西师大版（2024）六年级上册（2024）圆的面积第3课时课后练习题

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本课核心问题
怎样把求圆的面积转化为我们已经会算的长方形面积？
一、学习目标
1. 理解圆面积与半径平方的关系，能通过割补转化推导出圆的面积公式S=πr²
2. 掌握已知半径、直径或周长求圆面积的计算方法
3. 能运用圆面积公式解决简单的实际问题和组合图形面积问题
二、重点
• 圆面积公式的推导过程：把圆等分拼接成近似长方形，长=½C，宽=r
• 圆面积公式S=πr²的正确应用
三、难点
• 理解割补转化中长方形的长为什么等于圆周长的一半
学习支架
圆的面积推导示意图
圆的面积公式
圆面积公式推导过程
圆与拼接长方形的对应关系
已知周长求圆面积的步骤
1. 由周长求半径：r = C ÷ π ÷ 2
2. 由半径求面积：S = π × r²
3. 写出答案，标注面积单位
四、知识要点
1. 圆面积与半径平方的关系
在正方形内画一个最大的圆，正方形的边长就是圆的半径r。正方形的面积是r×r=r²。通过数方格可以发现，1个r²是16格，圆大约占13格，也就是约占14个r²再多一些。由此估计，圆的面积比r²的3倍多一些，也就是比半径平方的3倍多一些。这个关系为我们推导圆的面积公式提供了重要的估算依据：圆的面积大约是半径平方的3倍多一些，而π≈3.14，正好比3多一些。
2. 圆面积公式的推导——割补转化法
将一个圆分成若干等份（如16等份、32等份等），然后把这些小扇形交错拼接起来。等分的份数越多，拼出的图形越接近于一个长方形。这个长方形与原来的圆之间有如下对应关系：• 长方形的长 = 圆周长的一半（即½C = πr）
• 长方形的宽 = 圆的半径（即r）
根据长方形面积 = 长 × 宽，可得：圆面积 = ½C × r = ½ × 2πr × r = πr²
这里用到了“化曲为直”的转化思想，把求圆的面积转化为求长方形的面积。理解这个推导过程的关键是：为什么长方形的长等于圆周长的一半？因为把圆等分后，每个小扇形的弧拼在一起构成了长方形的两条长边，总弧长正好是圆的周长C，所以每条长边是½C。
3. 圆的面积公式
如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式是：S = πr²
使用公式时需要注意：①先求半径的平方（r²），再乘π；②面积的单位是平方单位（如m²、cm²、dm²等）；③当已知直径时，先求半径r = d ÷ 2，再代入公式；④当已知周长时，先求半径r = C ÷ π ÷ 2，再代入公式。例如：半径为5cm的圆，面积 = 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5(cm²)。
4. 已知周长求圆的面积
在实际问题中，有时已知圆的周长，需要先求出半径，再求面积。步骤如下：第一步：根据C = 2πr，求出半径 r = C ÷ π ÷ 2
第二步：根据S = πr²，求出面积
例如：花坛周长12.56m，半径 r = 12.56 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2(m)
面积 S = 3.14 × 2² = 3.14 × 4 = 12.56(m²)
注意：不要把周长直接当作面积来算，一定要先求半径。
5. 组合图形面积——圆与正方形
有些实际问题涉及圆与其他图形的组合面积。例如：可折叠圆桌的桌面是圆形，折叠后变成正方形。折叠后减少的面积 = 圆面积 - 正方形面积。正方形可以看成两个相等的直角三角形，三角形的底就是圆的直径（d），高就是圆的半径（r）。正方形面积 = d × r ÷ 2 × 2 = d × r
解决这类问题的关键是分析图形各部分之间的关系，找到各部分面积的算法。折叠圆桌问题中，圆的直径正好是正方形的对角线，这是连接两个图形的桥梁。
6. 圆面积的实际应用
圆面积公式在生活中有广泛应用。例如：• 自动旋转喷水器的射程就是圆的半径，喷洒面积就是圆的面积；• 圆形水缸口的直径决定盖子的面积；• 挂钟分针旋转1小时扫过的面积，是以分针长为半径的圆面积；• 半圆形鸡舍的面积是圆面积的一半。解题时要根据题目条件确定半径或直径，再代入公式计算。注意区分半径和直径，以及面积单位和长度单位。
7. 圆环面积与综合应用
圆环是两个同心圆之间的区域。圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 = πR² - πr² = π(R² - r²)。其中R是外圆半径，r是内圆半径。在“外圆内方”问题中（正方形内接于圆），正方形的对角线等于圆的直径（2r），正方形面积 = 对角线² ÷ 2 = 2r²。在“外方内圆”问题中（圆内切于正方形），正方形的边长等于圆的直径（2r），正方形面积 = 边长² = 4r²。综合应用圆面积公式需要灵活运用图形之间的关系，关键是找到连接不同图形的桥梁量（如对角线、边长与直径的关系）。
五、典型例题
【例1】
东升文化广场榕树下的花坛周长是12.56 m。花坛的占地面积是多少平方米？
【解答】第一步：求半径
r = 12.56 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2
第二步：求面积
S = πr² = 3.14 × 2² = 3.14 × 4 = 12.56
答：花坛的占地面积是12.56 m²。
【点拨】已知周长求面积，关键是先求半径。注意半径的单位是m，面积的单位是m²，不能混淆长度单位和面积单位。
【例2】
一张可折叠的圆桌，桌面直径是1.2 m，折叠后变成一个正方形。折叠后的桌面面积比折叠前减少了多少平方米？（得数保留两位小数。）
【解答】圆的半径：1.2 ÷ 2 = 0.6
正方形面积：正方形可以看成两个直角三角形，底=直径1.2m，高=半径0.6m
正方形面积 = 1.2 × 0.6 ÷ 2 × 2 = 0.72
圆桌面积：S = 3.14 × 0.6² = 3.14 × 0.36 = 1.1304
减少的面积：1.1304 - 0.72 = 0.4104 ≈ 0.41
答：折叠后的桌面比折叠前减少了约0.41 m²。
【点拨】解决组合图形面积问题，要先分别求出各部分面积，再求差。正方形可以拆成两个直角三角形来计算，三角形的底就是圆的直径，高就是圆的半径。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 圆的面积公式是S =（________）×（________）。
2. 一个圆的半径是5 cm，它的面积是（________）cm²。
3. 一个圆的直径是6 cm，它的面积是（________）cm²。
4. 圆的面积比半径平方的3倍多一些。（ ）
5. 把圆等分拼成的长方形的长等于圆的周长。（ ）
6. 计算半径为3 dm的圆的面积。
7. 计算直径为8 cm的圆的面积。
8. 一个圆的周长是18.84 cm，它的半径是（________）cm，面积是（________）cm²。
9. 把圆等分成若干份拼成一个近似长方形，拼成的长方形的长是圆周长的（________），宽是圆的（________）。
★★ 能力提升
10. 关于圆面积公式S=πr²的推导，下列说法正确的是（________）。
A. 把圆等分后拼成的图形是正方形
B. 拼成的长方形的宽等于圆的直径
C. 拼成的长方形的长等于圆周长的一半
D. 把圆等分的份数越少，拼出的图形越接近长方形
11. 公园草地上的自动旋转喷水器的射程是8 m。它能喷洒的面积是多少平方米？
12. 王家村修了一个周长是157 m的圆形蓄水池。它的占地面积是多少平方米？
13. 一个圆形广场的半径是10 m，广场中央有一个边长为8 m的正方形喷水池。广场中除喷水池外的面积是多少平方米？
★★★ 拓展延伸
环形草坪示意图
14. 一座雕塑的基座是圆形，半径为15 m，在它的周围植上5 m宽的环形草坪。(1) 草坪的面积是多少平方米？(2) 如果植1 m²草坪的成本为20元，那么植这块草坪的成本至少是多少元？
外圆内方
外方内圆
15. 我国建筑中经常使用“外圆内方”和“外方内圆”的设计。两个圆的半径都是1 m。（边框宽度忽略不计。）
(1) 在外圆内方的设计中，圆和正方形之间部分的面积是多少平方米？(2) 在外方内圆的设计中，正方形和圆之间部分的面积是多少平方米？
参 考 答 案
第1题：π；r²
第2题：78.5
【解析】S = 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5(cm²)
第3题：28.26
【解析】r = 6 ÷ 2 = 3(cm)，S = 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26(cm²)
第4题：√
【解析】通过数方格估算，圆的面积比r²的3倍多一些，π≈3.14也比3多一些。
第5题：×
【解析】拼成的长方形的长等于圆周长的一半（½C），不是整个周长C。因为圆等分后弧拼接成长方形的两条长边，总弧长为C，每条长边为½C。
第6题：3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26
答：面积是28.26 dm²。
第7题：r = 8 ÷ 2 = 4
3.14 × 4² = 3.14 × 16 = 50.24
答：面积是50.24 cm²。
第8题：3；28.26
【解析】r = 18.84 ÷ 3.14 ÷ 2 = 3(cm)，S = 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26(cm²)
第9题：一半；半径
第10题：C
【解析】A错误，拼成的是近似长方形；B错误，宽等于半径r；C正确，长=½C；D错误，等分的份数越多越接近长方形。
第11题：3.14 × 8² = 3.14 × 64 = 200.96
答：它能喷洒的面积是200.96 m²。
【解析】射程就是圆的半径r=8m，直接代入面积公式计算。
第12题：半径：157 ÷ 3.14 ÷ 2 = 25
面积：3.14 × 25² = 3.14 × 625 = 1962.5
答：它的占地面积是1962.5 m²。
【解析】已知周长求面积，先由C=2πr求半径r=25m，再代入S=πr²求面积。
第13题：圆面积：3.14 × 10² = 3.14 × 100 = 314
正方形面积：8 × 8 = 64
剩余面积：314 - 64 = 250
答：广场中除喷水池外的面积是250 m²。
【解析】组合图形面积 = 圆面积 - 正方形面积。先分别求出圆面积和正方形面积，再求差。
第14题：(1) 外圆半径R = 15 + 5 = 20
内圆半径r = 15
草坪面积 = 3.14 × (20² - 15²) = 3.14 × (400 - 225) = 3.14 × 175 = 549.5
答：草坪的面积是549.5 m²。(2) 549.5 × 20 = 10990
答：植这块草坪的成本至少是10990元。
【解析】圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 = π(R² - r²)。先求出外圆半径（基座半径+草坪宽度），再计算圆环面积，最后乘以单价求总成本。
第15题：(1) 外圆内方：圆面积 = 3.14 × 1² = 3.14
正方形对角线 = 2 × 1 = 2
正方形面积 = 2² ÷ 2 = 2
圆与正方形之间的面积 = 3.14 - 2 = 1.14
答：圆和正方形之间部分的面积是1.14 m²。(2) 外方内圆：正方形边长 = 2 × 1 = 2
正方形面积 = 2 × 2 = 4
圆面积 = 3.14 × 1² = 3.14
正方形与圆之间的面积 = 4 - 3.14 = 0.86
答：正方形和圆之间部分的面积是0.86 m²。
【解析】外圆内方中，正方形对角线等于圆的直径，正方形面积 = 对角线² ÷ 2 = 2r²；外方内圆中，正方形边长等于圆的直径，正方形面积 = 边长² = 4r²。关键在于找到正方形与圆之间的桥梁量：对角线或边长与直径的关系。项目
长方形
圆
长
长
圆周长的一半（½C = πr）
宽
宽
半径（r）
面积
长 × 宽
½C × r = πr²