吉林省吉林市蛟河市实验中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题（含答案）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网，是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的处出发，途经处到达处，则小明可以选择的最短路径条数为（）
A. 6B. 9C. 12D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合计数问题，列式计算即得.
【详解】依题意，从到的最短路径是共行3段，向右2段向上1段，有种方法，
同理从处到达处有种方法，
由分步乘法计数原理得小明可以选择的最短路径条数为.
故选：B
2. 函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解．
【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，，
随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，
而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，
，又是割线AB的斜率，显然，
所以.
故选：B
3. 在二项式的展开式中，常数项为（）
A. −160B. −60C. 60D. 160
【答案】C
【解析】
【详解】通项，
令 得，常数项为.
4. 袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意得到“放回5个红球”表示的含义，由此即可得到答案.
【详解】因为“放回5个红球”表示前次摸到的都是黑球，第次摸到红球，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查离散型随机变量，明确放回红球的数量与抽取的次数之间的关系为解题的关键，属于简单题.
5. 已知A，B，C，D四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，，，则样本数据中变量间呈负相关且线性相关程度最强的是（）
A. A组B. B组C. C组D. D组
【答案】B
【解析】
【详解】当时，变量之间呈负相关；越接近于1，变量的线性相关程度越强.
由已知条件得，，，，
因此负相关的为A组、B组，排除C、D选项；
计算得，，可知更接近1，即B组的负相关线性程度最强.
6. 某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示：
已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意先得出的值，进而再得的值，进而可知的值.
【详解】因为抽取的村民中，老年人有25名，年轻人有25名，所以，
所以，A、B对；
所以，则对；
则错.
故选：.
7. 一个盒子中装有个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分别为、、、、、 ，从中不放回地随机抽取个小球，将其编号之和记为.在已知为偶数的情况下，能被整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
记“能被整除”为事件，“为偶数”为事件，求出事件包括的基本事件数和事件包括的基本事件的个数，由条件概率公式可得答案.
【详解】记“能被整除”为事件，“为偶数”为事件，
事件包括的基本事件有，，，，，共6个.
事件包括的基本事件有、共2个.
则，
故选:B.
8. 为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
参考公式：，．则下列选项不正确的是（ ）
A.
B. 由散点图知变量和正相关
C. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为
D. 如果研发投入亿元，估计产品收益为亿元
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件求出，，即可求解判断选项A；画出散点图即可判断选项B；根据公式求出回归方程即可判断选项C；结合选项C，将代入计算即可判断选项D．
【详解】对于A，依题意得，，故A正确；
对于B，由图表可得散点图如下，由散点图知变量和正相关，故B正确；
对于C，由，，，，所以，故C错误；
对于D，结合选项C，当时，，故D正确．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量X的分布列为
则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由随机变量分布列的性质可得，进而判断各选项即可.
【详解】由随机变量分布列的性质，知，解得，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：AD．
10. 在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（）
A.
B. 随机变量X服从二项分布
C. 随机变量X服从超几何分布
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二项分布、超几何分布的意义判断BC；求出的所有可能值的概率即可判断AD作答.
【详解】随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，，
因此随机变量X服从超几何分布，B错误，C正确；
，，，
，，A正确；
，D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，则下列选项正确的有（）
A. 的极大值点是B. 在上单调递增
C. 当时，D. 是的一个对称中心
【答案】ABC
【解析】
【分析】先对函数求导，得到单调区间与极值点，再结合三次曲线对称中心需满足的条件、区间最小值判定，依次验证四个选项是否正确.
【详解】对函数求导，则，
当时，，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则的极大值点是，所以选项A，B正确；
当时，单调递减，当时，单调递增，
故是上的最小值，故选项C正确；
若是的一个对称中心，则需满足，
而
，知不是的对称中心，故D选项错误.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】对给定等式两边求导，赋值求出，进而求出，最后求出即可.
【详解】由，求导得，
则，解得，
即，故.
13. 在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布，若在内的概率为，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为______.
【答案】
【解析】
【详解】因为ξ服从正态分布，
且在内的概率为，
所以，
，
所以恰有一名学生成绩不高于80的概率为.
14. 某班一天上午有节课，下午有节课，该班一天中语文、英语、政治、体育各有一节课，数学有两节课.现安排一个课程表，要求两节数学课相邻（上午最后一节和下午第一节算不相邻），体育课不能排在上午第一节，则不同的排法共有________种.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】先排体育课，结合分类即可求解.
【详解】若体育排在上午第二节，则两节数学可以排在上午的第三四节和下午的一二节，有两种选择，剩余三节课任意排，故有,
若体育排在上午第三节，则两节数学可以排在上午的第一二节和下午的一二节，有两种选择，剩余三节课任意排，故有,
若体育排在上午第四节，则两节数学可以排在上午的第一二节，或者上午的二三节，以及下午的一二节，有3种选择，剩余三节课任意排，故有,
若体育排在下午第一节，则两节数学可以排在上午的第一二节，或者上午第二三节或者上午的三四节，有3种选择，剩余三节课任意排，故有,
若体育排在下午第二节，则两节数学可以排在上午的第一二节，或者上午第二三节或者上午的三四节，有3种选择，剩余三节课任意排，故有,
综上可得总共有种方案.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中的所有二项式系数的和为32．
（1）求n的值；
（2）求展开式中各项系数的和；
（3）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）5（2）
（3），，
【解析】
【分析】（1）根据二项式系数和的公式求；
（2）利用赋值法求各项系数的和；
（3）根据通项公式，求有理项．
【小问1详解】
由题意有，解得；
【小问2详解】
时，，
则展开式中各项系数的和为；
【小问3详解】
二项式展开式的通项为
，当时，对应项是有理项，
所以展开式中所有的有理项为，，
．
16. 为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示：
（1）根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；
（2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为X，试求X的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关
（2）
【解析】
【分析】（1）根据表格中数据和题中信息可完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的数学期望值.
【小问1详解】
零假设：学生的学习成绩与使用手机无关，
因，
所以，没有的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；
【小问2详解】
人中学习成绩优秀的人有人，学习成绩一般的有人，
可能的取值有、、、，
，，，.
所以，随机变量的分布列为
.
【点睛】求解随机变量分布列的基本步骤：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
17. 设某批产品中，编号为1，2，3的三个厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件，
（1）求取到的是次品的概率；
（2）经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大．
【答案】（1）
（2）编号为2的工厂
【解析】
【小问1详解】
事件A表示“取到的是一件次品”，事件表示“取到的产品是由第i家工厂生产的”（），
显然，，是样本空间S的一个划分，且有，，，
，，．
由全概率公式得
．
【小问2详解】
由贝叶斯公式得
，
，
．
所以，发现取到的为次品，该次品由编号为2的工厂生产的可能性最大．
18. 某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标达标的概率为，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；
（2）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）设M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，则：A，B都不达标；故，即可得出结果；
（2）依题意知，得出的概率分布和数学期望即可．
【详解】（1）设M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，
则：A，B都不达标；
故，
所以一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率为；
（2）依题意两项技术指标都达标的概率为，
所以，
，，
，，
，
的概率分布为：
，
故的期望值为．
【点睛】本题考查了离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差和相互独立事件同时发生的概率，是中档题．
19. 已知函数
（1）若在处有极小值，求；
（2）若，求在区间上的最值.
【答案】（1）
（2）最小值为，最大值为.
【解析】
【分析】（1）由函数在处取得极小值，得，求出或，根据函数极值的概念，分别代入验证，即可求解；
（2）利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，求得函数的最值.
【小问1详解】
由，得，
因为为的极小值点所以，解得或，
当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以为的极小值点；
当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以为的极大值点；
经检验，时，在处取极大值，不符题意，所以；
【小问2详解】
当时，，令得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
所以为在区间的极大值，也是最大值.
由于，，，所以最小值为.
综上所述，在区间上的最小值为，最大值为.每年体检（人）
每年未体检（人）
合计（人）
老年人
7
年轻人
6
合计
50
1
2
3
4
5
6
7
2
3
5
7
8
8
9
X
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
m
0.3
0.1
使用手机
不使用手机
总计
学习成绩优秀
5
20
25
学习成绩一般
15
10
25
总计
20
30
50
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3
4
P