重难点培优03 拓展不等式：柯西、权方和不等式考点梳理 2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优03 拓展不等式：柯西、权方和不等式考点梳理 2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共46页。
\l "_Tc32291" 知识点01 柯西不等式 PAGEREF _Tc32291 \h 1
\l "_Tc10363" 知识点02 权方和不等式 PAGEREF _Tc10363 \h 2
\l "_Tc1517" 题型深研·通法变式提能力 PAGEREF _Tc1517 \h 2
\l "_Tc7763" 题型1 利用柯西不等式求整式的最值 PAGEREF _Tc7763 \h 2
\l "_Tc12381" 题型2 利用柯西不等式求分式的最值 PAGEREF _Tc12381 \h 3
\l "_Tc24640" 题型3 利用柯西不等式求根式的最值 PAGEREF _Tc24640 \h 4
\l "_Tc30595" 题型4 利用柯西不等式求三角函数式的最值 PAGEREF _Tc30595 \h 5
\l "_Tc29223" 题型5 直接利用权方和不等式求最值 PAGEREF _Tc29223 \h 5
\l "_Tc24931" 题型6 权方和不等式的变形 PAGEREF _Tc24931 \h 6
\l "_Tc21735" 分层进阶·双阶训练验成效 PAGEREF _Tc21735 \h 6
\l "_Tc23202" 巩固过关 PAGEREF _Tc23202 \h 6
\l "_Tc31946" 创新提升 PAGEREF _Tc31946 \h 7
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点01 柯西不等式
1、二维形式的柯西不等式是基础常用公式，表达式为，式中 ????? ????????.3 均为实数，当且仅当 ????? ????????.3 时，不等式取到等号。
2、二维柯西不等式衍生出三类常用变式，每一类都有对应的适用条件与等号成立要求，做题时可根据所求式子结构灵活选用。
第一类变式，式中 ????? ????????.3 \∗ ???????????均为实数，在 ????? ????????.3 \∗ ???????????时取等；
第二类变式，式中 ????? ????????.3 \∗ ???????????均为实数，满足 ????? ????????.3 \∗ ???????????时等号成立；
第三类变式，要求， ????? ????????.3 \∗ ???????????时取等。
3、柯西不等式可以拓展到n组实数的一般形式，公式为，当且仅当存在实数k，使得时，等号成立，多用于多变量最值求解。
4、柯西不等式的向量表达形式，，等号成立分为两种情况，一是其中一个向量为零向量，二是两个向量存在实数倍数关系，也就是 ????? ????????.????? ，该形式常用来结合向量模长、数量积综合出题。
知识点02 权方和不等式
1、权方和不等式二维形式：已知，则有（当且仅当时，等号成立），常用来快速处理分式求和最小值问题。
2、权方和不等式能够推广到n项通用形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立。
该不等式核心特征十分鲜明，分子未知数的幂次比分母未知数的幂次多1，看到这类分式求和题型，可优先考虑使用权方和简化运算。
题型深研·通法变式提能力
题型1 利用柯西不等式求整式的最值
例1．已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2).
变式1-1．设不等式的解集为A，且，.
(1)求a的值；
(2)若、、为正实数，且，求的最小值.
变式1-2．已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)若，则；
(2).
变式1-3．已知函数，m∈R，且f(x+2)≥0的解集为．
（1）求的值；
（2）若+，且，求的最小值.
题型2 利用柯西不等式求分式的最值
例2．(1)已知均为正实数，求证：；
(2)已知，求证：.
变式2-1．已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为______．
变式2-2．已知函数，且的解集为(−1,1).
(1)求的值；
(2)若正实数a,b,c，满足.求的最小值.
变式2-3．已知a，，均为正数
(1)求证：；
(2)若，求证：．
题型3 利用柯西不等式求根式的最值
例3．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，当且仅当时，等号成立．我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立．
(1)若，求的最小值；
(2)已知，且恒成立，求的取值范围；
(3)求的最大值．
变式3-1．已知：若均为实数，则，当且仅当时等号成立．试运用上述知识，分析以下问题：函数在___________时取最大值___________．
变式3-2．求函数的值域．
变式3-3．已知，则的最小值是_____．
题型4 利用柯西不等式求三角函数式的最值
例4．若α,β为锐角,且
A．B．C．D．
变式4-1．求的最小值．
变式4-2．已知a,b,c为正数，且满足，求证：．
变式4-3．已知，求证：.
题型5 直接利用权方和不等式求最值
例5．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（ ）
A．1B．C．D．25
变式5-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39B．52C．49D．36
变式5-2．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
变式5-3．（1）若，且，则a+2b的最小值为________．
（2）已知正实数x,y满足，则的最小值为________．
题型6 权方和不等式的变形
例6．已知a，，为非负实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式6-1．若锐角满足，则的最小值是_____.
变式6-2．已知正数，，满足x+y+z=1，则的最小值为______________
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．已知且x+y+z=1，a，b，c为常数，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
2．若，则的最大值为______．
3．已知是一个锐角，那么的最小值是_____.
4．若，满足，则函数的最大值是_____．
5．求函数的最大值．
6．已知正实数a，b，c满足.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
7．已知正数a，，，求证：．
8．设正数a，，满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
9．已知x，y，z为正数，证明：
(1)若，则；
(2)若，则．
创新提升
1．（多选）函数的值可以是（ ）
A．3B．C．3D．5
2．已知证明：
3．已知，求的最大值．