西师大版（2024）四年级上册（2024）第三单元 相交与平行优秀一课一练

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相交与垂直
一、教学目标
（1）使学生理解两条直线相交的含义，认识交点，掌握两条直线相交形成四个角的特征。
（2）使学生理解两条直线互相垂直的概念，知道垂线、垂足的概念，会用符号表示垂直关系。
（3）使学生掌握用三角尺上的直角判断两条直线是否垂直的方法，能在生活中识别垂直现象。
（4）通过折纸、画图等操作活动，培养学生的动手操作能力和空间观念。
二、教学重难点
1. 教学重点
认识两条直线相交和互相垂直的概念，能用三角尺正确判断两条直线是否垂直。
2. 教学难点
理解“垂线”和“垂足”的概念及其数学含义；能规范地画出垂线。
3. 教学关键
充分利用学生的生活经验（黑板框、书本、门框等），通过观察、操作、归纳，建立“垂直”的空间观念。
三、知识点讲解
知识点一：两条直线相交
1. 相交的概念
如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交。这个公共点叫做交点。
2. 相交成四个角
两条直线相交时，会形成4个角。这四个角两两相邻，四个角的和等于360°。如果其中一个角是90°，则另外三个角都是90°。
3. 图示说明
如图，两条直线AB和CD相交于点O，交点为O。∠1、∠2、∠3、∠4是四条射线OA、OB、OC、OD两两组成的角，共形成4个角。
知识点二：两条直线互相垂直
1. 垂直的定义
当两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直。其中一条直线是另一条的垂线，交点是垂足。
2. 垂直的几何特征
互相垂直的两条直线的夹角为90°（即直角）。四个角都是直角。
3. 垂直的表示方法
用符号“⊥”表示垂直。例如：直线a垂直于直线b，记作 a ⊥ b。
4. 垂线与垂足
（1）垂线：互相垂直的两条直线中，每一条都是另一条的垂线。
（2）垂足：两条垂线的交点叫做垂足。垂直是相互的，不能说“一条直线是垂线”，只能说“两条直线互相垂直”。
5. 图示说明
如图，直线a与直线b相交于点O，且∠1 = 90°，则直线a与直线b互相垂直，记作 a ⊥ b，点O为垂足。
知识点三：用三角尺判断垂直
1. 判断方法
用三角尺上的直角去检验：把三角尺的直角顶点放在交点处，让一条直角边与其中一条直线重合，观察另一条直角边是否也与另一条直线重合。完全重合则垂直，否则不垂直。
2. 课堂活动：折纸验证垂直
四、例题精讲
【例题1】判断正误
（1）两条直线相交，有且只有一个交点。 （ √ ）
（2）两条直线相交，一定互相垂直。 （ × ）
（3）两条直线相交成4个角，且这4个角都是直角。（ × ）
（4）互相垂直的两条直线，交点叫做垂足。 （ √ ）
答案解析
（1）√ 根据相交的定义，两条直线相交有且只有一个公共点，即交点。
（2）× 只有当两条直线相交成直角时，才叫互相垂直。普通的相交不一定是直角。
（3）× 两条直线相交可以形成任意角度的角，不一定是直角。
（4）√ 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
【例题2】已知∠1 = 90°，求∠2、∠3、∠4的度数。
解题过程
解：因为两条直线相交，∠1 = 90°，
又因为对顶角相等，所以∠3 = ∠1 = 90°。
邻补角互补，所以∠2 = 180° - 90° = 90°。
同理，∠4 = 180° - 90° = 90°。
答：∠2 = 90°，∠3 = 90°，∠4 = 90°。
【例题3】用三角尺判断两条直线是否垂直
请用三角尺判断图中两条直线是否垂直，并说明理由。
解题步骤
第1步：拿出三角尺，找到三角尺上的直角。
第2步：将三角尺的直角顶点与待判断的交点重合。
第3步：使三角尺的一条直角边与其中一条直线完全重合。
第4步：观察三角尺的另一条直角边是否也与另一条直线完全重合。
第5步：若完全重合，则这两条直线互相垂直；若不重合，则不垂直。
五、课堂练习
1. 判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）两条直线相交，一定能形成4个角。 （ ）
（2）两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直。 （ ）
（3）垂足是两条互相垂直的直线的交点。 （ ）
（4）可以用三角尺上的直角来判断两条直线是否垂直。 （ ）
（5）两条直线相交，其中一条是另一条的垂线。 （ ）
答案
（1）√ （2）√ （3）√ （4）√ （5）×
解析
（1）两条直线相交，有且仅有一个交点，必定形成4个角。
（2）相交成直角时，这两条直线互相垂直，这是垂直的定义。
（3）互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
（4）三角尺上的直角是90°，用它可以精确检验两条直线是否成直角。
（5）互相垂直是相互的关系，不能单独说“一条直线是垂线”。只能说“两条直线互相垂直”。
2. 填空题
（1）两条直线相交形成的公共点叫做________。
（2）两条直线相交成________角时，这两条直线叫做互相垂直。
（3）在垂直关系中，交点叫做________。
（4）用________上的直角可以判断两条直线是否垂直。
答案
（1）交点 （2）直 （3）垂足 （4）三角尺
3. 操作题
（1）用折纸的方法折出两条互相垂直的折痕，并验证。
（2）找一找：教室里有哪些互相垂直的线？
答案
（1）将一张长方形纸对折再对折，展开后折痕互相垂直。
（2）黑板的四条边、课本的相邻两边、门框的相邻两边、窗户的相邻两边等都互相垂直。
六、课后巩固练习
基础巩固
1. 下列各图中，哪两条直线互相垂直？（在下面写出）
2. 判断：两条直线相交，一定能形成4个角。（ ）
3. 已知直线a ⊥ b，垂足为O，则∠aOb = ________°。
答案
1. 直线a与直线b互相垂直（a ⊥ b）
2. √ 3. 90°
能力提升
4. 若∠1与∠2是对顶角，且∠1 = 50°，则∠2 = ________°，与∠1相邻的∠3 = ________°。
5. 挑战题：若两条直线相交，其中一个角是直角，则其他三个角的度数分别是多少？请说明理由。
答案
4. 50°，130°（对顶角相等，邻补角互补）
5. 其他三个角都是90°。理由：若一个角是90°，对顶角也是90°，邻补角为180°-90°=90°，所以四个角都是90°。
七、教学建议
1. 导入建议（5分钟）
课前收集生活中的垂直实例（门框、黑板、数学书等），上课时让学生观察这些物体中哪些线是“直直地交叉”，引出“相交”的概念，进而引入垂直。
2. 概念建构建议（10分钟）
（1）从两条直线相交的不同情况出发，先让学生观察相交形成的角的大小，引出“直角”这一特殊位置。
（2）给出“互相垂直”定义时，强调“互相”——垂直是两条直线之间的关系，不可单独说某一条是垂线。
（3）通过实物演示（三角尺、书本封面）加深对“直角”和“垂直”的认识。
3. 动手操作建议（10分钟）
（1）折纸活动：发给每位学生一张长方形纸，引导学生通过对折操作，自己发现折痕互相垂直的特性。
（2）画垂线：用三角尺画一条直线的垂线，强调三角尺的正确握法和画法。
4. 巩固练习建议（10分钟）
先做判断题，再做填空题，最后做开放性操作题，层层递进。操作题留到下节课继续深入。
5. 板书设计建议
板书左侧：两条直线相交 → 形成4个角，交点为O
板书右侧：a ⊥ b，垂足为O
板书下方：用三角尺的直角判断垂直
平行
一、教学目标
1. 知识与技能：理解平行线的概念，能说出“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”，会用符号“∥”表示平行关系。
2. 过程与方法：通过观察、操作（折纸、画方格纸）等活动，经历验证两条直线平行的过程，培养空间观念。
3. 情感态度：在探索平行线特征的过程中，感受数学与生活的联系，激发学习兴趣。
二、教学重难点
教学重点：理解平行线的定义，掌握判断两条直线平行的方法。
教学难点：理解“同一平面内”和“不相交”两个条件缺一不可；利用方格纸验证平行。
三、知识讲解
知识点1：平行线的定义
【定义】在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线。组成平行线的两条直线互相平行。
记作：a∥b，读作“a平行于b”或“a与b互相平行”。
关键理解：
① “同一平面内”——强调前提条件，不同平面的直线即使不相交也不是平行线。
② “不相交”——两条直线无论怎样延长都不会有交点。
③ 两个条件缺一不可！必须是“同一平面”且“不相交”。
【生活实例】
铁轨的两条轨道、窗户的上下边框、书本的对边等，都是平行线在生活中的应用。
知识点2：利用方格纸验证平行
方法：在方格纸上，如果两条直线都与同一条直线（如方格纸的横线或纵线）垂直，且距离相等，则这两条直线互相平行。
验证步骤：
① 观察两条直线是否都与方格纸的横线（或纵线）垂直。
② 数出两条直线之间相隔的格数，确认距离处处相等。
③ 两个条件都满足，则可以判断这两条直线互相平行。
知识点3：折纸验证平行
操作步骤：
1. 取一张长方形纸片，将纸片对折，压平后展开，得到一条折痕。
2. 在折痕的一侧，沿与折痕平行的方向画一条直线a。
3. 在折痕的另一侧，同样沿与折痕平行的方向画一条直线b。
4. 沿折痕将纸对折，观察直线a和直线b是否完全重合——若重合，则说明a∥b。
教学建议：折纸活动可以让学生直观感受“等距”的含义。引导学生思考：为什么折痕两侧的直线到折痕距离相等，就能说明平行？鼓励学生用自己的语言描述验证过程。
四、例题精讲
例题1：判断平行
判断下面各组中的两条直线是否平行，在括号里填“是”或“不是”。
【解题过程】
(1) 是。两条直线在同一平面内，方向相同，无论怎样延长都不会相交，所以是平行线。
(2) 不是。两条直线会相交于一点，所以不是平行线。
(3) 是。两条竖直方向的直线在同一平面内，距离处处相等，永远不会相交，所以是平行线。
【教学提示】引导学生用定义中的两个条件逐一验证：①是否同一平面？②是否不相交？
例题2：方格纸中判断平行
下面方格纸中，直线a和直线b是否平行？请说明理由。
【解题过程】
答：直线a和直线b平行。
理由：① 直线a和直线b都与方格纸的横线垂直（都沿竖直方向）；
② 数格子可知，直线a和直线b之间的距离为4格，处处相等；
结论：满足“同一平面”“不相交”两个条件，所以a∥b。
例题3：生活中的平行线
下面哪些图形中有平行线？请找出来。
【解题过程】
长方形：有2组平行线——上边∥下边，左边∥右边。
梯形：有1组平行线——上底∥下底。
三角形：没有平行线——三条边中任意两条都会相交。
五、课堂练习
练习1：判断题
判断下列说法是否正确，对的画“✓”，错的画“✗”。
1. 不相交的两条直线叫做平行线。（ ）
2. 在同一平面内，不相交的两条直线一定平行。（ ）
3. 两条平行线之间的距离处处相等。（ ）
4. 长方形相邻的两条边互相平行。（ ）
【参考答案】
1. ✗ 缺少“同一平面内”这个前提条件。不同平面的两条直线可能不相交但不平行。
2. ✓ 同时满足“同一平面内”和“不相交”两个条件，符合平行线的定义。
3. ✓ 平行线之间的距离是固定不变的，处处相等。
4. ✗ 长方形相邻的两条边互相垂直（成直角），对边才互相平行。
练习2：方格纸画平行线
在下面方格纸上，画一条与已知直线a平行的直线b，使它们之间相距3格。
【参考答案】
在直线a右侧第3格（或左侧第3格）的位置，沿竖直方向画一条直线b。数格子验证：a与b之间相隔3格，且都沿竖直方向，满足平行条件。
练习3：折纸操作
用一张长方形纸折出两组互相平行的直线，并写出你的折法和验证方法。
【参考答案】
折法：将长方形纸上下对折再对折（共折两次），展开后得到3条折痕。
验证：观察三条折痕都与纸的短边平行（方向相同），且相邻折痕之间的距离相等，说明这三条折痕互相平行，共有3组平行线。
六、课堂小结
本节课要点总结：
1. 同一平面内，不相交的两条直线 → 平行线（a∥b）
2. 两个必要条件：①同一平面 ②不相交（缺一不可）
3. 验证方法：方格纸数格子（等距+同方向）、折纸对折重合
4. 平行线之间距离处处相等
七、教学建议
• 导入环节：可让学生观察教室中哪些地方有平行线（如黑板上下边、课桌对边等），建立生活经验与数学概念的联系。
• 概念教学：重点强调“同一平面内”这一条件。可以通过立体模型（如教室墙角的两条线）帮助学生理解不同平面不相交≠平行。
• 操作活动：折纸环节建议让学生动手操作，在操作中体会“等距”的含义，再用自己的话描述验证过程。
• 分层练习：基础题面向全体，方格纸画平行线可让学有余力的学生尝试画斜方向的平行线。
• 易错提醒：注意区分“平行”和“垂直”——平行是方向相同不相交，垂直是相交成直角。长方形对边平行、邻边垂直。长方形
梯形
三角形