重难点培优06 利用二级结论秒杀圆锥曲线选填题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（解析版）-A4

这是一份重难点培优06 利用二级结论秒杀圆锥曲线选填题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（解析版）-A4，共56页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 8
\l "_Tc16555" 题型一 通径公式（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 8
\l "_Tc7141" 题型二 双曲线焦点到渐近线的距离为（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 11
\l "_Tc26803" 题型三 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 13
\l "_Tc13512" 题型四 中点弦公式（点差法）（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 15
\l "_Tc3897" 题型五 离心率秒杀公式（★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 19
\l "_Tc326" 题型六 椭圆的焦半径秒杀公式（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 23
\l "_Tc11957" 题型七 双曲线的焦半径秒杀公式（★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 28
\l "_Tc17557" 题型八 抛物线的焦半径、焦点弦秒杀公式（★★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 32
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 36
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 36
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 53
一、通径
1、通径的定义
（1）焦点弦
过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦.
（2）通径
与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.
2、通径的性质
【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为.
【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为.
性质1、性质2的证明：
①如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为.
②对于双曲线，证明过程同椭圆.
③对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径.
二、焦点三角形
1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
证明：设
．
2、双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
三、中点弦问题（点差法）秒杀公式
1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有．
两式相减得，所以．
中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得
．
2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为，
3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则
四、离心率秒杀公式
1、椭圆
（1）已知椭圆方程为,两焦点分别为,
设焦点三角形,,则椭圆的离心率
（2）以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外) 为顶点 , 则
（3）点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则
当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
2、双曲线
（1）已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则
（2）以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率
（3）点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
（4）已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.
情形1.如图1.若,则

图1 图2
如图2.若，则
五、椭圆、双曲线中的焦点弦、焦半径公式
1、椭圆的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算：
（1）；（2）（记忆：左加右减）
【焦半径形式2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦.
【焦半径形式3（过右焦点）】：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质:
①焦半径的表示
坐标形态:,
角参形态:,；
②过焦点弦长
；当且仅当时,,此时称为“通径”
③焦半径之比
.
2、双曲线的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算：
（1）；（2）（记忆：左加右减）
【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）
【焦半径形式3（过右焦点）】双曲线焦半径：过双曲线的右焦点的直线交双曲线的右支于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质:
①焦半径的表示
坐标形态:,；
角参形态:,
②焦点弦长的表示
角参形态:；当且仅当时,,此时称“通径”
③焦半径之比
六、抛物线中的焦点弦、焦半径公式
1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则
①.
②.
③,.
2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.
③若恒过定点.
3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.


题型一 通径公式
【技巧通法·提分快招】
1．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点， 则线段长度的最小值为 .
【答案】
【分析】由椭圆最短的焦点弦为通径，由标准方程求得通径长即可得到结果.
【详解】由椭圆方程知：，.
过焦点的最短弦为通径，.
故答案为：.
【点睛】本题考查焦点弦的最小值的求解问题，关键是明确椭圆最短的焦点弦为通径，通径长为.
2．若圆与抛物线相交于A，B两点，且弦AB过抛物线的焦点F，则 .
【答案】1
【分析】首先得到抛物线的交点坐标，依题意可得，两点的横坐标都是，将代入抛物线方程，即可求出、两点坐标，再在中由勾股定理得到方程，解得即可；
【详解】解：依题意知抛物线的焦点，轴，且，两点的横坐标都是，
不妨令在第一象限，将代入抛物线，解得，即、
所以.
在中，，即，且，解得.
故答案为：
3．已知抛物线和椭圆相交于两点，且抛物线的焦点也是椭圆的焦点，若直线过点，则椭圆的离心率是 ．
【答案】/
【分析】由题意可判断为抛物线和椭圆的通径，通过通径的公式可求出的值，进而求出椭圆的离心率.
【详解】显然，由对称性易知为双通径，
所以，
所以．
故答案为：.
4．已知F为双曲线的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且垂直于x轴，若C的离心率为5，则的斜率为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的几何性质可知，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】设焦距为，则，
因为C的离心率为5，所以，
的斜率为，
又因为，且，
所以．
故答案为：
5．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线的右支上一点．若线段的中点，则双曲线的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值为 ．
【答案】
【分析】由中位线的性质推导出轴，求出，根据可求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求得双曲线的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值.
【详解】如图，因为为线段的中点，为的中点，则，且，
又轴，所以，轴，
将代入双曲线方程可得，可得，
所以，，则，即，所以，．
设经过第一、三象限的渐近线的倾斜角为，则，则，
所以，，
故两条渐近线的夹角的正切值为.
故答案为：.
6．已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，为坐标原点，若，则 .
【答案】
【分析】根据题设得到、通径，结合椭圆参数关系列方程求参数.
【详解】由题设，且，又，即为等腰直角三角形，

所以，通径，即，又，故，
所以（负值舍）.
故答案为：

题型二 双曲线焦点到渐近线的距离为
1．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知双曲线：的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出渐近线方程及右焦点坐标，再利用点到直线距离公式求解.
【详解】双曲线：的右焦点为，渐近线方程为，
所以.
故选：A
2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论.
【详解】设双曲线的焦距为，则，
故，所以双曲线的焦点坐标为，
又双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的焦点到渐近线的距离，
因为焦点到渐近线的距离为，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
故选：A.
3．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，则的离心率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义直接可得离心率的值.
【详解】由双曲线的方程，得渐近线方程，
设焦点，其中，由题意得，
所以，，.
故选：D.

题型三 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式
【技巧通法·提分快招】
1．已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 .
【答案】/
【分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】在椭圆中，，，，
由椭圆的定义可得，，
在中，，
由余弦定理得
，解得，
因此，.
故答案为：.
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上．若，则的面积为 ．
【答案】4
【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解．
【详解】如图所示，椭圆，可得，，则，因为点P在椭圆C上，可得，又由，可得．联立方程组，可得，所以的面积为．
故答案为：4.
3．双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ．
【答案】/
【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得的值，代入三角形的面积公式计算即得.
【详解】
由可得：，如图，设则①，
在中，由余弦定理，，即：②
由①②联立，解得：.
则三角形的面积为.
故答案为：.
4．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是
【答案】
【分析】由双曲线定义和勾股定理可得，可得.
【详解】
如图：
由得，，
，，
由题意：，，
，
所以，
故答案为：

题型四 中点弦公式（点差法）
1．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设，结合“点差法”，即可直线的斜率，得到答案.
【详解】设，代入抛物线，可得，
两式相减得，
所以直线的斜率为，
又因为的中点为，可得，
所以，即直线的斜率为.
故选：C.
2．已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用点差法求解，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将交点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，从而得到直线斜率与中点坐标之间的关系.
【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有：

用式减去式可得：
因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得：
,即，.
代入可得：
化简得：，可得：
而就是直线的斜率，所以直线的斜率为.
故选：B.
3．（2025·内蒙古包头·二模）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可.
【详解】设，，
因为线段的中点为，所以，，
所以，两式相减可得：，
即，
所以，即，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为：，
化简为：，经检验符合题意.
故选：A.
4．（25-26高三上·广东·月考）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（ ）
A．12B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由以及线段的中点的纵坐标为1，可得直线的斜率，从而得到直线的方程，求出直线的中点的横坐标为，则，由抛物线的弦长公式求解即可
【详解】设，则，则.
因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则.
又直线过的焦点，所以直线的方程为，
则线段的中点的横坐标为，则，故.
故选：C
5．已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据点差法结合直线斜率可求出，即可得到椭圆的离心率.
【详解】
由题意得，.
设，则，
∵点在椭圆上，∴，
两式相减得，，即，
∴，∴，
∴C的离心率.
故选：B.
6．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设中点为，根据易知确定坐标值，再应用点差法及直线斜率的两点公式得到，进而得到双曲线参数的齐次方程求离心率.
【详解】设中点为，由题设易知，故，
因为，故，
所以，而，故，
故，故.
故选：A

题型五 离心率秒杀公式
1．已知、是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】解法1：如图，不妨设，，
则，所以.
解法2：
.
2.（23-24高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先应用双曲线定义结合正弦定理把离心率转化为角的正弦，再根据两角和差和辅助角公式化简，
根据已知角范围求解即可.
【详解】在中，
由．
因为，所以，
所以，所以．故选:A.
3．已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过A，B分别作右准线的垂直AM，AN，垂足分别为M,N,再过B作BH垂直AM垂足为H，设|BF|=x,则|AF|=4x,根据双曲线的第二定义可知
|AM|=4ex,|BN|=ex,|AH|=|AM|-|BN|=3ex,由于直线l的倾斜角为,所以
，所以 .
4．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
A．1B．C．D．2
【答案】B
【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得
设坐标分别为，则
因为，所以，从而有 ①
再由可得，根据椭圆第二定义可得，即 ②
由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B
5.（23-24高三下·山西长治·模拟）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆定义，结合角的值，化简得出离心率即可.
【详解】根据题意，得出，在中由正弦定理得：,
由椭圆定义可得，，
椭圆离心率为，
.故选：D.
6．若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据垂直关系写出过点F的直线AB的方程，分别联立直线AB与两渐近线的方程求出点A、B的横坐标，由知，从而得，带入、可得a、c的关系式，化简方程即可求得离心率.
【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为：，
设过点与渐近线垂直的方程为，
由，得，
由，得，
因为，所以，则，
所以，化简得，即，
解得（舍去）或，则.
故选：D
【点睛】与斜率为k的直线垂直的直线斜率为.
7．已知双曲线（，）的右焦点为，经过点作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，直线与双曲线的另一条渐近线相交于点，若 ，则双曲线的离心率 .
【答案】
【分析】设直线，，由，得到，从而有，根据条件有，从而得到，再利用，即可求出结果.
【详解】易知，如图，由对称性不妨设直线，，
由，消得到，
则，
因为，所以，得到，即，
将代入，整理得到，
又易知，所以，得到，即，
所以双曲线的离心率，
故答案：.

题型六 椭圆的焦半径秒杀公式
1．如图，把椭圆，的长轴分成8等份，过每个分点，作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，F是椭圆的一个焦点，则（ ）
A．25B．26C．27D．28
【答案】D
【解析】设P点是椭圆上的任意点，根据椭圆的第二定义求出，根据题意可知点为椭圆与轴正半轴的交点且与分别关于y轴对称，设出各点，代入即可求解.
【详解】不妨设P点是椭圆上的任意点则由椭圆的第二定义可得：，
又a=4,b=,，故， ①
∵把椭圆的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，
∴点为椭圆与轴正半轴的交点且与分别关于y轴对称，
∴不妨设且，
∴，由①可得：
，
.
故选：D.
2．抛物线有一性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么类比抛物线，对于椭圆，若存在实数，使得成立，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】当直线的斜率为0时，直接求出，当直线的斜率不为0时，故可设直线的方程为，设，，利用焦半径公式结合韦达定理可得结论.
【详解】由题意可知，且当直线的斜率为0时，，
，则；
当直线的斜率不为0时，
故可设直线的方程为，由消去，整理得，
设，，所以，，
由得，
，
，，
，
即，．
故选：B．
3．已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，用弦长公式表示出，用两点间的距离公式结合点在椭圆上的条件表示出，代入题干条件即可求解.
【详解】设，则，由，
消去，得，
注意到，则.于是，
同理，. 因此.
的倾斜角为，∴直线的斜率，
根据弦长公式，可得.
由，可得，故.
．
故选：A
4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分等腰三角形以为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点，使得或，设点在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于、的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围.
【详解】如下图所示：

（1）当点与椭圆短轴的顶点重合时，是以为底边的等腰三角形，
此时，有个满足条件的等腰；
（2）当构成以为一腰的等腰三角形时，
以为底边为例，则或，此时点在第一或第四象限，
由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点，使得是以为一腰的等腰三角形，
不妨设点在第一象限，则，其中，
则，
或，
由可得，所以，，解得，
由可得，所以，，解得，
综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
5．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用焦半径公式把比值表示为的式子，然后由得出范围．
【详解】设，，且得：.
故答案为：.
6．已知椭圆方程为：，为椭圆过右焦点的弦，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】结合椭圆第二定义，，设倾斜角为，可得，联立可得，同理得，则化简得，令，结合配方法和均值不等式即可求解
【详解】
如图所示，由，
由椭圆第二定义可得，①
又，
即，②
联立①②解得，同理可得，
则，
设，则，，
，当且仅当，即取到等号，所以的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查求椭圆中焦半径和值的最值求解，椭圆第二定义的使用，换元法，配方法与均值不等式求最值问题，综合性强，难度大.对于椭圆的焦半径，也可当成常规结论进行记忆.

题型七 双曲线的焦半径秒杀公式
1．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ．
【答案】8
【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式代值求解）
【详解】由双曲线，得，，
焦点为，倾斜角，
法一：直线斜率，直线方程为，
联立消得，，
由韦达定理知，
代入弦长公式，
得.
法二：.
故答案为：8.
2．过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 .
【答案】2
【分析】设，利用焦半径公式可得，进而计算可求得.
【详解】设，因为，所以点必在双曲线右支上，
由焦半径公式，，解得，所以，
从而，双曲线的渐近线的斜率为，因为，
所以点也在双曲线的右支上.如图，由图可知，，
所以.
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则 .
【答案】
【分析】由题意联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，根据弦长公式，建立方程求得斜率，求得交点坐标，从而求得线段长，可得答案.
【详解】
设，，，设直线的方程为，
联立，可得，，
由韦达定理可得，
，则，
，解得，，
，由，则，，
由可知，则，，即.
故答案为：.
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是双曲线上一点，则双曲线的焦距为 ；连接，过点作交双曲线于点，若，则 .
【答案】 4 5
【分析】根据双曲线过定点，及其离心率，可求双曲线参数，进而求焦距，法一：设的倾斜角为，由求，利用余弦定理，结合双曲线的定义可得，即可得；法二：延长与双曲线交于另一点，易知，设直线联立双曲线方程求E点坐标，即可求，进而可求.
【详解】由题设，知：，解得，，即，则，
∴双曲线的焦距为4，且，直线的斜率为，
解法一：∵，
∴直线的斜率为，可设的倾斜角为，易得.
连接，在中，由余弦定理得，又，
∴，于是.
解法二：延长与双曲线交于另一点，
由双曲线的对称性，知：，易得直线的方程为，
∴，消去，整理得.
设，则，得，则，
∴，于是，于是.
故答案为：4，5
【点睛】关键点点睛：根据双曲线过点、及离心率求双曲线方程，应用余弦定理及双曲线定义求焦半径长度，或根据双曲线对称性，结合韦达定理求B点的对称点E坐标，再求焦半径长度.
5．（24-25高三上·重庆·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则 ，的最小值为 .
【答案】
【分析】第一空，根据对称性转化为同一焦点弦的两条焦半径之间的关系，利用焦半径公式即可求得定值；
第二空，通过相似比求出为定值，即点的轨迹为椭圆的一部分，从而求得的最小值.
【详解】延长交双曲线于点，由可知，点与点关于原点对称，即，设直线的倾斜角为，由焦半径公式可知：
，
所以.
又因为，所以，设，
则，
所以，
所以，
所以点的轨迹为椭圆的一部分，椭圆方程为，
所以，
故答案为：，.

题型八 抛物线的焦半径、焦点弦秒杀公式
1．（多选题）已知过抛物线焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】依题意设该弦所在直线方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，由题设焦点弦长求出的值，即可利用直线斜率公式求出斜率得到其倾斜角.
【详解】因抛物线的焦点坐标为，
由题可设经过抛物线焦点的弦所在直线方程为，
代入消去，可得：，显然，
设弦的两端点坐标分别为：，则（*），
抛物线的准线方程为：，则，
即得，即，
将（*）代入解得：，则
于是该弦所在直线的斜率为：，
故该弦所在直线的倾斜角是或.
故选：BC.
2．（2024·上海虹口·二模）过抛物线焦点的弦的中点横坐标为，则弦的长度为 .
【答案】
【分析】根据焦半径公式计算可得.
【详解】抛物线的准线方程为，设，，
则，所以，
所以.
故答案为：
3．（24-25高三上·广东·期末）已知是抛物线上的一个点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，则 .
【答案】
【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求出即可.
【详解】抛物线，焦点，准线方程，
设，因为是抛物线上的一个点，所以，
又因为，所以.
故答案为：.
4．过抛物线的焦点F的直线l交该抛物线于A，B两点，点A在第一象限，若，则直线l的斜率为 ．
【答案】
【分析】方法一：根据，并结合抛物线的定义可得点A的坐标，进而确定直线l的斜率.
方法二：（二级结论法） 若倾斜角为的直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点（A在B上方），则，.
【详解】方法一：由题意可知焦点为，准线为直线，
设点，由，得，
所以，又，，所以，即，
所以直线l的斜率为．
方法二．此题中，，设直线l的倾斜角为，则，解得，
则，，即直线l的斜率为．
故答案为：
5．已知抛物线Γ：的焦点为F，过点F的直线l与Γ交于A，B两点．若且，则Γ的准线方程为 ．
【答案】
【分析】设直线的倾斜角为，，,结合抛物线定义求得，结合得，结合以及得，解方程求得即可得解.
【详解】如图，设直线的倾斜角为，，
，，．
所以，，
所以，，
即，，故．
因为，所以，
又，所以，
解得，故的准线方程为．

故答案为：.
6．已知抛物线的准线与以为直径两端点的圆相切，过抛物线的焦点的动直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据圆与准线相切可得，进而联立直线与抛物线方程得韦达定定理，根据焦半径公式，结合基本不等式即可求解.
【详解】抛物线的准线方程为，由知，
以的中点为圆心，DE为直径的圆的方程为.
由题意得，解得，故，且.
设直线的方程为，
当时，直线方程为，则，则；
当时，将与抛物线方程联立并消去可得.
设，则，
所以.
从而，
故，当且仅当时取等号.
综上，的最小值为，
故答案为：

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·四川自贡·三模）双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】B
【分析】根据离心率求出，，得到焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】中，，故，
故，故，
所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，
所以该双曲线的焦点到它的渐近线距离为
故选：B
2．（2025·北京通州·一模）已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（ ）
A．16B．6C．D．4
【答案】C
【分析】求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求得．
【详解】由题意可得，抛物线的焦点，
由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为，
设，
联立方程，可得，解得，
由抛物线的定义可知，.
故选：C.
3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解.
【详解】因为，所以，
即，
由双曲线定义可得，
所以，即，
又，所以，
所以，解得.

故选：.
4．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得.
【详解】
如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①，
由余弦定理可得：，化简得：②，
由①式两边平方再减去②式，得：，
于是的面积为.
故选：D.
5．设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，即可解出．
【详解】设，，由，的面积为，
可得，∴①
由离心率为，可得，代入①式，可得.
故选：A.
6．已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有，解方程即可得答案.
【详解】解：因为四边形是矩形，
所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，
因为圆的半径为，抛物线的通径为，
所以有：，解得
故选：D
7．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为，再利用点差法，即可求解.
【详解】由抛物线的准线为，可得，可得，所以，
设，可得，且，
两式相减，可得，
可得，所以直线的方程为，
即.
故选：A．
8．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程.
【详解】椭圆，由，得点在椭圆内，设，
则，两式相减得，
而，因此，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故选：A
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过且垂直于轴的直线与在第一象限交于点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得轴， 即可求得，表示出直线斜率即可求得.
【详解】因为过且垂直于轴的直线与在第一象限交于点，则为椭圆焦半径的一半，则有，如图所示：

得直线的斜率）
又，所以.
故选:D.
10．（24-25高三上·山西·期末）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用离心率先求出参数a，再利用点差法求出直线的斜率，即可得到答案.
【详解】由题设，，即，可得，
过的直线与椭圆交于且满足，则为线段的中点，
所以，，又，，
则，即，
所以，
故直线的方程为，即.
故选：C.
11．已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】B
【分析】设，分别求出和，即可求出.
【详解】设.
过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.
由双曲线可得渐近线为.
由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，
所以.
因为，所以，解得：.
故选：B
12．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由抛物线的定义可知，再由抛物线的性质可得即可求解.
【详解】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点，
过焦点作垂直于于点，由题意可知，
根据抛物线的定义
在中，，又，
所以，
解得.
故选：C.
13．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先应用正弦定理，再结合双曲线定义及两角和差的正弦公式计算化简即可求解.
【详解】
依题意得，
则的离心率为
故选：B.
14．椭圆C：左右焦点分别为，，P为C上除左右端点外一点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图形在中，利用余弦定理解出，再由椭圆的定义式，整理出关于的式子，最后代入已知三角函数值中，得到关于得二次式，从而可求椭圆离心率.
【详解】解：如图在中，
，即①
，即②
且，
故①+②得：，即.
所以 ，代入到中，整理得：
，故两边除以得：
解得：或，又，所以.
即椭圆C的离心率为.
故选：D.
15．过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（ ）
A．B．C．D．与弦斜率有关
【答案】B
【分析】不妨设为椭圆的右焦点，，，利用椭圆的右焦半径公式，，
联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，将式子化简整理可得．
【详解】令，设，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由，解得，则，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，整理得：，
所以，，
又，，所以，
综上，.
故选：B.
16．（2025·河北·模拟预测）过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】根据双曲线中点弦的性质，可得，进而可得弦的垂直平分线方程，求得，进而可得，，根据，可得离心率.
【详解】设，弦的中点为，离心率为，则，同理.
由，两式相减整理得，
所以弦的垂直平分线方程为，令，得，则，此时在的右侧，因为，所以，
所以，，
由，得，所以.
故选：C.
17．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得，进一步得，从而，由得离心率，利用求解即可.
【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：，
由椭圆上任意点及左、右焦点、，
得
；
同理，；
根据椭圆方程知，，即，
故椭圆两个焦半径为，，
如图,设的内切圆与三边切于点，
由圆的性质可知，
则，
又，所以，所以，又，
则，由得，所以，解得，
所以椭圆的方程为.
故选：D
18．已知为双曲线：的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】画出图形，利用渐近线的夹角，通过求解三角形推出双曲线的离心率即可.
【详解】如图所示，
可知：，，，，，
可得，
，即
可得，
解得：或
因为，所以，
所以舍去，
故选：C
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出，，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)．
19．双曲线 的右焦点到渐近线距离为 .
【答案】
【分析】由双曲线方程求出渐近线方程和右焦点坐标，结合点到直线的距离公式计算即可求解.
【详解】由双曲线C的渐近线方程为，即，
右焦点的坐标为，
则右焦点到直线的距离为.
故答案为：
20．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为 ．
【答案】/
【分析】由题意可知：为正方形，结合通径列式求解即可.
【详解】由题意可知：，且，结合对称性可知为矩形，
且，则为正方形，可得，
整理得，解得或（舍去）.
故答案为: .
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线与椭圆的一个交点为，且线段的中点为抛物线的焦点，则椭圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】连接， 易得，再由，得到和求解.
【详解】如图，
连接，设为坐标原点，为线段的中点，且为线段的中点，
．
轴，轴，由题可得，
，，
又，，得．
又，又，
，，
椭圆的标准方程为．
故答案为：
22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的值为 .
【答案】/
【分析】不妨设的一条渐近线为，，求，由正弦定理求，根据余弦定理列关系式可得关系，由此可得结论.
【详解】不妨设的一条渐近线为，，为坐标原点，
则可得，，
在中，由正弦定理得，
即，
所以在中，由余弦定理得，
化简整理得，所以，即，所以.
故答案为：.
23．已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是
【答案】
【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可.
【详解】由题意可知，
代入双曲线方程有，
又的面积为，即，
所以双曲线方程为：，
设，
则，
同理，
因为，则，
故答案为：.
24．过椭圆的右焦点作相互垂直的弦．若四边形的面积的取值范围为，则 ．
【答案】2
【分析】先利用余弦定理证明焦点弦长，即可由面积公式，结合三角函数的性质以及放缩法，可得，即可求解.
【详解】先证明：在椭圆中，点为椭圆上一点．
如图，设，则，，
，．

在中，根据余弦定理，有，
由椭圆定义得，
整理得．
在中，，
整理得．所以，
．
设弦所在直线与轴正方向的夹角为，则，，
所以四边形的面积，；
，，
．
故答案为：2

【点睛】关键点点睛：由余弦定理椭圆的焦半径，，得焦点弦长.
25．（24-25高三上·湖北武汉·期中）设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为 ．
【答案】2
【分析】设在第一象限，则点也在第一象限，根据得到，由两种方法求解的面积，得到方程，求出，结合，求出，由两点间距离公式得到，求出，故，代入双曲线方程，求出，得到离心率.
【详解】不妨设在第一象限，则点也在第一象限，
设，，
因为，所以，
故，
，
又，
故，解得，
由双曲线定义得，
故，，
又
，
又，故，故，
又，故，，故，
将代入中，得，
解得，所以的离心率为.
故答案为：2
【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知点P是双曲线左支上除顶点外的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，，，双曲线离心率为e，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在中，由正弦定理可得边角关系，结合两角和与差的正弦公式以及正弦的二倍角公式，以及弦切互化即可求解.
【详解】在中，由正弦定理得：,
进而可得，即，
由于
所以
∴
，
∴，
∴．
故选：B．
2．（23-24高三上·山东青岛·期末）直线与椭圆交于A、B两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为E，AE的中点为，设直线与椭圆的另一交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，根据向量数量积运算，三点共线，由点差法即可求解.
【详解】设，则，
，，
，①，
三点共线，，②，
在椭圆上，，两式相减可得，
③
将①②代入③可得，
，，
所以椭圆的离心率.
故选：A
【点睛】方法点睛：
点差法是解决圆锥曲线与直线的关系中常用到的一种方法.当直线与圆锥曲线相交的问题涉及到相交弦的中点或与中点坐标相关的条件时，宜应用点差法求解，即将直线被圆锥曲线截得的弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，得到两个等式，再将两个等式作差，转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系，进而解决问题.在解答圆锥曲线的某些问题时，若果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程.
3．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的焦点坐标求出，设出，坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基本不等式进行转化求解即可．
【详解】
如图，设抛物线的焦点坐标为，
焦点为， ，得，即抛物线方程为，
当轴时，易得，，则，
则；
当不垂直轴时，设斜率为，，，
则直线的方程为， ，代入
可得，即，
则，，
过分别作准线的垂线，垂足分别为，
则，，
，
则，
于是，，
当且仅当，即时取等号.
综上：因,故 的最小值为.
故选：C.
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】首先证明：双曲线上的任意点到左焦点与左准线的距离之比为常数（离心率）.
依题意，则点到直线的距离，
所以，则.
由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为，
则且，所以，
设，则，
所以，，即，
所以，
所以，当且仅当即时，等号成立，
故选：C.
5．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得，设，可得，由已知向量关系可得，从而得到，即，由离心率公式可得答案．
【详解】已知双曲线的渐近线方程为，
双曲线右焦点到渐近线的距离为，
在中，，，所以，
设，则，，
因为，所以，
所以，所以，
在中，，
所以，即，即，
所以．
故选：D
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
6．（24-25高三上·江苏苏州·月考）已知双曲线，焦点到一条渐近线的距离为，离心率，过左焦点F的直线l交双曲线C的同一支于A，B两点，若，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线方程及左焦点坐标，再按直线斜率存在与否分类设出其方程，并与双曲线方程联立，结合韦达定理求出即可计算得解.
【详解】令双曲线左焦点，其渐近线方程为，
依题意，，又，解得，
双曲线的方程为，，当直线斜率存在时，设其方程为，
由消去得，
设，则，显然，
，，
由，得
，
当直线时，由，得，，
所以.故答案为：
7．（2024·甘肃张掖·一模）已知为坐标原点为椭圆上三点，且，，直线与轴交于点，若，则的离心率为 .
【答案】/
【分析】借助点差法计算可得，结合题意计算可得，即可得离心率.
【详解】取的中点，设，，，，则．
∵，在椭圆上，∴，两式相减得，
即，
∴．
∵，∴，连接，则，
∴，∴，∴．
∵，∴，又，，
∴，得．
∴，∴，即，
∴的离心率.故答案为：．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上运动，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，且当时，，则 ，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由、知椭圆过，代入求参数即可；设直线的倾斜角为，令，则有，，可得，利用，， 得，，再由得，由利用基本不等式可得答案．
【详解】因为当时，，所以，
即，故．
设直线的倾斜角为，令，
则有，，
可得，
又，则，，
同理可得，
因为，所以，
所以，
故．
当且仅当时等号成立，故的最小值为．
故答案为：①；②．
椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为.
1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
2、双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）