小学数学西师大版（2024）五年级上册（2024）数学万花筒 泰勒斯与三角形内角和优秀第3课时课堂检测

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本课核心问题
为什么用6个同样的三角形拼在一起，就能证明任意三角形的内角和都是180°？
一、学习目标
1. 通过阅读泰勒斯的故事，了解三角形内角和定理的历史发现过程，感受数学文化
2. 理解用6个三角形拼成六边形推导内角和为180°的方法，体会等量代换的数学思想
二、重点
• 6个同样的三角形拼成六边形，顶角拼合形成周角360°
• 1周角=2平角，所以三角形内角和=360°÷2=180°
三、难点
• 理解6个顶角形成周角与1个三角形内角和之间的推理关系
学习支架
6个等边三角形拼成正六边形
四、知识要点
1. 泰勒斯的拼图法
古希腊哲学家泰勒斯在公元前6世纪发现了三角形内角和定理。他的方法：取6个完全相同的三角形，围绕一个中心点拼合，拼成一个六边形。此时6个三角形的顶角刚好拼合在一起，形成一个完整的周角（360°）。因为1个周角=2个平角，而6个三角形可以分成2组（每组3个三角形），每组的3个角之和就等于1个平角（180°），这恰好就是一个三角形的三个内角之和。所以：三角形内角和 = 360°÷2 = 180°
2. 周角与平角的关系
1周角 = 360° = 2个平角 = 2×180°
泰勒斯推导的关键：6个三角形顶角拼合形成周角360°，取其中一半（即3个角之和）就是三角形的内角和。360°÷2 = 180°
这里用到了等量代换的数学思想：把周角的一半与三角形的内角和建立等量关系。
3. 多种三角形验证
泰勒斯不仅用等边三角形验证，还用等腰三角形和不等边三角形进行了验证：1. 等边三角形：6个等边三角形拼成正六边形，每个顶角60°，6×60°=360°。2. 等腰三角形：6个同样的等腰三角形也能拼成六边形，每个顶点出现2次，取1次时内角和=360°÷2=180°。3. 不等边三角形：6个同样的不等边三角形同样可以拼出六边形，结论相同。这说明无论什么形状的三角形，内角和都是180°。
五、典型例题
【例1】
用6个同样的等边三角形拼成一个正六边形，6个三角形的顶角拼合在一起形成周角。请推导三角形内角和。
【解答】第1步：6个等边三角形的顶角拼合形成周角360°
第2步：每个等边三角形的顶角=360°÷6=60°
第3步：1周角=2平角，即360°=2×180°
第4步：6个三角形分成2组，每组3个角之和=360°÷2=180°
结论：三角形内角和=180°
【点拨】关键在于理解6个顶角之和等于周角，而一个三角形的内角和是周角的一半。
【例2】
如果用6个同样的不等边三角形来拼，能否也得出三角形内角和=180°的结论？为什么？
【解答】第1步：取6个完全相同的不等边三角形（每个三角形三个内角分别相等）
第2步：将6个三角形的同一个顶角的顶点拼合在中心，形成周角360°
第3步：因为6个三角形完全相同，每个顶角相等，6个顶角之和=360°
第4步：1周角=2平角，所以3个角之和（一个三角形的内角和）=360°÷2=180°
结论：不等边三角形也能用拼图法验证内角和=180°
【点拨】关键在于6个三角形完全相同，无论什么形状，顶角拼合都能形成周角。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 泰勒斯是（________）国的哲学家，他在公元前（________）世纪发现了三角形内角和定理。
2. 1周角=（________）°=（________）个平角。
3. 6个同样的三角形拼成六边形后，6个顶角拼合形成（________）角，三角形内角和=360°÷（________）=（________）°。
4. 泰勒斯只用等边三角形验证了三角形内角和。（ ）
5. 6个同样的不等边三角形也可以拼成六边形，推导出内角和=180°。（ ）
6. 泰勒斯拼图法推导内角和的关键依据是（________）。
A. 三角形有3个角
B. 1周角=2平角
C. 等边三角形每个角是60°
D. 六边形有6个角
★★ 能力提升
7. 为什么泰勒斯要用6个三角形来拼，而不是3个或4个？请从顶角拼合形成周角的角度解释。
8. 教材中说用等腰三角形拼图时每个顶点出现2次，这是什么意思？为什么最后仍然能得出内角和=180°？
★★★ 拓展延伸
9. 泰勒斯的拼图法和课堂上学过的撕拼法、折拼法有什么相同点和不同点？请写出你的想法。
10. 读完泰勒斯的故事后，你有什么想法或感悟？请写出不少于50字的感想。
参 考 答 案
第1题：古希腊；6
第2题：360；2
第3题：周；2；180
第4题：×
【解析】泰勒斯还用了等腰三角形和不等边三角形验证，结论都相同。
第5题：√
第6题：B
【解析】推导的核心是1周角=2平角，所以三角形内角和=360°÷2=180°。
第7题：6个三角形围绕中心拼合时，每两个相邻三角形的侧边重合，6个三角形刚好围一圈形成六边形，6个顶角之和=360°（周角）。而6÷2=3，正好对应一个三角形的3个内角。如果是3个三角形，虽然3×120°=360°也能形成周角，但120°不是一般三角形的顶角；4个三角形则4×90°=360°，90°也不是一般三角形的顶角。只有用6个同样的三角形，才能保证对任意三角形都适用。
【解析】6个三角形围绕中心拼合时，每两个相邻三角形的侧边重合，6个三角形刚好围一圈形成六边形，6个顶角之和=360°（周角）。而6÷2=3，正好对应一个三角形的3个内角。如果是3个三角形，虽然3×120°=360°也能形成周角，但120°不是一般三角形的顶角；4个三角形则4×90°=360°，90°也不是一般三角形的顶角。只有用6个同样的三角形，才能保证对任意三角形都适用。这是泰勒斯拼图法的核心原理。
第8题：等腰三角形拼图时，6个三角形围绕中心拼合，每个顶角的顶点在拼图中出现2次（即有2个三角形共用同一个顶角位置）。因为6个三角形完全相同，6个顶角拼合形成周角360°。当把每个顶点只算1次时，实际只有3个不同的顶角位置，对应一个三角形的3个内角，所以内角和=360°÷2=180°。
【解析】等腰三角形拼图时，6个三角形围绕中心拼合，每个顶角的顶点在拼图中出现2次（即有2个三角形共用同一个顶角位置）。因为6个三角形完全相同，6个顶角拼合形成周角360°。当把每个顶点只算1次时，实际只有3个不同的顶角位置，对应一个三角形的3个内角，所以内角和=360°÷2=180°。这是泰勒斯拼图法的核心原理。
第9题：相同点：都是把三角形的三个角拼在一起，形成平角180°，从而证明内角和是180°。不同点：撕拼法和折拼法是直接把一个三角形的三个角拼合，而泰勒斯的方法是用6个同样的三角形拼合，通过周角与平角的关系间接推导。泰勒斯的方法更巧妙，体现了等量代换的思想，也说明了这个结论对任意三角形都成立。
【解析】相同点：都是把三角形的三个角拼在一起，形成平角180°，从而证明内角和是180°。不同点：撕拼法和折拼法是直接把一个三角形的三个角拼合，而泰勒斯的方法是用6个同样的三角形拼合，通过周角与平角的关系间接推导。泰勒斯的方法更巧妙，体现了等量代换的思想，也说明了这个结论对任意三角形都成立。这体现了数学中归纳验证的思想。
第10题：（开放性题目，言之有理即可）参考：读完泰勒斯的故事，我感受到数学发现并不神秘。泰勒斯没有用复杂的公式，而是用简单的拼图操作就推导出了三角形内角和定理。这让我明白，数学来源于实践，善于观察和思考就能发现规律。泰勒斯用三种不同的三角形来验证同一个结论，这种严谨的态度值得学习。
【解析】（开放性题目，言之有理即可）参考：读完泰勒斯的故事，我感受到数学发现并不神秘。泰勒斯没有用复杂的公式，而是用简单的拼图操作就推导出了三角形内角和定理。这让我明白，数学来源于实践，善于观察和思考就能发现规律。泰勒斯用三种不同的三角形来验证同一个结论，这种严谨的态度值得学习。这体现了数学中归纳验证的思想。