重难点培优05 不等式恒（能）成立问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优05 不等式恒（能）成立问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共31页。
\l "_Tc18941" 题型深研·通法变式提能力
\l _Tc17807 题型1 分离参数法解决恒（能）成立问题
题型2 分类讨论法解决恒（能）成立问题
题型3 拆解法求解双变量的恒（能）成立问题
题型4 双变量恒(能)成立问题
\l "_Tc6233" 分层进阶·双阶训练验成效
\l "_Tc30327" 巩固过关
\l "_Tc11271" 创新提升
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1分类讨论法解决恒（能）成立问题
根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.
知识点2分离参数法解决恒（能）成立问题
分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量分离的一种方法.一般地，若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f（x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需a＜f（x）min.若存在x0∈D，使a＞f（x0）成立，则只需a＞f（x）min；若存在x0∈D，使a＜f（x0）成立，则只需a＜f（x）max.由此构造不等式，求参数的范围.
知识点3拆解法求解双变量的恒（能）成立问题
“双变量”的恒（能）成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解转换有：
（1）∀x1，x2∈D，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）max；
（2）∀x1∈D1，∃x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）min；
（3）∃x1∈D1，∀x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）max.
题型深研·通法变式提能力
题型1 分离参数法解决恒（能）成立问题
【例1】 (2020·全国Ⅰ卷T21节选)已知函数f(x)=ex+ax2-x.当x≥0时,f(x)≥12x3+1恒成立,求a的取值范围.
【解】由f(x)≥12x3+1得
ex+ax2-x≥12x3+1,其中x≥0,
①当x=0时,不等式为1≥1,显然成立,此时a∈R.
②［第1步“分离参数”］
当x>0时,得a≥-ex−12x3−x−1x2,
［第2步“构造函数"]
记g(x)=-ex−12x3−x−1x2，g'(x)=-(x−2)ex−12x2−x−1x3.
令h(x)=ex-12x2-x-1(x>0)，则h'(x)=ex-x-1,
令H(x)=ex-x-1,则H'(x)=ex-1>0,
故h'(x)在(0,+∞)上单调递增,
因此h'(x)>h'(0)=0,
故函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴h(x)>h(0)=0,
即ex-12x2-x-1>0恒成立,
故当x∈(0,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(2,+∞)时,g'(x)