重难点培优04 圆锥曲线中的二级结论（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优04 圆锥曲线中的二级结论（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共2页。
\l "_Tc17807" 题型01 焦点三角形面积公式的应用6
\l "_Tc4842" 题型02 圆锥曲线的通径9
\l "_Tc4842" 题型03 焦比公式11
\l "_Tc4842" 题型04 焦半径公式13
\l "_Tc4842" 题型05 垂径定理及应用16
\l "_Tc4842" 题型06 圆锥曲线的第三定义18
\l "_Tc4842" 题型07 双曲线渐近线距离问题20
\l "_Tc4842" 题型08 抛物线焦点弦的性质22
\l "_Tc6233" 分层进阶·双阶训练验成效25
\l "_Tc30327" 巩固过关25
\l "_Tc11271" 创新提升30
知识精讲·重难聚焦讲技巧
\l "_Tc25045" 知识点1 焦点三角形面积公式
（1）椭圆中的焦点三角形面积公式
设P点是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，椭圆焦点三角形的面积为
证明：设
．
（2）双曲线中的焦点三角形面积公式：（为焦距对应的张角）
知识点2圆锥曲线焦比公式与通径
过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于A,B两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦，与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.
(1)焦比公式
①设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足.
②设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F，过的直线与双曲线右支于A，B两点，直线的倾斜角为，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq \(FB,\s\up6(→))|，则双曲线的离心率等于.
③设抛物线的焦点F，过的直线与抛物线交于A，B两点，直线的倾斜角为，且，则.
(2)通径的性质
【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为.
【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为.
知识点3圆锥曲线的焦半径公式
（1）椭圆焦半径
设为椭圆上的一点，F为椭圆的一个焦点，∠PFO=θ
焦半径坐标式
①焦点在轴：焦半径(左加右减)；
② 焦点在轴：焦半径(上加下减)．
焦半径角度公式：PF=b2a−ccsθ
（2）双曲线焦半径
设为双曲线上的一点，F为双曲线的一个焦点，∠PFO=θ
①焦点在轴：在左支，在右支；
②焦点在轴：在下支，在上支．
焦半径角度公式：PF=b2ccsθ±a（P与F位于同侧取正，位于异侧取负）
（3）抛物线焦半径
设为抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，∠PFO=θ
①焦点在轴：焦半径PF = x0 +p2
② 焦点在轴：焦半径PF = y0+p2
焦半径角度公式PF=p1+csθ
知识点4 垂径定理
（1）椭圆中垂径定理
已知A,B是椭圆上任意两点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有
（2）双曲线中的垂径定理
已知A,B是椭圆上任意两点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有
知识点5圆锥曲线的第三定义
第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．
推论：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．
知识点6 双曲线中有关渐近线距离的结论
【性质1】
①双曲线的焦点到渐近线的距离为常数.
②双曲线的顶点到渐近线的距离为常数.
【性质2】①双曲线上任意一点到两渐近线的距离乘积为定值.
知识点7 抛物线焦点弦的有关结论
设AB是过抛物线焦点的弦，若，，则

(1)
(2)焦半径，(α为弦AB的与x轴夹角)
证明：由抛物线的定义易得．
又，同理可证．
弦长 (α为弦AB的倾斜角)．
证明：由（2）可得
焦点弦与圆有关的结论：
①以AB为直径的圆与准线相切
②以为直径的圆与切于焦点；
③以焦半径为直径的圆与轴相切；
④以焦半径为直径的圆与与轴相切；
(5)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．
(6) （定值）.
(7) 已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦，
存在最小值，且最小值为.
证明：
（当且仅当时等式成立），所以的最小值为.
（8）已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦，则四边形
的面积的最小值为.
①三点共线；②三点共线．
中点弦斜率：若斜率为，为AB的中点，则．
证明：，由点差法得
题型深研·通法变式提能力
题型1 焦点三角形面积公式的应用
【典例1-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根据椭圆焦点三角形面积公式求解即可.
【详解】由题意知，因为，所，故选B.
【典例1-2】（2026·河南焦作·一模）已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】D
【分析】法一：设，，利用双曲线定义与余弦定理可计算出，再利用面积公式计算即可得解；法二：利用双曲线焦点三角形面积公式计算即可得.
【详解】法一：设，，则由双曲线定义可得，
，则，
，即，
则，故.
法二：由双曲线焦点三角形面积公式可得.
【变式1-1】（2026·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线焦点三角形面积公式求解即可.
【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则，
所以．
【变式1-2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据椭圆焦点三角形面积公式求解即可.
【详解】由椭圆：可知：三角形面积为：.
【变式1-3】（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合余弦定理和三角形面积公式得到椭圆焦点三角形的面积公式，根据已知条件即可得，再利用得到内切圆半径，最后利用三角形面积也等于半周长乘以内切圆半径得到关于的等式，求解即可得离心率.
【详解】设，
根据椭圆定义有，在中，由余弦定理可得
，
即，整理得，
又的面积，由
可得，结合已知条件有，所以，
点为内切圆圆心，所以是的角平分线，设内切圆半径为，
作，垂足为，则，
同时由等面积法可知，
整理得，进而得到，
故的离心率为.
题型2 圆锥曲线的通径
【典例2-1】过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，分别求出，，利用条件，搭建的方程，从而得到双曲线的渐近线方程.
【详解】双曲线，令，得，
双曲线的渐近线方程为，令，得，
所以，，由，得，
整理得，有，解得，所以双曲线E的渐近线方程为.
故选：B
【典例2-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆定义得到，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，进而可得，即得．
【详解】∵，为椭圆的两个焦点，
∴，，
的周长为，
即，
若最小，则最大．
又当轴时，最小，此时，
故，
解得．
故选：C.
【变式2-1】．（2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________．
【答案】/
【分析】由题意得，结合已知通径长及得，进而有，根据离心率公式即可得.
【详解】由题意，
在中，令，可得，所以，
因为过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以，则，
其中，所以，则，
所以，则.
【变式2-2】过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有______条．
【答案】2
【分析】求出过右焦点与右支相交所得最短弦长、与左右两支相交所得最短弦长即可得解.
【详解】过双曲线的右焦点与右支相交所得最短弦长为双曲线通径，等于，
而，则点不可能都在双曲线右支上；
过双曲线的右焦点与左右两支相交所得最短弦长为双曲线实轴长，
而，则点在双曲线左右两支上，由对称性得这样的直线有2条.
故答案为：2
【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的性质，利用已知面积关系推出，从而得出即为通径，结合已知条件求出的关系，进而利用求出的关系，从而求解离心率．
【详解】
椭圆的左、右焦点分别为，
，
，
，，
，
，故轴，是椭圆的通径，即，
，
，故，
，解得，即，
．
题型3 焦比公式
【典例3-1】（多选）（25-26高三上·山东青岛·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，自两点向准线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．以为直径的圆与直线相切
C．
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据题目条件和抛物线的性质，逐一判断选项，即可得出结果.
【详解】根据题意抛物线为开口向右的抛物线，，焦点，准线为，设.
对于A，直线过最短的弦为通径，所以A错误；
对于B，以为直径的圆，圆心为的中点，半径，
圆心到准线的距离，又，即，
故圆与直线相切，所以B正确；
设直线的方程为，且有，
，联立得，
则，
，所以，所以C正确；
设直线的倾斜角为，根据抛物线焦比公式，
所以，所以D正确．
故选：BCD．
【变式3-1】已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ）
A．B．2
C．D．3
【答案】D
【分析】根据焦比公式可直接求得答案..
【详解】设直线的倾斜角为，则，根据抛物线焦比公式，结合题意可知，故即.
故选：D.
【变式3-2】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直线的倾斜角为，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq \(FB,\s\up6(→))|，则双曲线的离心率等于，进而求得离心率..
【详解】设直线的倾斜角为，则，根据抛物线焦比公式，
∴
故选：B
【变式3-3】已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ）
A．1B．
C．D．2
【答案】B
【分析】设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足.
【详解】因为，设直线的倾斜角为，则，解得．因为，所以，故选B
题型4 焦半径公式
【典例4-1】已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，则______；若，则=______.
【答案】，
【解析】如图，设，则
由焦点弦公式，，
由焦半径公式，，
，所以.
【典例4-2】（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______．
【答案】/
【分析】分别讨论直线的斜率是否为0，结合椭圆的焦半径公式求解即可.
【详解】当直线与轴重合时，与中一个为，另一个为，
所以．
当直线不与轴重合时，设直线的倾斜角为，则，
不妨设在轴上方，则，
所以．综上，．

【变式4-1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则______．
【答案】3
【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果.
【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为，
联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或，
又，所以，，由相似的性质可知，．
解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．

由题意知，，则．因为斜率，所以，所以．
解法三：由题意知，直线的斜率，设，
由焦比定理知，即，解得，即，所以．
故答案为：3.
【变式4-2】已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则______.
【答案】2
【分析】利用焦半径公式可证，从而可得结论.
【详解】设，则，由焦半径公式，
，
所以，
从而，即.
故答案为：.
【变式4-3】设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_________________.
【答案】
【分析】根据椭圆焦半径公式，设是椭圆上一点，①焦点在轴：焦半径(左加右减)；② 焦点在轴：焦半径(上加下减)．
【详解】由已知可得，
又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，
．∴．
设点的坐标为，则 ，解得、，
的坐标为．
题型5 垂径定理及应用
【典例5-1】已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．弦AB的最小值为
B．若，则三角形的周长
C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则
D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率
【答案】ABC
【分析】A选项焦点弦最短为通径; B选项利用双曲线的定义即可得到三角形的周长;C选项中点弦利用点差法即可得到斜率之间的关系; D选项结合点渐近线斜率可以得到离心率的斜率.
【详解】对于A，

弦AB的最小值为通径，故A正确;
对于B，

由双曲线的定义得,,
所以,,
,
则三角形的周长,故B正确;
对于C,根据椭圆中的垂径定理可得故C正确;
对于D,

若直线AB的斜率为,所以，所以，所以，
所以，故D错误.
故选：ABC.
【变式5-1】已知椭圆 x216+y24=1，则以点为中点的弦所在的直线方程为__________
【答案】 x+2y−4=0
【解析】由椭圆方程知 a2=16,b2=4，则−b2a2=−416=−14，原点 O与中点 P连线的斜率 kOP=1−02−0=12。设弦所在直线斜率为 k，根据垂径定理 k⋅kOP=−b2a2，即： k⋅12=−14k=−12，由点斜式得 y−1=−12x−2，整理得： x+2y−4=0.
【变式5-2】已知椭圆x29+y24=1，求斜率为 2的平行弦的中点轨迹方程.
【答案】 x+2y−4=0
【解析】设平行弦的中点为 Mxy，已知 kAB=2， kOM=yx，由垂径定理 kAB⋅kOM=-b2a2，代入数据得：
2⋅yx=-49整理得 y=-29x。
由于中点必须在椭圆内部，需满足 x29+y24