西师大版（2024）六年级上册（2024）圆的认识第1课时达标测试

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本课核心问题
圆有哪些基本要素？它们之间有什么关系？
一、学习目标
1. 认识圆，掌握圆心、半径、直径的概念，理解同一圆中直径与半径的关系 d=2r
2. 掌握用圆规画圆的方法，理解圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小
3. 初步认识扇形，了解弧和圆心角的概念，能识别扇形
二、重点
• 圆心、半径、直径的概念及 d=2r 的关系
• 圆的基本特征：同一圆中所有半径相等，所有直径相等
三、难点
• 理解直径必须同时满足“通过圆心”和“两端在圆上”两个条件
学习支架
圆心、半径与直径
扇形的认识
直径与半径的关系
圆的基本特征
用圆规画圆的步骤
1. 圆规两脚张开，距离等于半径
2. 针尖固定在一点（圆心）
3. 笔尖绕圆心旋转一周
四、知识要点
1. 圆的画法与圆规的使用
画圆的方法有多种：可以用圆形瓶盖描圆，可以用一根线和铅笔画圆，也可以用三角板上的圆孔画圆。最常用的方法是使用圆规画圆。用圆规画圆的步骤：第一步：圆规两脚张开，使两脚间的距离等于要画的圆的半径；第二步：针尖固定在一点（这个点就是圆心）；第三步：笔尖绕着这个点旋转一周，就画出了一个圆。注意：圆规两脚间的距离就是圆的半径，不是直径。要画一个半径为3 cm的圆，圆规两脚间应张开3 cm。
2. 圆心、半径与直径的概念
画圆时，固定的点叫做圆心，一般用字母O表示，这个圆记作“圆O”。圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是半径，一般用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，一般用字母d表示。注意：直径必须同时满足两个条件——（1）通过圆心；（2）两端都在圆上。两个条件缺一不可。只满足其中一个条件的线段不是直径。例如，过圆心但一端不在圆上的线段不是直径；两端在圆上但不过圆心的线段叫做弦，也不是直径。
3. 直径与半径的关系
在同一圆中，直径的长度等于半径的2倍，半径的长度等于直径的一半。用公式表示：d = 2r 或 r = d÷2
例如：半径是3 cm的圆，直径 d = 2×3 = 6 cm；直径是10 cm的圆，半径 r = 10÷2 = 5 cm。注意：d=2r 的关系只在同一个圆中成立。不同圆的半径和直径之间不能直接用这个关系比较。
4. 圆的特征
通过折一折、量一量、比一比，可以发现圆的重要特征：1. 圆的半径有无数条，直径也有无数条。从圆心出发，可以向圆上任意方向画线段，这些方向是无限多的，所以半径有无数条。2. 在同一圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。因为圆上任意一点到圆心的距离都相等，所以无论画哪条半径，长度都相同。3. 直径是圆中最长的线段（弦），任何不过圆心的弦都比直径短。4. 在同一圆中，直径等于半径的2倍：d = 2r。这些特征是圆区别于其他平面图形的重要性质。将圆剪下来对折，可以发现折痕就是直径，而且无论怎么对折，两侧都能完全重合。这说明圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴。
5. 圆的对称性
圆是轴对称图形。每条直径所在的直线都是圆的对称轴。因为圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴。圆是所有平面图形中对称轴最多的图形。将圆沿任意一条直径所在的直线对折，两侧图形完全重合，这说明圆具有完美的旋转对称性和轴对称性。与之前学过的图形对比：- 正方形有4条对称轴
- 长方形有2条对称轴
- 等腰三角形有1条对称轴
- 圆有无数条对称轴
这说明圆是最完美的对称图形。
6. 圆心确定位置，半径确定大小
圆心确定圆的位置：圆心在哪里，圆就在哪里。半径确定圆的大小：半径越大，圆越大；半径越小，圆越小。例如：圆心在同一点而半径不相等的圆，它们的大小不同但位置相同（同心圆）；圆心不在同一点而半径相等的圆，它们的位置不同但大小相同。这个原理在生活中有很多应用。比如车轮做成圆形并把轴安装在圆心位置，因为圆上任意一点到圆心的距离都相等，车轮滚动时轴心到地面的距离始终保持不变，车子才能平稳行驶。如果把轴装在非圆心位置，轴心会上下起伏，车子就会颠簸。
7. 扇形的初步认识
观察圆中由两条半径和圆上的一段曲线围成的涂色部分，这样的图形叫做扇形。扇形的组成要素：- 弧：圆上两点之间的曲线，是圆的一部分。如A、B两点之间的曲线就是一条弧。- 圆心角：顶点在圆心的角，如∠1。扇形由两条半径和一条弧围成。在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关：圆心角越大，扇形越大；圆心角越小，扇形越小。当圆心角为180°时，扇形就是半圆。
五、典型例题
【例1】
填表：根据 d=2r 的关系，完成下表。半径 r (cm)：3、（________）、2.5
直径 d (cm)：（________）、10、（________）
【解答】根据 d = 2r 或 r = d÷2：第一组：已知 r = 3 cm
d = 2r = 2 × 3 = 6 cm
第二组：已知 d = 10 cm
r = d ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 cm
第三组：已知 r = 2.5 cm
d = 2r = 2 × 2.5 = 5 cm
答案：半径 r (cm)：3、5、2.5
直径 d (cm)：6、10、5
【点拨】已知半径求直径用乘法（d=2r），已知直径求半径用除法（r=d÷2）。注意区分乘和除的方向。
【例2】
判断下面的说法是否正确，并说明理由。（1）通过圆心的线段是直径。（2）两端都在圆上的线段是直径。
【解答】（1）不正确。直径必须同时满足两个条件：①通过圆心；②两端都在圆上。通过圆心的线段如果两端不在圆上，就不是直径。例如：在圆O内画一条线段，虽然它过圆心，但两个端点都在圆内（没有到达圆上），那它就不是直径。只有当线段两个端点恰好都在圆周上时，这条过圆心的线段才叫直径。（2）不正确。两端都在圆上但不过圆心的线段叫做弦，不是直径。只有两端在圆上并且通过圆心的线段才是直径。例如：在圆O上任意取两个点A和B，连接AB。如果AB不经过圆心O，那么AB就是一条普通的弦，不是直径。只有当AB恰好经过圆心O时，AB才是直径。直径是特殊的弦，是圆中最长的弦。
【点拨】判断一条线段是否是直径，必须同时检查两个条件：过圆心 + 两端在圆上。两个条件缺一不可。
【例3】
一个圆的直径是 8 cm，它的半径是多少？如果另一个圆的半径是 8 cm，它的直径是多少？比较两个圆的大小。
【解答】第一个圆：d = 8 cm
r = d ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 cm
第二个圆：r = 8 cm
d = 2r = 2 × 8 = 16 cm
比较：第一个圆的半径是 4 cm，第二个圆的半径是 8 cm。因为 8 > 4，所以第二个圆比第一个圆大。注意：“一个圆的直径是 8”和“另一个圆的半径是 8”是完全不同的。前者 d = 8, r = 4；后者 r = 8, d = 16。读题时一定要分清已知的是半径还是直径。
【点拨】读题时注意区分已知条件给出的是半径还是直径，避免混淆。比较两个圆的大小时，比较它们的半径或直径即可。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 画圆时，固定的点是（________），一般用字母（________）表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做（________），一般用字母（________）表示。
2. 在同一圆里，所有的半径都（________），所有的直径都（________）。圆的半径有（________）条，直径有（________）条。
3. 圆的位置由（________）确定，圆的大小由（________）确定。
4. 圆是轴对称图形，（________）所在的直线都是圆的对称轴。圆有（________）条对称轴。
5. 顶点在（________）的角是圆心角。由两条（________）和圆上的一段曲线围成的图形叫做（________）。
6. 已知圆的半径 r = 3 cm，求直径 d。
7. 已知圆的直径 d = 10 cm，求半径 r。
8. 已知圆的半径 r = 2.5 cm，求直径 d。
9. 已知圆的直径 d = 7.6 cm，求半径 r。
10. 通过圆心的线段一定是直径。（ ）
11. 在同一圆中，直径的长度是半径的2倍。（ ）
12. 两端都在圆上的线段叫做直径。（ ）
13. 圆有无数条对称轴。（ ）
★★ 能力提升
14. 下列说法中，正确的是（________）。
A. 在同一圆中，所有半径都相等
B. 半径相等的两个圆，位置一定相同
C. 圆的对称轴只有一条
D. 用圆规画圆时，两脚间的距离等于直径
15. 关于扇形，下列说法正确的是（________）。
A. 扇形由两条直径和一段弧围成
B. 在同一圆中，圆心角越大，扇形越大
C. 圆心角的顶点在圆上
D. 半圆不是扇形
16. 车轮为什么要做成圆形？车轮的轴为什么要安装在圆心的位置？请说明理由。
17. 在一个长 8 cm、宽 6 cm 的长方形纸片内，画一个最大的圆。这个圆的半径是多少厘米？直径是多少厘米？
★★★ 拓展延伸
正方形内最大的圆
18. 如图，在一个边长为 6 cm 的正方形内有一个最大的圆。（1）这个圆的直径是多少 cm？（2）这个圆的半径是多少 cm？（3）正方形的面积是多少 cm²？
19. 用圆规画一个半径为 2 cm 的圆，标出圆心 O、半径 r 和直径 d。再在圆内画一个扇形，标出圆心角。
参 考 答 案
第1题：圆心；O；直径；d
第2题：相等；相等；无数；无数
第3题：圆心；半径
第4题：每条直径；无数
第5题：圆心；半径；扇形
第6题：因为 d = 2r，所以 d = 2 × 3 = 6 cm
第7题：因为 r = d ÷ 2，所以 r = 10 ÷ 2 = 5 cm
第8题：因为 d = 2r，所以 d = 2 × 2.5 = 5 cm
第9题：因为 r = d ÷ 2，所以 r = 7.6 ÷ 2 = 3.8 cm
第10题：×
【解析】直径必须同时满足两个条件：通过圆心且两端都在圆上。只通过圆心但两端不在圆上的线段不是直径。
第11题：√
第12题：×
【解析】两端都在圆上但不过圆心的线段叫做弦，不是直径。直径必须通过圆心。
第13题：√
第14题：A
【解析】A正确，同一圆中所有半径相等；B错误，半径相等只确定大小，不确定位置；C错误，圆有无数条对称轴；D错误，圆规两脚间的距离是半径不是直径。
第15题：B
【解析】A错误，扇形由两条半径和一段弧围成；B正确；C错误，圆心角的顶点在圆心；D错误，半圆也是扇形（圆心角为180°）。
第16题：因为圆上任意一点到圆心的距离都相等（等于半径），所以车轮做成圆形、轴安装在圆心位置时，车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，车子才能平稳行驶。如果做成其他形状（如正方形），轴心到地面的距离会不断变化，车子就会上下颠簸。
【解析】这是圆的特征在生活中的应用：同一圆中所有半径相等，使得圆在滚动时圆心高度不变。
第17题：长方形中最大的圆的直径等于长方形的宽。直径 d = 6 cm
因为 r = d ÷ 2，所以半径 r = 6 ÷ 2 = 3 cm
答：这个圆的半径是 3 cm，直径是 6 cm。
【解析】在长方形内画最大的圆，圆的直径不能超过长方形的宽，所以直径等于宽（6 cm），半径为 3 cm。
第18题：（1）正方形内最大的圆的直径等于正方形的边长。d = 6 cm
（2）因为 r = d ÷ 2，所以 r = 6 ÷ 2 = 3 cm
（3）正方形面积 = 6 × 6 = 36 cm²
【解析】本题综合运用直径与半径的关系（d=2r）和正方形面积公式。正方形内最大的圆，其直径等于正方形的边长。
第19题：（作图题，学生独立完成）
【解析】画圆步骤：圆规两脚张开 2 cm，针尖固定一点为圆心O，旋转一周画圆。在圆上取一点A，连接OA为半径r。过O画直径d（两端在圆上）。再取圆上另一点B，连接OB，∠AOB为圆心角，涂色部分为扇形。要素
概念
字母表示
数量
圆心
画圆时固定的点
O
1个
半径
圆上任意一点到圆心的距离
r
无数条
直径
通过圆心并且两端都在圆上的线段
d
无数条