初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.1 平方差公式教学ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.1 平方差公式教学ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了你认为老张吃亏了吗，平方差公式，a2-b2，3x2-22，xy2-12，3x2-12，a+ba-b，乘法公式等内容，欢迎下载使用。
从前有一个狡猾的地主，他把一块边长 x 米的正方形的土地租给老张种植。有一天，他对老张说：“我把这块地的一边减少 5 米，另一边增加 5 米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 老张答应了。
(a+b)(a−b)=a2−b2.
问题2：你能用文字语言来描述平方差公式吗？
两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个数(式子)的平方差． (a+b) (a−b) a2−b2
追问1：公式左边的结构有什么特点？
1.左边：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数.（“一同一反”）2.右边：相同项的平方-相反项的平方（“同方减反方”）
追问2：公式右边的结构有什么特点？
平方差公式使用口诀：一同一反，同方减反方
追问3：我们用代数的方法验证了公式，你能用图形的面积来直观说明平方差公式吗？
用含 a，b 的式子表示变形前后阴影部分的面积
变形前阴影部分面积为：
变形后阴影部分面积为：
(a + b)(a − b)
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
计算下列多项式的积:(1)(x+1)(x-1);　　　　(2)(m+2)(m-2);　　　　　　 　(3)(2x+1)(2x-1).
(1)x2-1(2)m2-4(3)4x2-1
平方差公式及其结构特点等号左边:①两个二项式的积;②两个二项式中其中一组为相同项,另一组为相反项.等号右边:①二项式;②相同项的平方减去相反项的平方.
学校打算在操场边新建一块长方形的绿化带，原来计划的长是 15 米，宽是 10 米. 后来因为场地调整，长增加了 2 米，宽减少了 2 米，调整后的绿化带面积和原来相比，是变大了、变小了，还是没变呢？​
原来的面积是 15×10=150（米2），调整后的长是 17 米，宽是 8 米，面积是 17×8=136 （米2）.显然，面积变小了.
我们再换一组数据试试？如果原来的长是 20 米，宽是 15 米，长增加 3 米，宽减少 3 米，面积又会怎么变呢？
原来的面积是 20×15=300 （米2），调整后的面积是 23×12=276 （米2），面积还是变小了.
(3x+2)(3x-2)
(-x+2y)(-x-2y)
(3x-1)(1+3x)
(1+xy)(-1+xy)
判断三步：找相同→找相反→一同一反才能用
(-x)2-(2y)2
准确识别出公式中的a和b，算出a²-b²
追问4：公式中的a、b可以代表什么？
（1）（100+2）×（100-2）
（100+2）×（100-2）
(a+b) (a−b)=a2−b2
平方差公式:两个数的　　　　与这两个数的　　　　的积,等于这两个数的平方差. 即(a+b)(a-b)=　　　　. 
解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.(2)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.
(教材典题)运用平方差公式计算:(1)(3x+2)(3x-2);　　　　　(2)(-x+2y)(-x-2y). 
探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）(x+1)(x-1)=_____________；（2）(m+2)(m-2)=_____________； （3）(2m+1)(2m-1)=_____________；
问题1 等式的左边有什么特点？两个多项式是什么运算？
是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同(通常变形后放在第一项)，另一项互为相反数(通常变形后放在第二项).
探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）(x+1)(x-1)=_____________；（2）(m+2)(m-2)=_____________； （3）(2m+1)(2m-1)=_____________.
问题2 等式的右边有什么特点？
乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
追问5：公式中的a、b可以代表什么？
(1) (3x+2)( 3x−2 ) (2)（−x+2y)(−x−2y). (3)(-3a-2)(3a-2) (4)(-3a-2)(3a+2)
(1) (3x－5)(3x＋5) (2) (－2a－b)(b－2a) (3) (－7m＋8n)(－8n－7m)
追问6：公式中的a、b可以代表什么？
（1)若（a+b+1)(a+b-1)=63,则a+b=
(2)(a+b+c)(a-c+b)可以用平方差计算吗？
解:(1)(2x-3y)(-2x-3y)=(-3y+2x)(-3y-2x)=(-3y)2-(2x)2=9y2-4x2.
计算:(1)(2x-3y)(-2x-3y);　　　　　(2)(-7m+8n)(-8n-7m).
(2)(-7m+8n)(-8n-7m)=(-7m+8n)(-7m-8n)=(-7m)2-(8n)2=49m2-64n2.
(教材典题)计算:(1)(x-1)(x+1)(x2+1);　　　(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
解:(1)(x-1)(x+1)(x2+1)=(x2-1)(x2+1)=x4-1.
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.
所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即(a+b) (a-b)=a2-b2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫作（乘法的）平方差公式.
平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a，q=-b的特殊情形.
思考你能根据图中图形的面积，说明平方差公式吗？
=(a+b)(a-b)
(a-b) (a+b)=a2-b2.
计算：
(1) 原式＝(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) ＝(22－1)(22+1)(24+1)(28+1) ＝(24－1)(24+1)(28+1) ＝(28－1)(28+1) ＝(216－1)
送给大家礼物
(a+b)(－b+a)＝a2－b2
(－a+b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2
(2a+b)(2a－b)＝4a2－b2
(a2－b2)(a2+b2)＝a4－b4
(a+b+c)(a+b－c)＝(a+b)2－c2
[a+(b+c)][a－(b+c)]＝a2－(b+c)2
(a+b)(a－b)(a2+b2)＝(a2－b2)(a2+b2)＝a4－b4
(a+b)2－(a－b)2＝[(a+b)+(a－b)][(a+b)－(a－b)]
※平方差公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式。
抓本质，以不变应万变！
解:题图①中图形的面积可以看成边长为m的大正方形的面积减去边长为n的小正方形的面积,即m2-n2,题图②中图形的面积可以看成两条相邻边长分别为m+n和m-n的长方形的面积,即(m+n)(m-n).由于这两个图形的面积相等,因此有(m+n)(m-n)=m2-n2.
如何根据图16-3-1①②中图形的面积说明平方差公式?
从“数”和“形”两个方面推导平方差公式(1)“数”方面:可以用整式的乘法推导;(2)“形”方面:可以根据某个图形的形状变化前后的面积不变推导.
例1 计算：（1）(3x+2)(3x-2)； （2）(-x+2y)(-x-2y).　
解：（1）(3x+2)(3x-2) =(3x)2-22 =9x2-4.
（2）(-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2.
例2 计算： （1）(x-1)(x+1)(x2+1)； （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；
解：（1）(x-1)(x+1)(x2+1) =(x-1)(x+1)(x2+1) =(x2-1)(x2+1) =x4-1.
（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1.
多项式×多项式(a+b)(m+n)
平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2（同²−反²）
m=a , n=b？(a+b)(a+b)=？(a−b)(a−b)=？完全平方公式
在数学中，提出问题往往比解决问题更为重要！