初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.1 平方差公式教案设计

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教师备课 素材示例
●置疑导入 想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特征．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5×7＝？,6×6＝？)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9×11＝？,10×10＝？)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(49×51＝？,50×50＝？)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(99×101＝？,100×100＝？))
(2)从以上的过程中，你能寻找出什么规律？
(3)请你用字母表示你所发现的规律，并得出结论．
【教学与建议】教学：通过列举算式的简便运算，引起学生的学习兴趣．建议：引导学生体会特例、进行归纳、建立猜想，用符号表示并给出证明探索过程．
●归纳导入 自主探究：
计算下列多项式的积：
(1)(x＋1)(x－1)＝ x2－x＋x－1 ＝ x2－1 ；
(2)(m＋2)(m－2)＝ m2－2m＋2m－4 ＝ m2－4 ；
(3)(1＋5a)(1－5a)＝ 1－5a＋5a－25a2 ＝ 1－25a2 .
观察上述算式，你发现什么规律？计算出结果后，你又发现了什么规律？
上面三个算式每个因式都是 二项式 ；等式的左边是两数的 和 与两数的 差 的积，等式的右边是这两个数和的 平方差 .
【教学与建议】教学：以探索、归纳公式这一系列活动，加深学生的体验．建议：与小组同伴合作、讨论、交流，然后归纳证明结论．
· 命题角度1 直接应用平方差公式计算
运用(a＋b)(a－b)＝a2－b2直接计算．
【例1】计算(3x＋1)(1－3x)的结果正确的是(B)
A．9x2－1 B．1－9x2
C．－9x2＋9x－1 D．9x2－9x＋1
【例2】计算：（－ eq \f(1,2)m＋n）（－ eq \f(1,2)m－n）＝ eq \f(1,4)m2－n2 .
· 命题角度2 利用平方差公式进行简便计算
将其改写成两数和与两数差的积的形式，构成平方差公式结构．
【例3】计算：(1)99×101；(2)100 eq \f(1,5)×99 eq \f(4,5).
解：(1)原式＝(100－1)×(100＋1)＝1002－12＝9 999；
(2)原式＝（100＋ eq \f(1,5)）×（100－ eq \f(1,5)）＝1002－（ eq \f(1,5)）2＝10 000－ eq \f(1,25)＝9 999 eq \f(24,25).
· 命题角度3 添项后运用平方差公式
在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式构成平方差公式使计算简便．
【例4】计算：(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)；
解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)
＝216－1；
(2)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1.
解：原式＝ eq \f((3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－2,2)
＝ eq \f((32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－2,2)
＝ eq \f(316－3,2).
高效课堂 教学设计
1．理解平方差公式，并能灵活运用公式进行计算．
2．通过了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．
▲重点
平方差公式及其特征．
▲难点
平方差公式的运用．
◆活动1 新课导入
1．你能说一说多项式与多项式相乘的运算法则吗？
答：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．计算：
(1)(x＋1)(x＋3)＝ x2＋4x＋3 ；
(2)(x＋3)(x－3)＝ x2－9 ；
(3)(m＋n)(m－n)＝ m2－n2 .
◆活动2 探究新知
1．教材P112 探究．
提出问题：
(1)观察探究中的算式，它们有什么共同特征？
(2)计算算式，根据结果，你有什么发现？
(3)改变探究中的数字，你的发现还成立吗？
(4)用简洁的方式表示你的发现．
学生完成并交流展示．
2．观察图①和图②.
提出问题：
(1)你能说出图①中这个长方形的长和宽吗？你能表示出这个图形的面积吗？
(2)你能表示图②中这个多边形的面积吗？
(3)观察图①和图②，你能发现它们的面积有什么关系吗？
(4)通过上面的探索你能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差 ，用字母表示为(a＋b)(a－b)＝ a2－b2 .
2．能用平方差公式进行运算的式子的特征：
(1)二项式与 二项式 的积；
(2)有一项相同，另一项 互为相反数 .
◆活动4 例题与练习
例1 教材P112 例1.
例2 教材P113 例2.
例3 计算：
(1)10.1×9.9；(2)2 024×2 026－2 0252.
解：(1)原式＝(10＋0.1)(10－0.1)＝102－0.12＝99.99；
(2)原式＝(2 025－1)×(2 025＋1)－2 0252＝2 0252－1－2 0252＝－1.
例4 如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．
(1)设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
解：(1)S1＝a2－b2，S2＝ eq \f(1,2)(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)；
(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
练习
1．教材P113～114 练习第1，2，3题．
2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是(D)
A．(2a＋3b)(3a－2b) B．(a＋b)(－a－b)
C．(－m＋n)(m－n) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)m＋\f(1,6)n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)m＋\f(1,6)n))
3．在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是(C)
A．(2a＋b)(2a－b) B．(2a＋b)(b－2a)
C．(2a＋b)(－2a－b) D．(2a－b)(－2a－b)
4．计算0.1253×83＋202×198的结果为(C)
A．39 996 B．39 999
C．39 997 D．40 004
5．先化简，再求值：
(1)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2；
解：原式＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝－15；
(2)－4x(x2－2x－1)＋x(2x＋5)(2x－5)，其中x＝－1.
解：原式＝8x2－21x.当x＝－1时，原式＝29.
◆活动5 课堂小结
1．平方差公式及其特征．
2．平方差公式的运用．
1．作业布置
(1)教材P117 习题16.3第1题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思