重难点培优03 阿基米德三角形问题（焦点弦、切点弦等）（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优03 阿基米德三角形问题（焦点弦、切点弦等）（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共100页。学案主要包含了典例1-1，典例1-2，变式1-1，变式1-2，变式1-3，典例2-1，典例2-2，变式2-1等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc18941" 题型深研·通法变式提能力 PAGEREF _Tc18941 \h 1
\l "_Tc17807" 题型01 阿基米德三角形面积问题4
\l "_Tc4842" 题型02 切点弦问题8
\l "_Tc4842" 题型03 求阿基米德三角形的顶点6
\l "_Tc4842" 题型04 定点问题6
\l "_Tc4842" 题型05 定直线问题7
\l "_Tc4842" 题型06 最值问题8
\l "_Tc4842" 题型07 角度相等问题9
\l "_Tc4842" 题型08 定值问题9
\l "_Tc4842" 题型09 蒙日圆问题10
\l "_Tc6233" 分层进阶·双阶训练验成效11
\l "_Tc30327" 巩固过关11
\l "_Tc11271" 创新提升12
知识精讲·重难聚焦讲技巧
\l "_Tc25045" 知识点1 阿基米德三角形的定义及基本性质
阿基米德三角形是指抛物线的弦与过弦的两个端点的两条切线所围成的三角形。 以抛物线 x2=2py (p>0) 为例，若过抛物线外一点 P(x0,y0) 向抛物线引两条切线，切点分别为 A(x1,y1) 和 B(x2,y2)，则 △PAB 即为阿基米德三角形。
（1）椭圆中的阿基米德三角形
在椭圆中，阿基米德三角形定义为由椭圆外一点引两条切线，切点连线（切点弦）与两条切线围成的三角形。设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1，椭圆外一点 P(x0,y0)，切点为 A(x1,y1)、B(x2,y2)。
性质 1: 弦 AB 绕着定点 P 转动时, 则其所对顶点 Q 落在定直线上.
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2:过切点 A(x1,y1) 的切线方程为 x1xa2+y1yb2=1。
性质 3 切点弦方程：切点弦 AB 的方程为 x0xa2+y0yb2=1。
性质 4 顶点 P 的坐标表示：若已知切点弦 AB 的方程为 mx+ny=1，则切线交点 P 的坐标为 (a2m,b2n)。
性质 5中点连线共线：设弦 AB 的中点为 M，则直线 PM 必定经过原点 O(0,0)，即 O,M,P 三点共线。
性质 6斜率乘积定值：直线 AB 的斜率 kAB 与直线 OP 的斜率 kOP 满足：kAB⋅kOP=−b2a2。
性质 7蒙日圆（Mnge Circle）定理：若从点 P 引出的两条切线互相垂直（即 ∠APB=90∘），则点 P 的轨迹是一个圆，方程为 x2+y2=a2+b2。
性质 8 如果切点弦 AB 经过椭圆的一个焦点 F(c,0)，那么对应的切线交点 P 必定落在与该焦点对应的准线 x=a2c 上，此时依然成立。
（2）双曲线中的阿基米德三角形
设双曲线方程为 x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)，双曲线外一点 P(x0,y0) 引两条切线，切点分别为 A(x1,y1) 和 B(x2,y2)，则 △PAB 为双曲线中的阿基米德三角形。
性质 1: 弦 AB 绕者定点 P转动时, 则其所对顶点 Q 落在定直线上.
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 切线方程：过切点 A(x1,y1) 的切线方程为 x1xa2-y1yb2=1。
性质 3 切点弦方程：切点弦 AB 的方程为 x0xa2-y0yb2=1。
性质 4顶点 P 的坐标表示：若已知切点弦 AB 的方程为 mx+ny=1，则切线交点 P 的坐标为 (a2m,-b2n)，
性质 5: 设弦 AB 的中点为 M，则直线 PM 必定经过原点 O(0,0)，即 O,M,P 三点共线.
性质 6 直线 AB 的斜率 kAB 与直线 OP 的斜率 kOP 满足定值关系：kAB⋅kOP=b2a2。（注意此处为正号，与椭圆的负号不同）
性质 7 若从点 P 引出的两条切线互相垂直（即 ∠APB=90∘），则点 P 的轨迹是一个圆，方程为 x2+y2=a2-b2。这个圆被称为双曲线的蒙日圆（或准圆）.
注：只有当 a>b 时，该圆才存在（半径的平方为正数）
性质 8如果切点弦 AB 经过双曲线的一个焦点 F(c,0)，那么对应的切线交点 P 必定落在与该焦点对应的准线 x=a2c 上。此时， 依然成立
（3）抛物线线中的阿基米德三角形
性质 1阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
性质 2若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．
性质3 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行.
性质 4若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C则另一顶点Q的轨迹为一条直线
特别的：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，反之，若的轨迹为准线，则阿基米德三角形的底边过焦点.
性质 5抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹；
性质 6底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为
性质 7的面积为（焦点在y轴时)．
性质 8在阿基米德三角形中, ∠QFA=∠QFB．
性质 10若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶角为直角，且阿基米德三角形的面积最小值为 p2
性质 11抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．
性质 12若点的坐标为，当抛物线焦点在x轴时，底边的直线方程为；当抛物线焦点在y轴时，底边的直线方程为．
知识点2 阿基米德三角形的题型分类
高考及模拟题中关于阿基米德三角形的考查主要分为以下四类：
（1）过焦点的阿基米德三角形问题：此类题型通常已知直线过抛物线焦点，要求证明切线交点在准线上，或证明切线互相垂直、线段互相垂直等几何关系。
（2）准线上的点引切线构成的三角形问题：已知点 P 在准线上（或在特定曲线上），过 P 作切线，要求证明切点弦 AB 过定点（通常是焦点），或证明 A,B,P 的横坐标成等差数列等代数关系。
（3）面积最值问题：结合圆、直线等约束条件，求阿基米德三角形面积的最大值或最小值。这类问题往往需要建立目标函数。
（4）定点、定值、定直线问题：探究在动点或动直线变化过程中，某些几何量（如斜率之和、面积、交点轨迹等）是否保持不变。
知识点3 阿基米德三角形问题的求解策略
（1）利用导数求切线：对于求切线方程或切线斜率的问题，可以直接对抛物线方程求导。例如 x2=2py 变形为 y=x22p，则 y'=xp，从而快速得到切点处的切线斜率，进而写出切线方程。
（2）联立方程与韦达定理：处理直线 AB 与抛物线的交点问题时，常规策略是将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，利用韦达定理得出 x1+x2 和 x1x2 的表达式，这是计算弦长、中点坐标的基础。
（3）几何性质转化：在证明垂直、平行或共线问题时，应优先考虑阿基米德三角形的几何性质。例如，看到准线上的点引切线，应立即联想到 PA⟂PB 和 AB 过焦点，从而将复杂的代数运算转化为简洁的几何推理。
（4）函数与方程思想求最值：对于面积最值问题，通常先利用 S=12|AB|⋅d（d 为点 P 到直线 AB 的距离）表示面积，再结合题目给定的约束条件（如点 P 在圆上），将面积表示为单一变量的函数，最后利用导数或基本不等式求最值。
题型深研·通法变式提能力
题型1 阿基米德三角形的面积问题
【典例1-1】（2026·山西临汾·一模）阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）阿基米德在数学方面贡献巨大.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则“阿基米德三角形”面积的最小值为（ ）
A．18B．24C．27D．36
【变式1-1】 已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【变式1-2】 （25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，其蒙日圆方程为，M为蒙日圆上的一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与圆：相切.
(1)求的方程；
(2)设，过点作的两条切线，，切点分别为，，试求面积的取值范围.
题型2 切点弦方程
【典例2-1】（2026·河北衡水·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形.若经过抛物线焦点的一条弦为，则阿基米德三角形满足点必在抛物线的准线上，且，若点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．2
【变式2-1】（2026·天津和平·二模）已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（ ）
A．B．2C．D．
【变式2-2】抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）；（3）．若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型3 求阿基米德三角形顶点坐标
【典例3-1】（2026高三·全国·专题练习）阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用．在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与交于两点，若为阿基米德三角形，则_____．
【变式3-1】抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．点P的坐标为
【变式3-2】已知直线l：与抛物线交于A、B两点，若，过A、B两点作抛物线的切线交于点P，则的顶点P的坐标为______．
题型4 定点问题
【典例4-1】（25-26高三上·安徽宿州·期末）定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知曲线上的动点满足点与定点的距离和到定直线：的距离之比是常数.圆：.点为一动点.

(1)求曲线的方程；
(2)过点作曲线的两条切线，切点分别为两点.证明：直线过定点：（参考公式：若为椭圆上的点，则其在处的切线方程为.）
【变式4-1】已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ）
A．斜率为2B．斜率为C．恒过点D．恒过点
【变式4-2】已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是__________．
【变式4-3】（2026高三·广东·专题练习）已知椭圆的中心在原点，离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，为坐标原点，直线与椭圆交于两点（直线斜率存在且在轴两侧），且满足.
①求证：直线过定点，并求出该定点坐标；
②已知椭圆上点处的切线方程为，若椭圆在，两点处的切线交于点，为①中直线过的定点，求证：以为直径的圆恒过定点.
题型5 定直线问题
【典例5-1】（2026·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的动直线交于两点，过分别作的切线，，与交于点．经探究可知点必在一条定直线上，其方程为___________．
【典例5-2】已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．求证：点在定直线上，并求出该直线方程；
【变式5-1】（2026·全国·模拟预测）经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线______上．（写出此直线的方程）
【变式5-2】（25-26高二上·福建泉州·期末）已知顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，
（i）若点在第一象限且，求直线的方程；
（ii）若抛物线在、两点处的切线交于点，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程.
【变式5-3】已知曲线上的动点满足，且.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.
①直线经过定点；
②点在定直线上.
题型6 最值问题
【典例6-1】在直角坐标系中，已知抛物线，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，当在轴上时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)求点到直线距离的最大值.
【变式6-1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点和，抛物线在，两点处的切线交于点，则的最小值为___________．
【变式6-2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，圆上一动点与两个焦点组成的三角形面积最大值为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过不在双曲线上的一点P，作双曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为，.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）求面积的最小值.
题型7 角度相等问题
【典例7-1】如图所示，设抛物线C：的焦点为F，动点P在直线l：上运动，过P作抛物线C的两条切线，，切点分别为A，B，求证：.
【变式7-1】已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A、B，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.
【变式7-2】（2026·辽宁朝阳·三模）已知抛物线的焦点F到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)点为抛物线上的一点，在上任取一点B（与点A不重合），直线AB与直线l交于点C，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D．
（i）求证：直线BD恒过定点E，并求出点E的坐标；
（ii）过点B和D分别作抛物线的两条切线和和交于点G，证明：．
题型8 定值问题
【典例8-1】（25-26高三下·江西景德镇·期中）椭圆C：离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程：
(2)（i）若为椭圆上一定点，证明：直线与椭圆C相切.
（ii）若为椭圆外一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求直线OP与直线MN的斜率之积
【变式8-1】（2026·陕西商洛·模拟预测）设椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为上异于顶点的任意一点，且直线与的斜率之积为.作的两条互相垂直的切线，且这两条切线相交于点，切点为，.
(1)求的方程.
(2)证明：点的轨迹是圆.
(3)过原点作交于，作交于，作，垂足为，设点的轨迹围成的封闭图形的面积为，点的轨迹围成的封闭图形的面积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【变式8-2】（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，．
（i）设直线，的斜率分别为，，求的值；
（ii）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值．
题型9 蒙日圆问题
【典例9-1】（25-26高二上·广东潮州·期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】（25-26高二上·山东聊城·期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交于两点A，B直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1.若经过抛物线的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2.（25-26高三·上海·二轮复习）已知抛物线C：，直线与抛物线交于A，B两点，，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则的面积最大值为（ ）
A．8B．16
C．D．32
3.（25-26高二上·河南许昌·期末）法国数学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆，且的离心率为，则的“蒙日圆”的方程为（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
4.（多选）（25-26高三下·辽宁·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．椭圆的离心率为，则的范围为
D．
5.（多选）（25-26高二上·广西·阶段检测）抛物线的弦与该弦端点处的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，线段为抛物线的弦，为抛物线的“阿基米德三角形”.设线段的中点为，下列说法正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为3.
B．点与点的纵坐标相等.
C．若点在直线上，则直线过点.
D．若直线过焦点，且其倾斜角为锐角，则的最小值为.
6.（2026·广东中山·一模）已知椭圆的离心率为，右焦点关于直线的对称点在圆上，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为、，
证明：直线过定点，并求定点坐标.
7.（25-26高三·全国·三轮复习）已知椭圆的短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)，为椭圆上不同两点，过，作椭圆切线交于点，若，求点的轨迹的方程；
(3)若交于，交于，求面积的最大值．
创新提升
1.（多选）（2026·山西忻州·模拟预测）椭圆：上有一点位于第一象限．过作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，．若，其中为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．满足条件的点有且仅有2个
B．的两个可能值之和为5
C．切线的斜率一定小于
D．两条可能切线的斜率之积为
2.（多选）（2026·湖南·三模）已知抛物线，设O为坐标原点，，，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（异于点），则下列结论正确的（ ）
A．若，可能为锐角三角形
B．若，点在直线上的投影为定点
C．若，且直线，分别交轴于点，，则
D．若，且直线，分别交轴于点，，则
3.（多选）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线上两个不同点A，B横坐标分别为，，以A，B为切点的切线交于P点.关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有（ ）
A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上
B．若为正三角形，则其面积为
C．若，则的面积的最小值为
D．一般情况下，的面积
4.（多选）（2026·四川成都·三模）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为3
B．点与点的纵坐标相等
C．若点在直线上，则直线过点
D．若三点共线，则的面积的最小值为1
5.（25-26高二上·江西南昌·期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和．
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程．
(2)求证：为定值．
(3)求证：直线过定点，并求出该定点．
6.（2026·陕西·二模）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
(1)证明：直线过定点；
(2)若以为圆心的圆与直线相切，切点为的中点，求该圆的方程．
7.（25-26高三下·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，设动点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)设点为直线上一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、．
①证明：直线过定点；
②若直线与以点为圆心的圆相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．
8.（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，在抛物线上且到焦点的距离为，点的坐标为.
(1)若点在上，且，求点的坐标；
(2)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线.
9.（25-26高三下·云南昭通·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)证明：点T在定直线上；
(3)在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程.
10.（25-26高三下·广东深圳·阶段检测）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动点为椭圆外一点，过P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，直线OP与椭圆交于A，B两点（点A在PO延长线上）．
（ⅰ）求直线MN的方程；
（ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出此时动点P的轨迹，若不存在，请说明理由．
11．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知椭圆：.
(1)求的离心率；
(2)若直线：上存在点，过点可以作的两条切线，且两条切线互相垂直，求点的坐标；
(3)若菱形的四个顶点都在上，证明：与的交点为坐标原点.