高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题1培优点3导数中函数的构造问题(学生版+解析)

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导数问题中已知某个含f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题．
【典例】1 (1)f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________________．
【典例】2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x)恒成立，若x1f(x1)
B．f(x2)< f(x1)
C．f(x2)＝f(x1)
D．f(x2)与f(x1)的大小关系不确定
(2)已知定义在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))) B．f(1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))) D.eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))f′(x)，则以下判断正确的是( )
A．f(2 021)>e2 021f(0)
B．f(2 021)x2，则不等式(x＋2 020)2f(x＋2 020)－4f(－2)>0的解集为________．
培优点3 导数中函数的构造问题
【要点提炼】
导数问题中已知某个含f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题．
【典例】1 (1)f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，xf′(x)－2f(x)0时，F′(x)0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
【典例】2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x)恒成立，若x1f(x1)
B．f(x2)< f(x1)
C．f(x2)＝f(x1)
D．f(x2)与f(x1)的大小关系不确定
【答案】 A
【解析】 设g(x)＝eq \f(fx,ex)，
则g′(x)＝eq \f(f′xex－fxex,ex2)＝eq \f(f′x－fx,ex).
由题意得g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增，
当x1x2，则不等式(x＋2 020)2f(x＋2 020)－4f(－2)>0的解集为________．
【答案】 (－∞，－2 022)
【解析】 由2f(x)＋xf′(x)>x2，x