\!/b→，求b的值；
(2)若a⊥a+2b，求实数k的值；
(3)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
16.(本小题15分)
已知复数z=1+ia+2i+3ai,a∈R．
(1)若z是实数，求a的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围；
(3)若|z|= 13，求a的值．
17.(本小题15分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC，AC∩BD=O，点P为DD1的中点．求证：
(1)直线BD1//平面PAC；
(2)平面PAC⊥平面BDD1．
18.(本小题17分)
在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acsB=(2c−b)csA．
(1)求A；
(2)若a=2 3，求▵ABC周长的最大值．
19.(本小题17分)
如图，已知四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD．
(1)求证：AC⊥CD；
(2)若在此四面体中任取两条棱作为一组((a,b)和(b,a)视为同一组)，则它们互相垂直的组数记为a1；任取两个面作为一组(α,β)和(β,α)视为同一组)，则它们互相垂直的组数记为a2；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组((a,α)和(α,a)视为同一组)，则它们互相垂直的组数记为a3，试求a1+a2+a3的值；
(3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中，CD=1，AB=BC=1，有一根彩带经过平面ABC与平面ACD，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.D
6.D
7.A
8.D
9.BD
10.ABD
11.BCD
12.(1,2)
13.90
14.32π3/323π
15.(1)因为向量a=(1,2),b=(−3,k)，且a→/\!/b→，
所以1×k−2×(−3)=0，解得k=−6，
所以b= (−3)2+(−6)2=3 5．
(2)因为a+2b=(−5,2+2k)，且a⊥a+2b，
所以1×(−5)+2×(2+2k)=0，解得k=14．
(3)因为b与a的夹角是钝角，
则a⋅b