重难点培优12 圆锥曲线中的定点、定直线问题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4

这是一份重难点培优12 圆锥曲线中的定点、定直线问题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4，共13页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 直线过定点（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 圆过定点（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 3
\l "_Tc26803" 题型三 定点中的探索性问题（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 4
\l "_Tc13512" 题型四 定直线x=x0（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 6
\l "_Tc3897" 题型五 定直线y=y0（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 7
\l "_Tc326" 题型六 定直线Ax+Bx+C=0（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 7
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 9
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 9
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 11
1、定点问题
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
2、定直线问题
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.
【一般策略】
①联立方程消去参；
②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；
③将横纵坐标分别用参数表示，再消参；
④设点，对方程变形解得定直线.
解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线．
目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况：
（1），即动点恒过直线．
（2），即动点恒过直线．
（3），即动点恒过直线．


题型一 直线过定点
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知抛物线仅经过中的一点.
(1)求的方程；
(2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点.
2．已知双曲线的渐近线方程为，点是上一点．
(1)求的方程；
(2)设是直线上的动点，分别是的左、右顶点，且直线分别与的右支交于两点（均异于点），证明：直线过定点．
3．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点.
（i）当直线的斜率为1时，求的周长；
（ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点.
4．已知动圆过定点且与直线相切．
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)过点分别作斜率为的直线，若与交于与交于，设分别为线段的中点，证明：直线过定点的充要条件是．
5．已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限.
(1)求的标准方程.
(2)设.
①求直线的方程.
②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标.

题型二 圆过定点
1．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，的焦距为8．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过右焦点F的直线l与双曲线C交于M，N两点，．求证：点A在以线段为直径的圆上．
2．（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线，焦点为，点在上，直线∶与相交于两点，过分别向的准线作垂线，垂足分别为.
(1)设的面积分别为，求证：；
(2)若直线，分别与相交于，试证明以为直径的圆过定点，并求出点的坐标.
3．已知椭圆的离心率为，其长轴的左、右两个端点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为、，四边形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)P是椭圆上不同于，的一个动点.
①直线、与y轴分别交于两点，求证：为定值；
②直线、分别与直线交于，判断以线段为直径的圆是否经过定点并说明.
4．如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2．
(1)求抛物线的方程．
(2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点．
①求证：直线过定点；
②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

题型三 定点中的探索性问题
1．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知椭圆C的焦距为2，且过点.
(1)求C的方程；
(2)若A，B分别是C的左、右顶点，设直线与x轴交于点P，点Q是直线上不同于点的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与交于点N，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
2．已知椭圆的离心率为，依次连接两个短轴端点和两个焦点，组成的四边形周长为8.
(1)求椭圆的方程．
(2)已知点，过点作直线交椭圆于两点，轴上是否存在一点（与点不重合），使得?若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由．
3．（2025·河北唐山·模拟预测）已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点．
(1)证明：
①直线轴；
②四边形的面积为定值；
(2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由．
4．（2025·天津河北·二模）已知椭圆的上、下顶点与一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点，且点在椭圆上．
(1)求椭圆C的离心率及标准方程；
(2)过点且斜率存在的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2025·江西上饶·二模）已知双曲线过点，其右焦点到渐近线的距离为1，过作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)为双曲线C上一动点，过点分别作两条渐近线的平行线交渐近线于，四边形OEPG的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由；
(3)在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在求出定点的坐标，若不存在请说明理由．

题型四 定直线x=x0
1．已知抛物线：.
(1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求；
(2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上.
2．已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且．
(1)求C的方程；
(2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上．
3．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，直线��不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴．
（i）设直线和的斜率分别为，用表示；
（ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上．

题型五 定直线y=y0
1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点.
(1)求的方程；
(2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值；
(3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上.
2．已知点为抛物线的焦点，点、在抛物线上，且、、三点共线.若圆的直径为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与抛物线交于点，，分别过、两点作抛物线的切线，，证明直线，的交点在定直线上，并求出该直线.
3．（24-25高三下·云南·月考）已知点是圆O：上的动点，点在轴上的射影为，点满足，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设分别是与轴的交点，（点在轴正半轴上），过点的直线与分别交于点（异于点），直线与直线交于点，证明：点在定直线上．

题型六 定直线Ax+Bx+C=0
1．已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程．
2．双曲线的左右焦点为，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线交双曲线于另一点Q，满足，且的周长为32．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点作直线l与双曲线的右支相交于M、N两点，在线段MN上取点H，满足，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由．
3．过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32

(1)求抛物线的方程；
(2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程.
4．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线过点，渐近线方程为．
(1)求的方程；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）．
①若为的中点，的面积为，求直线的斜率；
②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上．
5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·北京石景山·一模）已知椭圆过点，短轴长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
2．（2025·陕西宝鸡·三模）已知双曲线过点且一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线与双曲线相交于两点，试问在轴上是否存在定点，使直线与直线关于轴对称，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
3．已知，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)曲线的右顶点为，直线与相交于点，，设直线，的斜率分别为，，且．作，垂足为，是否存在某个定点，使得以为直径的圆经过点?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为．
(1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；
(2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上．
5．已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点．
(1)求的标准方程；
(2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
6．已知椭圆：，A点为椭圆短轴的上端点，P点为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知，椭圆的离心率
(1)求椭圆的标准方程；
(2)试判断椭圆是否是“圆椭圆”?并证明你的结论；
(3)Q点为P点关于原点O的对称点，Q点也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点?证明你的结论．
7．（24-25高三上·上海·月考）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求证：直线、的斜率之积为定值；
(3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
8．（2025·河北石家庄·一模）已知椭圆的一个焦点短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点.
（i）证明：点在以为直径的圆外：
（ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
9．（2025·河北保定·三模）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点．
10．已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且.
(1)求C的方程及；
(2)设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B.证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
11．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：为直角三角形；
(3)经过点且斜率不为零的直线与双曲线的两支分别交于点，.若点是点关于轴的对称点，试问，不论直线的斜率如何变化，直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由.
12．（2025·河北·二模）平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．
(1)求点Q的轨迹E的方程；
(2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由．
13．已知抛物线的焦点为，直线：与直线与抛物线分别交于点和点.
(1)若，求的面积；
(2)若直线与交于点，证明：点在定直线上.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·河北邯郸·一模）对于给定的椭圆，与之对应的另一个椭圆（，且），则称与互为共轭椭圆.已知椭圆与椭圆互为共轭椭圆，是椭圆的右顶点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设直线与椭圆交于，两点，且直线与直线的斜率之积为.
①证明：且直线过定点.
②试问在轴上是否存在异于点的点，使得直线，的斜率之积也为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
2．已知抛物线的焦点关于直线的对称点为．
(1)求的方程；
(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求；
(3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程．
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，点是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线，的倾斜角互补，且，求；
(3)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标．
4．（25-26高三上·上海杨浦·月考）已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合.
(1)求双曲线的焦距和离心率；
(2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率；
(3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程.
5．（2025·安徽蚌埠·三模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上．
6．已知双曲线，其左顶点，离心率.
(1)求双曲线方程；
(2)过右焦点的直线与双曲线右支交于，两点，与渐近线分别交于点，，直线，分别与直线交于，.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点.
7．（24-25高三上·江苏·期末）已知双曲线C：（）的离心率为2，点是双曲线C上的点，A，B是双曲线C的左、右顶点，点P（不同于点A，B）是双曲线C上的一个动点，直线分别交直线于点M，N．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求证：以线段为直径的圆被x轴截得的弦长为定值；
(3)当点P在右支上时，直线交双曲线C的右支于点Q，证明：直线过定点．
8．（2025·江西九江·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为，在上，．
(1)求的方程；
(2)过的直线交于另一点（异于），与轴交于点，直线与交于点，证明：直线过定点．
9．（25-26高三上·浙江杭州·月考）已知椭圆：经过点和.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左焦点为F，点M，N是椭圆C上的两个动点，直线的斜率存在并且不为0.
（i）若直线，关于x轴对称，证明：直线过定点；
（ii）若为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线过点，直线与直线，分别交于点P，Q，求.
定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
【一般策略】
①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等.
②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程.
③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程