2026年九年级数学秋季开学学情自测卷含答案（江苏南京专用，测试范围：新教材苏科版九上一元二次方程 八年级内容）

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一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分．
7．x≥﹣1； 8．50； 9．1； 10．24； 11. （12﹣x）（100+20x）＝1400； 12．6 ；
13．k≥﹣1； 14．c﹣a； 15．m≤1； 16．k≥﹣1； 17．3； 18．5
三、解答题：本题共10小题，共64分．
19．（4分）解：（1）3ax2+6axy+3ay2
＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2； ………………………………2分
（2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）
＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）
＝（x﹣y）（x2﹣y2）
＝（x﹣y）（x+y）（x﹣y）
＝（x+y）（x﹣y）2． ………………………………4分
20．（4分）解：（1）原式=55+105−13×12
=1+2−2 =2−1；………………………………2分
（3）原式=(2−1)+(3−43+4)
=1+7−43
=8−43．………………………………4分
21．（5分）解：3−a2a−4÷（5a−2−a﹣2）
=−(a−3)2(a−2)÷5−(a2−4)a−2
=−(a−3)2(a−2)⋅a−2−(a−3)(a+3)
=12(a+3)
=12a+6，………………………………3分
当a=12时，
原式=12×12+6=17．………………………………5分
22．（5分）解：（1）本次调查的样本容量为20÷20%＝100，………………………………1分
A类所对应的扇形圆心角的度数是360°×30100＝108°；………………………………2分
（2）D类的人数为100﹣30﹣20﹣15＝35（人），
补全条形统计图如图所示：
………………………………3分
（3）800×35100＝280（人），
答：估计该校七年级最喜爱“AI互动类”节目的学生人数为280人．………………………………5分
23．（4分）解：（1）由条件可得：Δ＝22﹣4（2k﹣3）＞0，
解得，k＜2，
∴k的取值范围为k＜2；………………………………2分
（2）∵k为正整数，
∴k＝1，
∴方程为x2+2x﹣1＝0，
∴x1x2＝﹣1．………………………………4分
24．（5分）证明：（1）∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ 12BC．………………1分
∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°，
∴AF＝ 12BC．………………2分
∴DE＝AF．
（2）连接EF．………………3分
∵DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，
∴点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．
∴DF、EF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，EF∥AB．
∴四边形ADFE是平行四边形．
∵∠BAC＝90°，
∴平行四边形ADFE是矩形．
∴AF＝DE．………………5分
25．（9分）解：（1）2x−1−kxx2+x−2=1x+2，
2x−1−kx(x−1)(x+2)=1x+2，
2（x+2）﹣kx＝x﹣1，………………1分
2x+4﹣kx＝x﹣1，
（1﹣k）x＝﹣5，
∵关于x的方程：2x−1−kxx2+x−2=1x+2有增根，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，即x﹣1＝0或x+2＝0，解得x＝1或x＝﹣2，………………3分
当x＝1时，（1﹣k）×1＝﹣5，解得k＝6．
当x＝﹣2时，（1﹣k）×（﹣2）＝﹣5，解得k=−32；
综上，k的值为−32或6；………………5分
（2）设6、7月相同的增长率为x，
根据题意，得25（1+x）2＝36，………………7分
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），………………8分
答：增长率为20%．………………9分
26．（6分）（1）解：由题意，∵x＞y＞0，
∴x﹣y＞0（①不等式的基本性质1）．………………1分
∵x−y=(x)2−(y)2=(x+y)(x−y)（②平方差公式）．………………2分
（2）证明：∵a+b＞c，
∴(a)2+(b)2＞c，
∴(a+b)2＞c+2ab，………………3分
∴2ab＞0，
∴(a+b)2＞c，
∴（a+b+c）（a+b−c）＞0．………………4分
∵a+b+c＞0．
∴a+b−c＞0．………………5分
∴a+b＞c．………………6分
27．（10分）解：（1）原式＝x2+2x+1﹣1﹣8
＝（x+1）2﹣9………………2分
＝（x+1﹣3）（x+1+3）
＝（x﹣2）（x+4）；………………3分
（2）x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，………………5分
即多项式x2+4x﹣3的最小值是﹣5．………………6分
（3）∵a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2﹣9﹣16﹣25+50＝0，………………8分
根据非负数的性质可得（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周长为3+4+5＝12．………………10分
28．（12分）（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝4，∠A＝∠ABC＝90°，∠CBD＝∠ADE＝45°，
∵HF∥AB，
∴∠DHF＝∠BFH＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，BE=2BF=2，………………1分
∴AH＝BF＝1，
∴DH＝HE＝AD﹣AH＝3，
∵G为DE的中点，
∴HG⊥DE，
∴HG=22DH=322.………………2分
（2）证明：在正方形ABCD和矩形ABFH中，
∴∠DBC＝45°，∠BFE＝∠AHF＝90°，AH＝BF，
∴∠FEB＝45°＝∠BEF，
∴∠FEG＝135°，EF＝BF＝AH，………………3分
∵HG⊥DE，HG=12DE＝EG，
∴∠BGH＝90°，∠EHG＝45°，
∴∠AHG＝∠AHF+∠EHG＝135°，
∴∠AHG＝∠FEG，
又∵AH＝EF，HG＝EG，
∴△AHG≌△FEG（SSS），
∴∠AGH＝∠FGE，AG＝FG，………………5分
∴∠AGF＝∠BGH＝90°，
∴AG⊥FG；………………6分
（3）解①：如图，
MF＝BF+DM，理由如下：
连接AF，延长CD至W，使DW＝BF，
由（2）知，
∠AGF＝90°，AG＝GF，
∴∠MAF＝∠AFG＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADW＝∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠DAM+∠BAF＝∠BAD﹣∠MAF＝45°，△ADW≌△ABF（SAS），
∴∠DAW＝∠BAF，AW＝AF，………………7分
∴∠DAW+∠DAM＝45°，
∴∠WAM＝45°，
∴∠WAM＝∠MAF，
∵AM＝AM，
∴△WAM≌△FAM（SAS），
∴WM＝FM，
∵WM＝DW+DM＝BF+DM，
∴MF＝BF+DM；………………10分
②设FM＝x，则BF＝FM﹣DM＝x﹣3，CF＝BC﹣BF＝7﹣x，CM＝CD﹣DM＝1，
在Rt△CFM中，由勾股定理得，
CF2+CM2＝FM2，
∴（7﹣x）2+12＝x2
∴x=257，
∴FM=257，
由①知，
△WAM≌△FAM，
∴∠AMD＝∠AMF，
∵FH∥CD，
∴∠FKM＝∠AMD，
∴∠FKM＝∠AMF，
∴FK＝FM=257.………………12分
1
2
3
4
5
6
D
C
A
A
C
C