第五章　51.“gR法”求质量(密度)及第一宇宙速度---高中物理人教版（2019）高三 课后同步加练半小时 练习（解析版）

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1~5题每题6分
1.已知某行星的平均密度与地球的平均密度大致相等，若探测器登陆到该行星后，做了竖直上抛实验，并作出位移-时间图像来研究行星的一些参量，图中甲、乙曲线分别是在地球上和该行星上以不同初速度竖直上抛的物体的位移-时间图像，不计空气阻力和星球自转。则下列说法正确的是( )
A.该行星与地球的重力加速度大小之比为9∶11
B.该行星与地球的质量之比为27∶32
C.该行星与地球的半径之比为32∶27
D.该行星与地球的第一宇宙速度之比为272∶322
答案 C
解析 从图像中可看出在地球上竖直上抛物体在空中上升运动的时间为2t，上升的高度为3H，3H=12g(2t)2，同理在行星上有2H=12g'(1.5t)2，联立解得g'g=3227，选项A错误；
在地球表面有GMmR2=mg，在该行星表面有GM'mR'2=mg'，又M=ρ·43πR3，M'=ρ·43πR'3
联立解得R'R=3227，M'M=323273，选项B错误，C正确；对在星球附近做匀速圆周运动的卫星有mv2R=mg，解得v=gR，v'v=3227，选项D错误。
2.(多选)航天员抵达月球后，已知月球半径为R，在月球表面倾角为α的固定斜面上沿水平方向以v0抛出一个小球(可视为质点)，运动时间t后落回该斜面，已知引力常量为G，忽略月球的自转。则下面正确的是( )
A.月球表面的重力加速度为g=v0tanαt
B.月球的质量为M=R2v0tanα2tG
C.月球的密度为3v0tanα2πtGR
D.月球的第一宇宙速度为2Rv0tanαt
答案 CD
解析 令小球的位移为x，则有xsin α=12gt2，xcs α=v0t
解得g=2v0tanαt，故A错误；
在月球表面有GMmR2=mg，结合上述解得M=2R2v0tanαtG，故B错误；
月球的密度ρ=M43πR3，结合上述解得ρ=3v0tanα2πtGR，故C正确；
月球的第一宇宙速度等于月球表面运行的卫星的环绕速度，则有GMmR2=mv12R
结合上述解得v1=2Rv0tanαt，故D正确。
3.(多选)由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。地球可视为质量分布均匀的球体。下列说法正确的是( )
A.质量为m的物体在地球北极受到的万有引力大小为mg0
B.质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg
C.地球的半径为(g0−g)T24π2
D.地球的质量为g0(g0−g)2T416Gπ4
答案 ACD
解析 在北极，物体所需向心力为零，则万有引力完全等于重力，即F引=mg0，故A正确；万有引力大小由F=GMmR2决定，与纬度无关，在赤道，万有引力仍为mg0，等于重力与向心力之和，即mg0=mg+m4π2T2R，故B错误；在赤道，万有引力与重力的关系为mg0=mg+m4π2T2R，解得R=(g0−g)T24π2，故C正确；在两极，万有引力等于重力GMmR2=mg0，则M=g0R2G，联立解得M=g0G(g0−g)T24π22=g0(g0−g)2T416Gπ4，故D正确。
4.假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )
A.3π(g0−g)GT2g0B.3πg0GT2(g0−g)
C.3πGT2D.3πg0GT2g
答案 B
解析 物体在地球的两极时有mg0=GMmR2，物体在赤道时有mg+m(2πT)2R=GMmR2，其中M=ρ·43πR3，联立解得地球的密度ρ=3πg0GT2(g0−g)，故B正确，A、C、D错误。
5.(2025·四川成都市检测)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P无初速度轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a-x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
A.M与N的密度相等
B.物块Q的质量是物块P的3倍
C.两个弹簧的最大压缩量相同
D.M与N的质量相等
答案 A
解析 当x=0时，物体在星球表面只受重力的作用，所以此时a为星球表面的重力加速度，由图像得gMgN=3a0a0=3，根据GMmR2=mg，得M=gR2G，则MMMN=gMRM2gNRN2=27，由ρ=MV=gR2G43πR3=3g4GπR
则ρMρN=gMRNgNRM=1，故A正确，D错误；当a=0时，弹力与重力平衡则kx0=mPgM，2kx0=mQgN
所以有mQmP=6，故B错误；物体运动到最低点时弹簧压缩量最大。根据简谐运动的定义可判断物体在星球表面做简谐运动，由运动的对称性，可得P下落时弹簧的最大压缩量为2x0，Q下落时弹簧的最大压缩量为4x0，故C错误。