山东省青岛第十七中学2025-2026第二学期高一年级期末检测数学试题含答案

这是一份山东省青岛第十七中学2025-2026第二学期高一年级期末检测数学试题含答案，共60页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设z=1+4i（i为虚数单位），则iz+2z的虚部是（ ）
A．3B．3iC．4D．−4
2．若a=(6,2)，b=(x,1)，若a⊥b，则x的值是（ ）
A．−13B．13C．-3D．3
3．为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第i个（i=1，2，3，⋯，100）学生的体育达标情况记为变量值xi=1,体育达标0,体育不达标，则1100i=1100xi表示的含义为（ ）
A．全校学生体育达标的人数B．样本学生体育达标的人数
C．全校学生体育达标率D．全校学生体育达标率的估计值
4．底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ）
A．33πB．πC．2πD．3π
5．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（ ）
A．59B．49C．815D．715
6．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，如果acsA=bcsB，则△ABC一定是（ ）
A．等腰或直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
7．已知平面α，β，γ和直线m，n，c，下列命题正确的是（ ）
A．若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//βB．若m⊥c，n⊥c，则m//n
C．若α//γ，β//γ，则α//βD．若m⊥α，α⊥β，则m//β
8．已知a→，b→是单位向量，a→•b→=0．若向量c→满足|c→−a→−b→|＝1，则|c→|的最大值为（ ）
A．2−1B．2C．2+1D．2+2
二、多选题
9．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A．平均数为3B．众数为2和3
C．方差为85D．第85百分位数为4.5
10．已知事件A，B发生的概率分别为PA=13，PB=15，下列说法正确的是（ ）
A．若PAB=215，则事件A，B相互独立
B．若事件A，B互斥，则PA∪B=815
C．若事件A，B相互独立，则PA∪B=815
D．若事件B发生时事件A一定发生，则PAB=15
11．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为A1D上一动点，F为棱AB的中点，则（ ）
A．四面体B1CEF的体积为定值
B．存在点E，使EF⊥平面ACB1
C．二面角A1−DF−A的正切值为55
D．当E为A1D的中点时，四面体ADEF的外接球表面积为5π
三、填空题
12．已知单位向量a，b满足a−b=2，a在b方向上的投影向量等于________（用向量a，b表示）.
13．若向量a=3,1是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为________．
14．已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为52π，则该圆台的体积为___________.
15．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c， a=2，A=3π4，若λb+c有最大值，则实数λ的取值范围是______.
四、解答题
16．已知复数z1=m+4−m2im∈R，z2=2csθ−λ+4sinθiλ,θ∈R.
(1)若复平面内表示复数z1的点位于第一象限，求m的取值范围；
(2)若z1=z2，求λ的最小值.
17．2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成45,55,55,65,⋯,85,95五组， 并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值；
(2)由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）；
(3)展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在45,55和85,95内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在45,55和85,95的概率.
18．如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东75°的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成△ABC.其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角.
(1)若满足关系式：acsB+bcsA=2ccsA，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）；
(2)巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若△ABC满足关系式：2csA=sinCsinB，求b+2c的最大值.
19．如图所示，四边形ABCD为菱形，PA=PD，平面PAD⊥平面ADC，点E是棱AB的中点．
(1)求证：PE⊥AC；
(2)若PA=AB=BD=2，求三棱锥E−PCD的体积．
(3)若PA=AB，当二面角P−AC−B的正切值为−2时，求直线PE与平面ABCD所成的角．
20．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对(z1,z2)（z1,z2∈C）看作一个向量，记作a=(z1,z2)，称a为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于a=(z1,z2)，b=(z3,z4)（z1,z2,z3,z4∈C），我们定义复向量运算法则：①加法：a+b= (z1−z3,z2−z4)；②减法：a−b=(z1+z3,z2+z4)；③数乘：k⊗a=(kz1,kz2)(k∈C)；④数量积：a⋅b=z1z3+z2z4；⑤模：a=a⋅a.
(1)设a=(1,2−i)，b=(1+i,2i)，求a⋅b和a+b；
(2)验证复向量结合律：k⊗(a+b)=k⊗a+k⊗b是否成立；
(3)设a=(2+2i,2i)，集合Ω=pp=(z,z+2i),z∈C，b∈Ω，求a+b的最小值；并证明当a+b取最小值时，对于任意的c∈Ω，(a+b)⋅(b+c)=0.
《山东省青岛第十七中学2025-2026第二学期高一年级期末检测数学试题》参考答案
1．A
2．A
3．D
4．A
5．D
6．A
7．C
8．C
9．ABC
10．ABD
11．ABD
12．−b
13．π6
14．193π
15．(22,2)
16．(1)0