江苏省南通中学2025−2026学年高二下学期6月份阶段测试数学试题（含答案）

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一、单选题
1．已知全集，，则（）
A．B．C．D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，则复数的虚部为（ ）
A．－1B．2C．iD．1
4．用模型拟合一组数据时，为了求出非线性回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则c等于（ ）
A．B．C．2D．
5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．在正三棱台中，，侧棱与底面所成的角为，则此正三棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，）
A．B．C．D．
8．将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（ ）
A．420种B．840种C．960种D．1280种
二、多选题
9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
10．已知函数，，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的单调递减区间为，单调递增区间为
B．函数的极小值点是
C．当时，与直线有2个公共点
D．当时，与的图象有2个公共点
11．如图，在直三棱柱中，，，点M是线段上一点，则下列说法正确的是（ ）

A．当M为的中点时，平面
B．四面体的体积为定值
C．的最小值为
D．四面体的外接球半径的取值范围是
三、填空题
12．如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________．
13．的展开式中只有第项系数最大，则的取值集合为_______.
14．若不等式恰好有两个整数解，则实数a的取值范围是_______.
四、解答题
15．已知函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若在处有极大值，求的值.
16．随着网络经济的发展，直播带货的形式越来越受居民的欢迎，它不仅能助力中小商家，使农产品直达消费者，降低流通成本，还能激活消费需求，带动产业链发展，催生主播孵化、供应链服务等新就业形式.某直播平台为了了解该平台店铺每天的直播时长与店铺美誉度的关系，从该平台3190家店铺中随机选择了290家，得到日均直播时长（单位：小时）与店铺美誉度结果的数据如下表所示：
（1）估计该平台3190家店铺中日均直播时长少于4小时的店铺有多少家？
（2）从日均直播时长在，，三个组的店铺中，采用分层随机抽样的方法抽出了8家店铺，现从这8家店铺中随机抽取3家，记日均直播时长在内的店铺个数为X，求X的分布列和期望；
（3）根据小概率值的独立性检验，分析该平台店铺获得五星好评是否与日均直播时长在内有关.
附：，.
17．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）时，求零点的个数；
（3）若时，恒成立，求实数的取值范围．
18．如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积的最大值；
（3）求二面角余弦值的取值范围．
19．有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.（取）
（1）若，，求；
（2）若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】依题意，，所以，.
2．【答案】B
【详解】已知α∈(0,π)。
充分性：
若sinα=32，则α=π3或α=2π3。
当α=π3时，csα=12≠−12；
当α=2π3时，csα=−12。
由sinα=32推不出csα恒等于−12，故充分性不成立。
必要性：
若csα=−12，且α∈(0,π)，则α只能取2π3。
此时sin2π3=32恒成立。
即由csα=−12可以推出sinα=32，故必要性成立。
综上，“sinα=32”是“csα=−12”的必要不充分条件。
故选 B。
3．【答案】D
【详解】由z(1+i)2=2+4i，得：
z=2+4i(1+i)2=2+4i2i=1+2ii=(1+2i)(−i)i(−i)=−i−2i21=2−i,
所以z=2+i。
复数z的虚部为1。
故选D。
4．【答案】B
【详解】对回归模型y=c⋅ekx两边取自然对数：
lny=ln(c⋅ekx)=lnc+ln(ekx)=kx+lnc
即z=kx+lnc。
对比变换后的线性回归方程z=0.5x+1，可得：
k=0.5lnc=1
解得c=e。
故选 B。
5．【答案】C
【详解】求导得f'(x)=1x+2ax。
由题意，f'(x)>0在(12,2)上有解。
即2ax>−1x⇒a>−12x2在(12,2)上有解。
设g(x)=−12x2，因为x∈(12,2)，所以x2∈(14,4)，1x2∈(14,4)。
所以g(x)∈(−2,−18)。
要使a>g(x)有解，只需a>g(x)infimum（下确界），即a>−2。
故选 C。
6．【答案】D
【详解】对于正三角形，其面积公式（为边长）
已知正三棱台中，，
则上底面，下底面
设正三棱台上下底面中心分别为,连接，则为正三棱台的高
因为正三角形中心到顶点的距离是边长的倍
所以，
则，且
已知侧棱与底面所成角为，在直角梯形中，
即，解得，
根据棱台体积公式（为高，为下底面积，为上底面积）
将代入可得
故选
7．【答案】B
【详解】由题意知μ=92，σ=9。
小明的成绩X=100。
注意到μ+σ=92+9=101。
根据正态分布的对称性及3σ原则（或题目给出的参考数据）：
P(μ−σ