初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十六章 整式的乘法16.3 乘法公式16.3.1 平方差公式课文配套课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十六章 整式的乘法16.3 乘法公式16.3.1 平方差公式课文配套课件ppt，共39页。PPT课件主要包含了＋5x，＋3x，＋15，＋8x，+an，+bm，+bn，面积变了吗，相等吗，平方差公式等内容，欢迎下载使用。
16.3.1 平方差公式教案一、教学目标（一）知识与技能目标学生能够透彻理解平方差公式的结构特征，熟练掌握公式的形式，准确用文字语言和符号语言表述公式。能够熟练且准确地运用平方差公式进行多项式乘法运算，快速计算符合公式形式的式子，包括底数为具体数字、字母、单项式以及多项式的情况。学会运用平方差公式对一些多项式进行简便运算和因式分解，提高运算的效率和准确性，增强对整式运算的综合应用能力。（二）过程与方法目标通过创设具体的数学问题情境和实例，引导学生自主探索、观察、分析多项式乘法运算中的规律，经历平方差公式的推导过程，培养学生从特殊到一般的归纳概括能力和逻辑推理能力。组织学生开展小组合作学习和讨论活动，共同探讨平方差公式的发现、推导和应用，促进学生之间的思想交流与碰撞，提高学生的合作交流能力和团队协作意识。通过对不同类型例题的讲解和练习，引导学生学会运用平方差公式解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及灵活运用数学知识的能力。鼓励学生尝试用多种方法推导平方差公式，拓展学生的思维方式，培养学生的创新思维和发散思维能力。（三）情感态度与价值观目标激发学生对数学运算规律的探索兴趣和求知欲，让学生在自主探究和发现平方差公式的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心和成就感。培养学生严谨认真的学习态度和科学的探究精神，使学生在公式的推导和应用过程中，注重逻辑的严密性和计算的准确性。让学生感受数学知识之间的内在联系和规律性，体会数学的简洁美和应用价值，提高学生学习数学的兴趣和积极性。培养学生的合作精神和竞争意识，在小组活动和课堂互动中，学会与他人合作交流，共同进步。二、学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多项式与多项式相乘的运算法则，具备了一定的整式乘法运算基础。然而，平方差公式作为一种特殊的多项式乘法形式，其结构特征较为抽象，学生在理解和运用公式时可能会遇到困难。部分学生可能难以准确识别式子是否符合平方差公式的结构，在应用公式进行计算时容易出现符号错误、项的对应错误等问题。同时，从一般的多项式乘法运算过渡到运用特定公式进行简便运算，在思维方式上对学生有一定挑战。因此，在教学过程中，要充分利用学生已有的知识经验，通过大量具体的实例，引导学生逐步发现和理解平方差公式的结构特征和运算规律，加强对公式应用的指导和练习，关注学生的个体差异，及时给予帮助和反馈，让学生顺利掌握平方差公式的运用。三、教学重难点（一）教学重点深刻理解平方差公式的结构特征，准确掌握公式\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)，能够熟练运用公式进行多项式乘法运算。学会运用平方差公式解决实际问题，包括进行简便运算和对符合条件的多项式进行因式分解，提高学生综合运用知识的能力。（二）教学难点理解平方差公式的推导过程，体会从特殊到一般的数学思想方法，培养学生的抽象思维能力。能够准确识别多项式乘法式子中哪些符合平方差公式的结构，灵活运用公式进行计算，避免出现符号错误和项的对应错误等问题。四、教学方法讲授法：通过清晰、准确的语言，向学生讲解平方差公式的概念、推导过程和应用方法，使学生对知识有系统的认识。重点讲解公式的结构特征和应用要点，强调容易出错的地方。探究法：创设问题情境，引导学生自主探索平方差公式的规律，让学生经历公式的推导过程，培养学生的探究能力和创新思维。讨论法：组织学生进行小组讨论，共同探讨平方差公式的应用技巧和解题思路，促进学生之间的思想交流和合作学习，培养学生的团队协作能力。练习法：设计有针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学的平方差公式，提高学生的运算能力和解题技巧，及时发现并解决学生存在的问题。五、教学过程（一）复习导入（5 分钟）回顾多项式与多项式相乘的运算法则：提问学生：“多项式与多项式相乘的法则是什么？” 请学生回答，教师进行补充和强调。引导学生回顾：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。计算下列式子：\((x + 2)(x - 2)\)\((1 + 3a)(1 - 3a)\)\((m + 5n)(m - 5n)\)请三位学生到黑板上板演，其他学生在练习本上完成，然后集体订正答案，为引出平方差公式做铺垫。（二）探索新知（15 分钟）观察与发现：引导学生观察上面计算的三个式子及其结果：\((x + 2)(x - 2) = x^2 - 4 = x^2 - 2^2\)\((1 + 3a)(1 - 3a) = 1 - 9a^2 = 1^2 - (3a)^2\)\((m + 5n)(m - 5n) = m^2 - 25n^2 = m^2 - (5n)^2\)提出问题：“观察这些式子的左边和右边，你能发现什么规律？” 让学生独立思考片刻后，进行小组讨论交流。推导公式：请小组代表发言，分享小组讨论的发现。教师根据学生的回答进行引导和总结。对于一般形式\((a + b)(a - b)\)，根据多项式与多项式相乘的法则展开：\((a + b)(a - b) = a×a - a×b + b×a - b×b\)化简可得：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)得出平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，用符号表示为\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) 。剖析公式结构：引导学生分析平方差公式的结构特征：公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。公式的右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。强调：公式中的\(a\)和\(b\)可以是具体的数，也可以是单项式或多项式；在使用公式时，要准确判断哪一项是相同项，哪一项是相反项。（三）例题讲解（15 分钟）例 1：运用平方差公式计算(1) \((3x + 2)(3x - 2)\)分析：在这个式子中，\(3x\)是相同项，\(2\)和\(-2\)是相反项，符合平方差公式的结构。解：\((3x + 2)(3x - 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4\)(2) \((-x + 2y)(-x - 2y)\)分析：这里\(-x\)是相同项，\(2y\)和\(-2y\)是相反项。解：\((-x + 2y)(-x - 2y) = (-x)^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2\)例 2：利用平方差公式进行简便运算(1) \(102×98\)分析：将\(102\)写成\((100 + 2)\)，\(98\)写成\((100 - 2)\)，就可以利用平方差公式进行简便计算。解：\(102×98 = (100 + 2)(100 - 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996\)(2) \(59.8×60.2\)分析：把\(59.8\)写成\((60 - 0.2)\)，\(60.2\)写成\((60 + 0.2)\)，再运用平方差公式。解：\(59.8×60.2 = (60 - 0.2)(60 + 0.2) = 60^2 - 0.2^2 = 3600 - 0.04 = 3599.96\)例 3：利用平方差公式分解因式(1) \(x^2 - 9\)分析：\(x^2 - 9\)可以写成\(x^2 - 3^2\)，符合平方差公式的逆用形式。解：\(x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)\)(2) \(16a^2 - 25b^2\)分析：\(16a^2 - 25b^2 = (4a)^2 - (5b)^2\)，可利用平方差公式分解。解：\(16a^2 - 25b^2 = (4a + 5b)(4a - 5b)\)（四）课堂练习（10 分钟）运用平方差公式计算：(1) \((2a + 3b)(2a - 3b)\)(2) \((-5x + y)(-5x - y)\)(3) \((m^2 + n)(m^2 - n)\)利用平方差公式进行简便运算：(1) \(101×99\)(2) \(49.9×50.1\)利用平方差公式分解因式：(1) \(4 - 25x^2\)(2) \(9m^2 - 16n^2\)教师巡视学生的练习情况，及时给予指导和帮助，选取部分学生的答案进行展示和点评，纠正学生出现的错误。（五）课堂小结（3 分钟）与学生一起回顾平方差公式\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)，强调公式的结构特征和应用要点。总结运用平方差公式进行计算和因式分解时需要注意的问题，如准确识别相同项和相反项，注意符号等。引导学生回顾平方差公式的推导过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。（六）作业布置（2 分钟）基础作业：教材课后练习题中关于平方差公式计算和应用的相关题目。拓展作业：计算\((a + b + c)(a + b - c)\)，思考如何通过变形运用平方差公式。已知\(x^2 - y^2 = 12\)，\(x + y = 4\)，求\(x - y\)的值。六、教学反思在教学过程中，要关注学生对平方差公式的理解和掌握程度。从复习导入到探索新知，要确保学生能够积极参与公式的推导过程，理解公式的来源和结构。在例题讲解和课堂练习环节，要及时发现学生存在的问题，如公式运用不熟练、符号错误等，针对性地进行指导和强化训练。通过作业反馈，了解学生对知识的掌握情况，对学习困难的学生进行个别辅导，调整教学策略，帮助学生更好地掌握平方差公式及其应用。同时，要引导学生学会总结归纳，提高学生自主学习和解决问题的能力。
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模型，感受数学公式的意义和作用．3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
同学们，我们来做一个数字游戏.请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这个数的和，接着乘100与这个数的差.(给学生半分钟思考、计算的时间)同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运数字是几，信吗?（请两位学生来试验）等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运数字.
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x＋5)
(a+b)(m+n)
①(x ＋ 1)( x–1)；②(m ＋ 2)( m–2)； ③(2m＋ 1)(2m–1)； ④(5y ＋ z)(5y–z).
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
这些计算结果有什么特点？
(a+b)(a−b)=
两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2
2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
(a+b)(a–b)=(a)2–(b)2
公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项 式或者多项式；2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另 一项互为相反数；3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
(a+b)(a– b)=
(–3+a)(–3–a)
(0.3x–1)(1+0.3x)
(1+a)(–1+a)
( 0.3x)2–12
口答下列各题： (1)(–a+b)(a+b)=_________. (2)(a–b)(b+a)= __________. (3)(–a–b)(–a+b)= ________. (4)(a–b)(–a–b)= _________.
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ； (2)(–x+2y)(–x–2y).
(2) 原式= (–x)2 – (2y)2
= x2 – 4y2.
解： (1)原式=(3x)2–22
易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.
利用平方差公式计算：(1)(3x–5)(3x＋5)； (2)(–2a–b)(b–2a)；(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．
解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25；
(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2；
(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；
例2 计算:(1) 102×98; (2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .
解: (1) 102×98
=10000 – 4
=(100＋2)(100–2)
= y2–4–y2–4y+5
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
= y2–22–(y2+4y–5)
= – 4y + 1.
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) .
解: (1) 原式=(50＋1)(50–1)
(2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)
= 9x2–16–6x2–5x+6
= 3x2–5x–10.
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)
原式＝5×12–5×22＝–15.
＝4x2–y2–4y2＋x2
先化简,再求值: (3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2.
解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1) =9–x2+2(x2–1) =9–x2+2x2–2 =7+x2 当x=2时， 原式=7+22 =7+4=11
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2–1–(9–n2)
∵(10n2–10)÷10=n2–1.
对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，
解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b ),把余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是( )A. a2–b2 = (a+b) (a–b)B. (a+b)2=a2+2ab+b2C. (a–b)2=a2–2ab+b2D. (a+2b)(a–b)=a2+ab–2b2
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( )
13. 在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作.他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案.如图，
其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24，那么阴影部分的面积是____.
两个数的 与这两个数的 ，等于这两个数的
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.
(a+b)(a–b)=a2–b2