小学数学西师大版（2024）四年级上册（2024）数学万花筒 莫比乌斯带精品课后测评

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本课核心问题
一张纸带扭转后粘合，会变成什么样的奇妙图形？
一、学习目标
1. 了解莫比乌斯带的基本特征：只有一个面和一条边
2. 能动手制作莫比乌斯带，并用画线方法验证其只有一个面
3. 了解莫比乌斯带原理在生活中的应用，感受数学的奇妙
二、重点
• 莫比乌斯带的制作方法
• 莫比乌斯带只有一个面和一条边
三、难点
• 理解莫比乌斯带只有一个面的特点
学习支架
普通圆环与莫比乌斯带对比
制作莫比乌斯带的步骤
1. 剪一条长方形纸带（长约30cm、宽约3cm）
2. 把纸带平放在桌上，左手固定左端
3. 右手拿住右端，向外扭转180度
4. 将扭转后的右端与左端对齐粘合
5. 检查：纸带应该形成一个扭转的环
四、知识要点
1. 认识莫比乌斯带
你见过灰色圆环和橙色圆环的玩具赛车轨道吗？灰色圆环的车只能在轨道内侧行驶，因为普通圆环有内面和外面两个面。而橙色圆环的车能够在内侧和外侧行驶，因为这个圆环只有一个面！这个只有一个面的奇特结构就是莫比乌斯带。它因德国数学家莫比乌斯在1858年发现而得名。莫比乌斯带与普通圆环最大的区别是：普通圆环有两个面（内面和外面），而莫比乌斯带只有一个面和一条边。
2. 制作和探索莫比乌斯带
制作方法：1. 剪一条长方形纸带（长约30cm，宽约3cm）。2. 固定纸带的一端，另一端扭转180度。3. 将扭转后的端与固定端粘在一起。验证只有一个面：用笔在纸带上任意一点开始画线，沿着纸带中间画下去，不抬笔。你会发现画线绕了一整圈后又回到了起点，而且整个纸带的表面都被画到了！这就是莫比乌斯带只有一个面的证明。如果在普通圆环上做同样的实验，画线只能画到一面（内面或外面），要画另一面必须翻过来。
3. 莫比乌斯带的生活应用
莫比乌斯带的原理被广泛应用于生产生活中的很多领域。例如：- 传送带：运用莫比乌斯带原理后，传送带的磨损更均匀，延长了使用寿命。- 打印机色带：同样利用莫比乌斯带原理，让色带两面都能使用。想一想：为什么莫比乌斯带能延长使用寿命？因为普通传送带只有一面接触，磨损集中在那一面；而莫比乌斯带只有一个面，整个表面都在接触，磨损更均匀，所以更耐用。生活中还有哪些地方运用了莫比乌斯带原理？可以课后继续探索！
五、典型例题
【例1】
活动：制作莫比乌斯带并验证它只有一个面。步骤：1. 剪一条长约30cm、宽约3cm的长方形纸带。2. 将纸带一端扭转180度后与另一端粘合。3. 用笔从纸带上任意一点开始，沿纸带中间画线，不抬笔，直到回到起点。记录：画线绕了几圈回到起点？画到了纸带的几个面？
【解答】制作完成后，用笔画线会绕一圈（约360度+180度扭转）回到起点。画线覆盖了整个纸带的表面，说明莫比乌斯带只有一个面。对比实验：用同样的方法在普通圆环（不扭转直接粘合）上画线，画线只能画到一面，需要翻过来才能画另一面。结论：普通圆环有两个面，莫比乌斯带只有一个面。
【点拨】画线时不要抬笔，沿着纸带中间慢慢画。如果画线覆盖了整个表面并回到起点，就验证了只有一个面。
【例2】
拓展活动：沿莫比乌斯带的中间线剪开，观察会变成什么？步骤：1. 用上面制作的莫比乌斯带。2. 沿纸带中间画一条线（刚才验证用的线）。3. 沿这条线把莫比乌斯带剪开。4. 观察剪开后的结果。
【解答】沿中间线剪开后，莫比乌斯带不会变成两个分开的环，而是变成一个更大的、扭转了两圈的环！这个结果非常出乎意料，说明莫比乌斯带有非常奇特的性质。可以继续探索：如果沿三分之一处剪开，又会变成什么？（变成一大一小两个环连在一起）
【点拨】这是莫比乌斯带最神奇的性质之一。剪之前先猜一猜会变成什么，再实际操作验证。
同 步 练 习
莫比乌斯带活动记录表
★ 基础巩固
1. 莫比乌斯带因德国数学家（________）在1858年发现而得名。
2. 莫比乌斯带只有（________）个面和（________）条边。
3. 普通圆环和莫比乌斯带一样，都只有一个面。（ ）
4. 制作莫比乌斯带时，需要将纸带的一端扭转（________）度后再粘合。
5. 传送带运用莫比乌斯带原理后，磨损更（________），延长了使用寿命。
6. 用笔在莫比乌斯带上画线，不抬笔就能画遍整个表面并回到起点。（ ）
★★ 能力提升
7. 下面关于莫比乌斯带的说法，不正确的是（________）。
A. 只有一个面
B. 只有一条边
C. 制作时需要扭转180度
D. 有内面和外面两个面
8. 小实验记录：分别制作一个普通圆环和一个莫比乌斯带，用笔从中间画线不抬笔。（1）普通圆环上的画线覆盖了几个面？（2）莫比乌斯带上的画线覆盖了几个面？（3）这说明什么？
9. 为什么传送带运用莫比乌斯带原理后能延长使用寿命？请用自己的话解释。
★★★ 拓展延伸
10. 拓展实验：沿莫比乌斯带的中间线剪开，结果变成了什么？再沿三分之一线剪开呢？记录你的发现并思考为什么。
11. 课后探索：生活中还有哪些地方运用了莫比乌斯带原理？请至少举出两个例子，并简单说明原理。
参 考 答 案
第1题：莫比乌斯
第2题：一；一
第3题：×
【解析】普通圆环有两个面（内面和外面），莫比乌斯带只有一个面。
第4题：180
第5题：均匀
第6题：√
【解析】这正是莫比乌斯带只有一个面的验证方法。
第7题：D
【解析】莫比乌斯带只有一个面和一条边，没有内面和外面的区别。D说的是普通圆环的特征。
第8题：（1）一个面；（2）整个表面（一个面）；（3）普通圆环有两个面，莫比乌斯带只有一个面。
【解析】（1）普通圆环上画线只能画到内面或外面中的一个，要画另一个面需要翻过来。（2）莫比乌斯带上画线能绕回起点并覆盖整个表面，说明只有一个面。（3）对比说明莫比乌斯带的独特性质：只有一个面。
第9题：普通传送带只有一面接触货物，磨损集中在那一面，容易损坏。莫比乌斯带只有一个面，整个表面都会接触，磨损更均匀，所以使用寿命更长。
【解析】关键在于莫比乌斯带只有一个面。普通传送带的两面轮流使用时，每面只承受一半的磨损；而莫比乌斯带只有一个面，整个表面均匀磨损，不会出现一面过度磨损的情况。
第10题：沿中间线剪开：变成一个更大的、扭转两圈的环。沿三分之一线剪开：变成一大一小两个环套在一起。
【解析】沿中间线剪开时，因为莫比乌斯带只有一个面，剪开的不是分成两半，而是展开成一个更大的环。沿三分之一线剪开时，由于面的连通性，会形成两个互相套住的环。这些奇妙的结果都源于莫比乌斯带只有一个面的独特性质。
第11题：示例：1.打印机色带——色带设计成莫比乌斯带形状，两面（实际是一个面）都能使用，延长使用寿命。2.游乐园中的过山车轨道——某些设计借鉴了莫比乌斯带的单面特性。3.艺术设计中常使用莫比乌斯带造型表达无限循环的概念。
【解析】莫比乌斯带的核心特征是只有一个面，这使得它在需要均匀磨损或表达无限循环的场景中有独特优势。鼓励学生课后继续观察和探索。普通圆环
莫比乌斯带
纸带两端直接粘合，不扭转。有内面和外面两个面。用笔画线只能画一面，要画另一面需要翻过来。
纸带一端扭转180度后再粘合。只有一个面。用笔从一点开始画线，能不抬笔地画遍整个表面并回到起点。
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