重难点培优12 导数中的不等式证明问题（复习讲义）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 常规构造差函数型（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 同构构造函数型（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 5
\l "_Tc26803" 题型三 换元后构造函数型（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 6
\l "_Tc13512" 题型四 利用放缩法 （含切线放缩、泰勒展开）（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 7
\l "_Tc3897" 题型五 利用隐零点（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 8
\l "_Tc326" 题型六 利用凹凸反转（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 9
\l "_Tc11957" 题型七 含多变量型（★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 9
\l "_Tc17557" 题型八 导数结合三角函数（★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 10
\l "_Tc28054" 题型九 导数结合数列（★★★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 11
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 13
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 13
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 15
一、导数证明不等式，核心思维如下：
1、构造对应的函数不等式，用导数证明不等式成立.
2、构造函数常见思路
(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋ln x（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立.
②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x（x＞0，且x≠1）.
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．
（5）同构构造函数
①积型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
②商型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
③和差型
对数化:令，得
指数化:令，得
比如令，得．
3、利用函数不等式来放缩.涉及到求和或者求积型不等式，放缩有以下两个思维
（1）先放缩再求和证明；
（2）先求和再放缩证明.
4、切线放缩放缩的结构
（1）指数函数的切线不等式
①；②．
（2）对数函数的切线不等式
①；②；③．
（3）三角函数的切线不等式
①当时， ；当时， ；
②当时， ；当时， ．
③切线与割线相结合的形式：当时， ．
5、基于泰勒展开的结构
（1）常见函数的泰勒展开式
①，其中；
②，其中；
③，其中；
④，其中；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧．
（2）由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式
①，，，
②，，，
③，，．
二、证明不等式的一般思维和基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
三、不等式证明的“借式子”思维：
首先作为第二问不等式证明中，关键需要利用（1）中的结论，得出符合证明的不等式，或者符合证明方向的不等式放缩条件式子，这需要结合（1）中的结论，巧妙赋值，适当凑配.其次，还需要联想要证的不等式的大小关系，构造函数合适的函数关系式，得出放缩关系.


题型一 常规构造差函数型
【技巧通法·提分快招】
1．证明不等式：
(1)，；
(2)．
2．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：．
3．（2025·山东聊城·三模）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．
4．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的最小值；
(3)求证：.

题型二 同构构造函数型
【技巧通法·提分快招】
1．已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：当时，恒成立.
2．已知函数，，，．
(1)求的单调区间；
(2)若的最大值为1，证明：对任意的，；
(3)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
3．（24-25高三下·河南·月考）已知函数的图象在处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)当时，证明：.
4．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知函数，.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间和极值；
(3)若，函数，证明：当，.
5．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两根，求a的取值范围；
(3)证明：当时，．

题型三 换元后构造函数型
1．（2025·北京·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在处的切线的倾斜角；
(2)若是函数的极值点，
（i）求实数的值；
（ii）设函数．证明：．
2．（24-25高三下·广东江门·月考）已知函数，，设.
(1)若，求的最大值；
(2)求在上的最小值；
(3)若有两个不同的零点，求证：.
3．已知函数．
(1)若，判断的单调性；
(2)已知有两个零点，，（）
①证明：；
②证明：

题型四 利用放缩法 （含切线放缩、泰勒展开）
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·湖南·月考）已知函数．
(1)判断在区间的单调性；
(2)求的最小值；
(3)证明：当时，．
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，为的导函数.
(1)若函数的图象与的图象的交点的横坐标，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
3．函数，，其中为常数，当时，证明：．
4．证明不等式：．
5．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．

题型五 利用隐零点
1．（24-25高三上·云南丽江·月考）设函数其中
(1)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;
(2)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.
2．已知函数，.
(1)求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若且时，求证.
3．（24-25高三下·天津河北·月考）已知函数
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若对任意 不等式 恒成立，求a的取值范围.
(3)证明不等式：

题型六 利用凹凸反转
【技巧通法·提分快招】
1．已知，，，求证：．
2．已知函数，．
(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．
(2)若，，证明：．

题型七 含多变量型
1．（23-24高三下·河南·月考）已知函数．
(1)若对恒成立，求的取值范围；
(2)当时，若关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，求的取值范围，并证明：．
2．（2025·河北石家庄·三模）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若在定义域内有三个零点a，b，c（）．
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）求证：．
3．已知函数有三个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
4．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知函数，
(1)若与的图象恰好相切，求实数的值；
(2)时，证明：当时，
(3)若有三个零点，，，且．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．

题型八 导数结合三角函数
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·湖南·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：.
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，．
(1)若在其定义域上单调，求的取值范围；
(2)若．
（ⅰ）证明：；
（ii）若，求的取值范围．
3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，．
(1)判断的单调性；
(2)若函数图象在处切线斜率为，求；
(3)求证：．
4．（2025·湖南长沙·三模）若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上是一个 “ 函数”.
(1)已知函数在区间上是一个 “ 函数”，求；
(2)证明: 函数在区间上是一个 “ 函数”;
(3)证明: .

题型九 导数结合数列
【技巧通法·提分快招】
1．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：，；
(3)设，证明：．
2．（24-25高三下·广东佛山·月考）已知函数
(1)当时，求的最大值；
(2)设，讨论的单调性；
(3)证明：对于任意的正整数，都有．
3．已知函数，.
(1)设函数；
（i）讨论函数的单调性；
（ii）若函数无极值，求实数的取值范围；
(2)记数列的前项和为，证明：.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．求证：
(1)（）；
(2)；
(3)（）．
2．（2025·四川·三模）已知函数．
(1)若，试判断函数在区间内的极值点个数，并说明理由；
(2)当，时，求证：．（参考数据：）
3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求证：对任意的，恒成立；
4．（24-25高三下·湖北·月考）已知.
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，.
5．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
6．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围；
(3)当时，证明：．
7．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：，．
8．已知函数，．
(1)求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若且时，求证．
9．已知函数，m，．
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)当时，证明：，．
10．已知函数．
(1)当时，求曲线切线斜率的最小值；
(2)若有两个不同的极值点，．
（i）求a的取值范围；
（ii）求证：．
11．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：；
(3)若对于恒成立，求a的取值范围．
12．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)解方程，其中e为自然对数的底（…）；
(3)若a，b为均大于1的不等实数，满足，求证：．
13．（2025·河南·三模）已知函数，设的图象在处的切线为l：．
(1)若，证明：当时，；
(2)若有三个零点，，（）．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：．
14．已知函数，数列满足正整数
(1)求的最大值；
(2)求证：；
(3)求证：．
15．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 是 的一个极值点.
(1)求实数 的值.
(2)判断函数 在 上的零点个数，并加以证明.
(3)证明: . 其中

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，且与有相同的最小值．
（i）求a的值；
（ii）已知，，且，求证：．
2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数有三个极值点，其中.
(1)求的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：.
3．（2025·上海松江·二模）已知.
(1)若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：.
4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，且.
(1)求;
(2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有；
(3)证明：对任意的，均有.
5．英国数学家泰勒是18世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：函数的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为：，，为佩亚诺余项，在解决问题时可以忽略不计．
(1)若，利用泰勒展开式证明：；
(2)当时，证明：；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
6．已知函数．
(1)若函数在处的切线与直线垂直，求的值；
(2)若存在三个极值点，，，且，求证．
证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
1、对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
2、对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
3、对数化:令，得
指数化:令，得
1、常见不等式（大题使用需要证明）
①，，，
②，；；
③；；
④；
⑤；
⑥；；，
1、凸凹反转：欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明.
2、利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步
①利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件
②利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调
③若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件
对于含有三角函数型不等式证明：
1、证明思路和普通不等式一样。
2、充分利用正余弦的有界性
3、三角函数与函数的重要放缩公式：.
1、证明不等式，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即
这样一来，设，
则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立.
2、累加列项相消证明法
证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型
这样一来，设，
则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立.