贵州遵义航天高级中学2025−2026学年高二第二学期第二次考试数学试卷（含答案）

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一、单选题
1．已知数列为正项等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．2D．4
2．若随机变量X的期望，则（ ）
A．B．C．6D．7
3．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（）
A．2B．C．D．3
4．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）
A．B．
C．D．
5．已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（ ）
A．10B．8C．6D．4
6．的展开式中，的系数为（ ）
A．26B．14C．-26D．-14
7．，则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
8．已知一组抛物线，其中a为2，4，6，8中任取的一个数，b为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ）
A．与是互斥事件
B．与是相互独立事件
C．
D．
10．如图，在棱长为的正方体中，点P是线段BD上的一个动点，则（ ）
A．正方体的体积为8
B．正方体的外接球的表面积为
C．
D．直线与底面ABCD所成的角的正切值的取值范围为
11．甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．第5次传球后球在乙手中有11种传法
C．数列为等比数列
D．
三、填空题
12．函数的单调递减区间为______．
13．已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____.
14．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.
四、解答题
15．某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.
（1）求的值，并计算从抽取的50组电池中任取2组，恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率；
（2）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望.
16．数列满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若，证明：数列的前项和．
17．如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，.
（1）求证：直线平面；
（2）若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18．已知椭圆：的焦距为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：交椭圆于、两点，点满足：
（ⅰ）若，且，求直线的方程；
（ⅱ）记四边形的面积为，若点恰好在椭圆上，求的值.
19．设数列的前项积为，满足.
（1）求证：是等比数列；
（2）已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列.
（i）当时，设的最小值为，求的值；
（ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和.
参考答案
1．【答案】D
【详解】设等比数列的公比为q.
由题意得q2=a5a3=116.
因为数列{an}为正项等比数列，所以q>0，故q=14.
所以a4=a3q=16×14=4.
故选 D.
2．【答案】A
【详解】由期望的性质可知：E(1−2X)=1−2E(X),
将E(X)=3代入得：1−2×3=−5,
故选 A.
3．【答案】B
【详解】双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax.
由题意知ba=33.
所以离心率e=ca=a2+b2a2=1+ba2=1+13=233.
故选 B.
4．【答案】A
【详解】由题意，在平行六面体中，.
又因为为底面平行四边形对角线与的交点，
所以.
在平行六面体中，，，，
所以.
从而.
5．【答案】D
【详解】设等差数列{an}的公差为d.
由题意，偶数项和与奇数项和之差为S偶−S奇=80−60=20.
因为共有10项，所以S偶−S奇=5d ，即5d=20，解得d=4.
又因为奇数项共5项，其和S奇=5a5=60，解得a5=12.
所以a3=a5−2d=12−2×4=4.
故选 D.
6．【答案】D
【详解】(1−x)6展开式的通项公式为Tk+1=C6k(−x)k.
原式(1−x)6(1−x2)=(1−x)6−x2(1−x)6.
要得到x3的项，来源有两部分：
(1−x)6中的x3项：令k=3，系数为C63(−1)3=−20；
−x2(1−x)6中的x3项（即(1−x)6中的x项乘以−x2）：令k=1，系数为−1×C61(−1)1=6.
所以x3的总系数为−20+6=−14.
故选 D.
7．【答案】C
【详解】因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，
则数列的前项和为
数列的前项和为
.
故选C
8．【答案】B
【详解】这组抛物线共条，任取两条取法有种.
它们在与直线交点处的切线斜率，
若，有，两种情形，从中取出两条，有种取法；
若，有，，三种情形，从中取出两条，有种取法；
若，有，，，四种情形，从中取出两条，有种取法；
若，有，，三种情形，从中取出两条，有种取法；
若，有，两种情形，从中取出两条，有种取法；
共有种，故所求概率为.
故选B.
9．【答案】BD
【详解】已知，，则，所以与不是互斥事件，A错误；
计算，，，所以，
因为，所以与是相互独立事件，B正确；
已知，，，则，，
所以，C错误；
，则，，
，则，，
所以，D正确.
故选BD.
10．【答案】AC
【详解】对A：由棱长为，则正方体的体积为，故A正确；
对B：该正方体的外接球半径为体对角线一半，即为，
则该正方体的外接球表面积为，故B错误；
对C：由正方体性质可得，又，
、平面，故平面，
又平面，故，故C正确；
对D：由正方体性质可得底面，
则直线与底面所成的角为，
又，故D错误.
11．【答案】ABD
【详解】由题意，若第次传球后球在乙手中，则第次必不在乙手中，此时概率为，第n次传球给乙的概率为，
，所以为等比数列，C错误；
为首项是，公比是的等比数列，
，故A正确；
前5次传球共有种传球方法，传到乙手中的概率，
∴传到乙手中共有11种传法，B正确；
，显然，
，D正确.
12．【答案】
【详解】因为f(x)=x3−3x2−9x，所以f'(x)=3x2−6x−9.
令f'(x)