2026年九年级数学秋季上学期开学学情自测卷含答案（江苏无锡专用，新教材苏科版）

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一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．）
11． x≠1
12． 3−52
13．4x+1x−1
14． 1013
15． 4
16． 3或6
17． −4
18． 2 8
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）
19．（8分）
（1）解：−2−π−20260+13−2
=2−1+9
=10．（4分）
（2）解：24÷3−12×6+12
=8−3+23
=22−3+23
=22+3．（8分）
20．（1）解：原式=2xx+2−xx−2x−2x+2⋅x−2x+2x
=2x2+4x−x2+2xx−2x+2⋅x−2x+2x
=2x2+4x−x2+2xx
=x2+6xx
=x+6；（4分）
（2）解：等式两边同乘(x−1)(x+2)，得x(x+2)−(x−1)(x+2)=3，
去括号，得x2+2x−x2−x+2=3，
移项、合并同类项，得x=1，
检验：x=1时分母为0，
∴原方程无解．（8分）
21．（10分）（1）解：由条形统计图可知，选择A的有70人，由扇形统计图可知，选择A的占抽查总数的35%，
∴问卷的总数为70÷35%=200份；
由条形统计图可知，选择D的有20份，
∴m%=20÷200×100%=10%；（4分）
（2）解：选择B的份数有200−70−60−20=50份；
补全条形统计图如下图所示：
（8分）
（3）解：由条形统计图可知200份调查问卷中选择C的有60份，
根据样本估计总体可得：1800×60200=540（人），
答：学生收集了1800份调查问卷中选择“BUG报告”的总人数大约有540人．（10分）

22．（10分）（1）解：由表格数据可得，随着抽奖次数不断增加，中二等奖的频率稳定在0.12附近，因此抽中二等奖的概率约为0.12．（3分）
（2）解：已知总参与人数为10000，一等奖共50个，抽中二等奖的概率约为0.12．估计中二等奖的人数为10000×0.12=1200．
因此估计获得“谢谢参与”的人数为10000−1200−50=8750．（7分）
（3）小明的想法不合理．（10分）
23．（10分）（1）解：∵点A(−a,4a)，B(−4,a)在反比例函数y=kx的图象上，
∴(−a)×4a=(−4)×a，
∴a=1或0（舍去）
∴A(−1,4)，B(−4,1)，
∴k=(−1)×4=−4，
∴反比例函数的表达式为y=−4x．
设一次函数的表达式为y=k1x+b，
把A(−1,4)，B(−4,1)代入，得
4=−k1+b1=−4k1+b，
解得k1=1，b=5，
∴一次函数的表达式为y=x+5．（4分）
（2）解：作直线BC，
∵直线AO经过原点O和点A(−1,4)，
∴直线AO的表达式为y=−4x．
联立y=−4x与y=−4x，得
−4x=−4x，
解得x=−1或x=1，
∴点C的坐标为(1,−4)．
∵直线AB的表达式为y=x+5，
令y=0，得x=−5，
∴点D的坐标为(−5,0)，
∴OD=5．
∵点B到x轴的距离为1，
∴S△BOD=12×5×1=52．（6分）
设点P的坐标为(p,0)．
∴PO=|p|．
∵点A，C到x轴的距离分别为4，4，
∴S△APC=S△APO+S△CPO
=12PO×4+12PO×4
=4|p|．
∵S△APC=45S△BOD，
∴4|p|=45×52，
∴|p|=12，
解得p=−12或p=12，
∴点P的坐标为(−12,0)或(12,0)．（10分）
24．(1)
如图，点P即为所求；
；（5分）
(2)
如图，Q即所求；
；（10分）
25．（10分）（1）(1)证明：如图所示，过E作EM⊥BC于点M，过E作EN⊥CD于点N，
∴∠ENC=∠EMC=∠DNE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，
∴四边形EMCN为矩形，
∵∠CEN=90°−∠ECN=45°=∠ECN，
∴NE=NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∴EM=EN，∠MEN=90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
又∵∠DNE=∠FME=90°，
∴△DEN≌△FEMASA，
∴ED=EF，
∴四边形DEFG是正方形．（4分）
（2）解：如图，作GH⊥CD于点H，
∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，∠DAC=45°，
∴∠ADE=∠CDG=90°−∠EDC，
∴△ADE≌△CDGSAS，
∴∠DCG=∠DAE=45°，∠CDG=∠ADE=30°
∴△CHG是等腰直角三角形，
设GH=x，
∴CH=x，
∴DG=2GH=2x，
∴DH=DG2−GH2=3x，
∴3x+x=3+1，
解得x=1，
∴CH=GH=1，
∴CG=CH2+GH2=2．（10分）
26．（10分）（1）解：由题意知，v是t的反比例函数，设v=kt
当t=4时，v=2
∴k=8
∴v=8t（3分）
（2）把t=2.5代入v=8t，得v=3.2km/h
∴学生步行的平均速度v至少为3.2km/h（6分）
（3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为1.25−0.75=0.5h，故①不正确；
②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确；
③学生从学校到补给点所走路程为8−4=4km，故③正确．（10分）
27．（10分）（1）解：∵m>0，且m×9m=9，
∴当m=9m时，即m=3或m=−3（负值不符合题意，舍去），
此时m+9m取得最小值，最小值为：2×9=2×3=6，
∴当m=3时，m+9m有最小值6，
故答案为：3；6；（3分）
（2）连接PQ，
∵点Q−2,−3是双曲线y=kx上
∴k=−2×−3=6，
∴双曲线的解析式为y=6x，（6分）
设Px,6xx>0，
∵点Q−2,−3，QA⊥x轴，作QB⊥y轴，
∴S四边形AQBP=S△AQP+S△BQP
=12×3×x+2+12×2×6x+3
=3x2+6x+6
≥23x2×6x+6
=2×3+6
=12，
∴四边形AQBP的面积的最小值为12．（10分）
28．（10分）（1）解：∵CP=CD=PD，
∴△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=60°=∠DPC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=CP，∠BCD=90°，
∴∠BCP=150°，
∴∠CPB=12180°−150°=15°，
∴∠BPD=∠DPC−∠CPB=45°；（3分）
（2）解：①设∠DCP=x，
∴∠BCP=90°+x，
∵BC=CD=CP，
∴∠BPC=12180°−∠BCP
=12180°−90°−x
=45°−12x，
∵CE平分∠DCP，
∴∠PCE=12∠DCP=12x，
∴∠CEB=∠BPC+∠PCE
=45°−12x+12x
=45°；
故答案为：45；（6分）
②BE−22DP=2CE，理由如下：
如图，连接DE，过点C作CF⊥CE交BP于点F，
∴∠FCE=∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCF=∠DCE+∠DCF，
∠CEF=∠CFE=45°，
∴∠BCF=∠DCE，CE=CF，
∴EF=2CE，
在△BCF和△DCE中
BC=DC∠BCF=∠DCECF=CE，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF=DE，∠BFC=∠DEC，
∵∠BFC=180°−∠CFE=135°，
∴ ∠DEC=135°，
∴∠DEF=∠DEC−∠CEF=90°，
EF=BE−BF=2CE，
∴BE−DE=2CE，∠DEP=90°，
∵CD=CP，CE平分∠DCP，
∴CE垂直平分DP，
∴DE=EP，
∴DP=2DE，
∴DE=22DP，
∴ BE−22DP=2CE．（10分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
A
A
B
C
D
C
C
D