数学探索规律第4课时课时训练

这是一份数学探索规律第4课时课时训练，文件包含西师大版小学数学六上第二单元测试卷原卷docx、西师大版小学数学六上第二单元测试卷解析卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
如何从圆组成图形的具体现象中发现对称轴条数、钢丝长度、铁链长度和面积关系的规律？
一、学习目标
1. 经历用两个圆组成图形并探索对称轴规律的过程，能正确判断两个圆组成图形的对称轴条数并说明理由。
2. 通过圆形钢管捆扎和铁环连链等实际情境，发现并概括钢丝长度和铁链长度的计算规律，能用规律解决相关问题。
3. 在探索正方形切圆废料规律和大圆小圆周长面积关系的过程中，体会从特殊到一般的数学思想。
二、重点
• 两个相同圆组成图形有2条对称轴，两个不同圆组成图形有1条对称轴
• 钢管捆扎钢丝总长 = 4(n-1)d + C，铁环链长度 = 8n + 2（cm）
三、难点
• 发现并概括不同情境中的数学规律，能从具体计算中抽象出一般公式
学习支架
两个相同的圆组成图形的对称轴
两个不同的圆组成图形的对称轴
钢管根数与钢丝长度的关系
铁环个数与铁链长度的关系
正方形中最大圆面积占正方形面积的比例
四、知识要点
1. 两个相同圆组成图形的对称轴
圆是轴对称图形，有无数条对称轴。当用两个大小相同的圆组成图形时，这个图形一定是轴对称图形，且有2条对称轴。第一条对称轴：连接两个圆的圆心，这条线段所在的直线（连心线）是组成图形的一条对称轴。因为两个圆相同，沿连心线对折，两个圆分别与自身重合。第二条对称轴：连接圆心的线段的垂直平分线也是组成图形的一条对称轴。因为两个圆大小相同，沿垂直平分线对折，两个圆互相交换位置后仍然完全重合。结论：两个相同的圆组成的图形都有2条对称轴。
2. 两个不同圆组成图形的对称轴
当两个圆的大小不同时，组成图形的对称轴条数会减少。连接两个圆的圆心，这条线段所在的直线仍然是对称轴。因为沿这条直线对折，每个圆都与自身重合，所以整个图形能重合。但是，连接圆心的线段的垂直平分线不再是对称轴了。因为两个圆大小不同，沿垂直平分线对折后，大圆和小圆不能互相重合。结论：两个不同的圆组成的图形只有1条对称轴，即连心线所在的直线。
3. 圆形钢管捆扎中钢丝长度的规律
用钢丝把同样的圆形钢管捆成横截面是近似正方形的形状，钢丝的长度分为直的部分和弯的部分。直的部分：每条边上钢管的根数为n时，每条边上有(n-1)条直径长。正方形有4条边，所以直的部分总长为4(n-1)条直径长，即4(n-1)d。弯的部分：4个角的弯曲部分合起来恰好是1个圆的周长，即C = πd。无论钢管根数多少，弯的部分始终是1个圆周长。因此，钢丝总长 = 4(n-1)d + C。具体规律：- 第1组（4根，每边2根）：4d + C
- 第2组（9根，每边3根）：8d + C
- 第3组（16根，每边4根）：12d + C
- 第4组（25根，每边5根）：16d + C
钢管总根数 = n²，钢丝总长 = 4(n-1)d + C。
4. 铁环连成铁链的长度变化规律
一个铁环的内直径为8 cm，外直径为10 cm。把铁环连成铁链时，每两个相邻铁环之间重叠的部分恰好是一个内直径的长度。1个铁环的长度 = 外直径 = 10 cm
2个铁环的长度 = 10 + 8 = 18 cm
3个铁环的长度 = 10 + 8 + 8 = 26 cm
4个铁环的长度 = 10 + 8×3 = 34 cm
规律：n个铁环连成的铁链长度 = 10 + 8×(n-1) = 8n + 2（cm）
即每增加1个铁环，铁链长度增加8 cm（一个内直径的长度）。
5. 正方形中切割圆的废料规律
从一块正方形钢板中切割出同样大小的圆，无论切割1个、4个还是9个最大圆，剩下的废料面积都相同。以边长12 dm的正方形为例（π取3）：- 切1个最大圆：圆直径=12 dm，半径=6 dm，圆面积=3×6²=108 dm²，废料=144-108=36 dm²
- 切4个最大圆：每个圆直径=6 dm，半径=3 dm，总面积=4×3×3²=108 dm²，废料=144-108=36 dm²
- 切9个最大圆：每个圆直径=4 dm，半径=2 dm，总面积=9×3×2²=108 dm²，废料=144-108=36 dm²
规律：正方形中所有最大圆的面积之和 = π×(边长/2)² ，与切割圆的个数无关。废料面积 = 正方形面积 - 圆面积之和，也保持不变。
6. 大圆半径等于小圆直径时周长和面积的关系
当大圆的半径等于小圆的直径时，设小圆半径为r，则大圆半径为2r。周长关系：- 两个小圆的周长之和 = 2 × 2πr = 4πr
- 大圆的周长 = 2π(2r) = 4πr
- 结论：两个小圆的周长之和等于大圆的周长。面积关系：- 两个小圆的面积之和 = 2 × πr² = 2πr²
- 大圆的面积 = π(2r)² = 4πr²
- 结论：两个小圆的面积之和等于大圆面积的一半。
五、典型例题
【例1】
用钢丝把同样的圆形钢管捆成横截面是近似正方形的形状，钢管直径d=0.3 m，π取3。第三组（16根钢管）和第四组（25根钢管）中，捆一圈的钢丝至少长多少米？
【解答】第三组（16根，每边4根）：直的部分 = 4×(4-1)×d = 12d = 12×0.3 = 3.6(m)
弯的部分 = C = πd = 3×0.3 = 0.9(m)
钢丝总长 = 3.6 + 0.9 = 4.5(m)
第四组（25根，每边5根）：直的部分 = 4×(5-1)×d = 16d = 16×0.3 = 4.8(m)
弯的部分 = C = πd = 3×0.3 = 0.9(m)
钢丝总长 = 4.8 + 0.9 = 5.7(m)
验证规律：钢丝总长 = 4(n-1)d + C
第三组：4×3×0.3 + 0.9 = 3.6 + 0.9 = 4.5(m) ✓
第四组：4×4×0.3 + 0.9 = 4.8 + 0.9 = 5.7(m) ✓
【点拨】计算钢丝长度时，关键是把直的部分和弯的部分分开计算。直的部分与每条边上的钢管根数有关，弯的部分始终是1个圆的周长。
【例2】
一个铁环内直径8 cm，外直径10 cm。把铁环连成铁链，6个铁环和10个铁环连成的铁链分别长多少厘米？
【解答】1个铁环长度 = 外直径 = 10 cm
每增加1个铁环，铁链增加1个内直径的长度 = 8 cm
6个铁环：铁链长度 = 10 + 8×(6-1) = 10 + 40 = 50(cm)
10个铁环：铁链长度 = 10 + 8×(10-1) = 10 + 72 = 82(cm)
一般规律：n个铁环连成的铁链长度 = 10 + 8×(n-1) = 8n + 2(cm)
【点拨】铁环连成铁链时，每增加一个铁环，新铁环的外直径与前一个铁环重叠了一个内直径的长度，所以铁链净增加一个内直径的长度。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 两个大小相同的圆组成的图形有（________）条对称轴。
2. 两个大小不同的圆组成的图形有（________）条对称轴。
3. 连接两个相同圆的圆心的线段所在的直线，一定是这两个圆组成图形的对称轴。（ ）
4. 用钢丝捆扎圆形钢管，每条边上钢管根数分别是2、3、4、…，每条边上直径条数分别是（________）、（________）、（________）、…。
5. 铁环内直径8 cm，外直径10 cm，把铁环连成铁链，每增加1个铁环，铁链长度增加（________）cm。
6. 正方形边长12 dm，从中切割出1个最大的圆（π取3），废料面积是（________）dm²。
7. 大圆的半径等于小圆的直径时，两个小圆的周长之和等于大圆的周长。（ ）
8. 正方形中最大圆的面积占正方形面积的（________）。（π取3）
★★ 能力提升
9. 用钢丝捆扎圆形钢管（d=0.4 m，π取3），第三组16根钢管捆一圈的钢丝长度是（________）。
A. 4.2 m B. 5.1 m
C. 6.0 m D. 6.9 m
10. 铁环内直径8 cm，外直径10 cm，把8个铁环连成铁链，铁链长多少厘米？
切割圆的废料对比表
11. 正方形边长12 dm，从中切割出4个同样大小的最大圆（π取3），废料面积是多少？与切割1个最大圆的废料面积比较，你发现了什么？
★★★ 拓展延伸
周长和面积关系探究表
12. 下图中大圆的半径等于小圆的直径。假设小圆半径为2 cm，求两个小圆周长之和与大圆周长的比值，以及两个小圆面积之和与大圆面积的比值。你能发现什么规律？
参 考 答 案
第1题：2
【解析】两个相同的圆组成的图形有2条对称轴：连心线所在的直线和连心线段的垂直平分线。
第2题：1
【解析】两个不同的圆组成的图形只有1条对称轴，即连心线所在的直线。垂直平分线不再是对称轴，因为两个圆大小不同，沿垂直平分线对折后不能重合。
第3题：√
【解析】连心线所在的直线是两个圆组成图形的对称轴，无论两个圆是否相同，这条直线都是对称轴。
第4题：1；2；3
【解析】每条边上直径条数 = 每条边上钢管根数 - 1。根数为2时直径条数为2-1=1，根数为3时为3-1=2，根数为4时为4-1=3。
第5题：8
【解析】每增加1个铁环，新铁环与前一铁环重叠一个内直径的长度，所以铁链净增加一个内直径的长度，即8 cm。
第6题：36
【解析】正方形面积 = 12×12 = 144 dm²，最大圆半径 = 12÷2 = 6 dm，圆面积 = 3×6² = 108 dm²，废料 = 144 - 108 = 36 dm²。
第7题：√
【解析】设小圆半径为r，大圆半径为2r。两个小圆周长之和 = 2×2πr = 4πr，大圆周长 = 2π×2r = 4πr，两者相等。
第8题：34
【解析】设正方形边长为a，最大圆半径为a/2。圆面积 = π×(a/2)² = πa²/4，正方形面积 = a²，比值 = π/4 = 34。
第9题：C
【解析】第三组16根，每边4根。钢丝总长 = 4×(4-1)×d + C = 12×0.4 + 3×0.4 = 4.8 + 1.2 = 6.0(m)。
第10题：8个铁环连成的铁链长度 = 10 + 8×(8-1) = 10 + 56 = 66(cm)
【解析】1个铁环长10 cm，每增加1个铁环增加8 cm。8个铁环的铁链长度 = 10 + 8×7 = 66 cm。也可以用公式8n+2 = 8×8+2 = 66 cm。
第11题：切4个最大圆：每个圆直径 = 12÷2 = 6 dm，半径 = 3 dm4个圆面积之和 = 4×3×3² = 4×3×9 = 108 dm²废料面积 = 12² - 108 = 144 - 108 = 36 dm²与切割1个最大圆的废料面积（36 dm²）相同。发现规律：无论切割1个、4个还是9个最大圆，废料面积都相等，都是36 dm²。这是因为所有最大圆的面积之和始终等于π×(122)² = 108 dm²。
【解析】切4个圆时，每个圆的直径是正方形边长的一半，4个圆面积之和 = 4×π×(a/4)² = πa²/4，与切1个最大圆的面积π×(a/2)² = πa²/4相等。所以废料面积不变。
第12题：小圆半径r = 2 cm，大圆半径R = 2r = 4 cm。周长：两个小圆周长之和 = 2×2πr = 2×2×3×2 = 24(cm)大圆周长 = 2πR = 2×3×4 = 24(cm)比值 = 24÷24 = 1面积：两个小圆面积之和 = 2×πr² = 2×3×2² = 24(cm²)大圆面积 = πR² = 3×4² = 48(cm²)比值 = 24÷48 = 12规律：大圆半径等于小圆直径时，两个小圆周长之和等于大圆周长（比值为1）；两个小圆面积之和等于大圆面积的一半（比值为12）。这个规律与小圆半径的具体数值无关，对任意半径都成立。
【解析】设小圆半径为r，大圆半径为2r。周长比 = 4πr ÷ 4πr = 1，面积比 = 2πr² ÷ 4πr² = 12。这说明结论具有一般性，不依赖于具体数值。钢管根数
每条边上根数
直的部分
弯的部分
钢丝总长
4
2
4条直径长
1个圆周长
4d+C
9
3
8条直径长
1个圆周长
8d+C
16
4
12条直径长
1个圆周长
12d+C
25
5
16条直径长
1个圆周长
16d+C
铁环个数
铁链长度
1
10 cm
2
18 cm
3
26 cm
4
34 cm
切割方式
圆的个数
每个圆半径
圆面积合计
废料面积
小圆半径r
大圆半径R=2r
两小圆周长之和
大圆周长
周长比值
两小圆面积之和
大圆面积
面积比值
1 cm
2 cm
4π cm
4π cm
1
2π cm²
4π cm²
12
2 cm
4 cm
8π cm
8π cm
1
8π cm²
16π cm²
12
4 cm
8 cm
16π cm
16π cm
1
32π cm²
64π cm²
12