初中数学北师大版（2024）九年级下册9 弧长及扇形的面积练习题

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倍速学习三种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.弧长公式（重点）
知识点2.扇形面积公式（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.已知弧长求半径或圆心角
题型2.用扇形面积公式解决旋转问题
题型3.计算阴影部分的面积
题型4.计算曲线长
题型5.规律探究题
题型6.圆的有关性质与扇形面积公式的综合应用
【方法三】成果评定法
【学习目标】
认识弧长与扇形的面积公式。
理解弧长与扇形面积公式的推导过程。
能利用弧长与扇形的面积公式进行计算。
【知识导图】
【倍速学习三种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.弧长公式（重点）
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
【例1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB＝3，求EC的长．
【解答】解：（1）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；
（2）连接OE，
∵⊙O的直径AB＝3，
∴OA＝1.5，
∵∠COE＝2∠CAE＝2×36°＝72°，
∴EC=72×π×1.5180=35π．
【变式】抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5cm，则图中弧CD的长为_______cm．（结果保留π）（ ）
A．53πB．56πC．253πD．256π
【解答】解：连接OC，OD，
∵AC、BD分别与⊙O相切于点C、D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
由四边形内角和为360°可得，
∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴CD=60×π×5180=53π，
故选：A．
知识点2.扇形面积公式（难点）
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【例2】半径为6的圆中，一个扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为（ ）
A．6πB．3πC．2πD．π
【解答】解：S=nπr2360=60π×62360=6π．
故选：A．
【变式】（2022春•长兴县月考）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积．
【解答】解：扇形AOB的弧长=120⋅π×6180=4π（cm）；
扇形AOB的扇形面积=120⋅π×62360=12π（cm2）．
【方法二】实例探索法
题型1.已知弧长求半径或圆心角
1．（2022•铁西区开学）如果一个扇形的半径是2，弧长是π2，则此扇形的图心角的度数为 ．
【解答】解：∵扇形的弧长是π2，半径为2，
∴π2=nπ×2180，
解得：n＝45．
故答案为：45°．
2．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）用圆心角为，半径为扇形做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面圆半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据扇形的弧长与圆锥底面圆的周长相等，即可．
【详解】设圆锥底面圆半径为，
∴底面圆的周长为：，
∵圆心角为，半径为扇形做成一个圆锥的侧面，
∴扇形的弧长为：，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查圆锥和扇形的相关计算，解题的关键是掌握圆锥展开图的弧长等于底面圆的周长，弧长公式：．
题型2.用扇形面积公式解决旋转问题
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转．点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据旋转的性质得，，再利用面积的和差得到，即有，然后根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵，半圆绕点B顺时针旋转．点A旋转到的位置，
∴，，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，则，正确掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．
题型3.计算阴影部分的面积
4．（2022春•渝北区月考）等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝2，以点O为圆心，OA为半径作扇形AOB，则图中阴影部分的面积为（ ）（结果保留π）
A．4π﹣2B．πC．π﹣2D．2
【解答】解：S阴影部分＝S扇形AOB﹣S△AOB
=90π×22360-12×2×2
＝π﹣2，
故选：C．
5．（2022•海曙区校级开学）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2．以点A为圆心，AB为半径作BD，向菱形内部作BC，使BC=BD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π332B．33-4π3C．23-2π3D．3-π3
【解答】解：如图所示：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝2，
∴S阴影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC＝2×32×2-60π×22360-（60π×22360-32×2）=33-4π3．
故选：B．
6．（2022•九龙坡区模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AB，以点B为圆心，以OB的长为半径作弧，交弧AB于点C，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：如图，连接OC、BC，则△OBC是等边三角形，
∴S阴影部分＝S凸△OBC﹣S扇形OBD
＝2S扇形OBC﹣S△OBC﹣S扇形OBD
＝2×60π×22360-12×2×3-45π×22360
=5π-636，
故答案为：5π-636．
7．（2022•虎丘区校级模拟）如图，等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2．分别以点 B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点 D、E、F，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴AB=AC=2，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×2×2=1，
∵∠A+∠C＝90°，BE＝CE=12BC=1，
∴S扇=nπr2360=90π×12360=π4，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇＝1-π4．
题型4.计算曲线长
8．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为的等边三角形的面积为，即可求解．
【详解】解：设等边三角形ABC的边长为r，
解得，即正三角形的边长为2，
此曲边三角形的面积为
故选A
【点睛】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长．
题型5.规律探究题
9．（2023秋•南岗区期末）（1）问题初探，如图1，在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想．
小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并测量出这个长方形的长是9.42厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？取
（2）类比分析，生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱的立体图形（如图，它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱的高．小明在学习了圆的面积后，也想用类似的方法研究圆柱的体积，他将一个圆柱等分成若干份，拼成了一个近似的长方体（如图，他发现把圆柱等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱的体积，故由长方体的体积推导出圆柱的体积．
小明将一个半径为3分米，高为8分米的圆柱等分成若干份拼成一个近似的长方体，长方体表面积比圆柱表面积增加多少平方分米？
（3）学以致用，如图3，清雪车的前端装有滚筒，在滚筒上装有致密的刷毛，使得滚筒成为一把可以旋转的大扫帚，利用刷毛将粘结在路面上的积雪卷起，以达到除雪的目的．清雪车前端的滚筒是一个圆柱，滚筒体积为1.57立方米，滚筒横截面半径是0.5米，如果滚筒每分钟转5周．如果这次清雪要完成32970平方米的清雪任务，5辆相同的清雪车同时工作，需要多少小时完成？取
【分析】（1）根据圆的周长的一半除以得到圆的半径，利用圆的面积公式计算即可求出这个圆的面积；
（2）计算出长方体与圆柱的表面积，相减即可得到结果；
（3）由圆柱的体积除以底面圆的面积确定出圆柱的高，进而求出每辆清雪车每小时的清雪面积，用总面积除以每辆清雪车每小时的清雪面积求出时间即可．
【解答】解：（1）根据题意得：（厘米），
（平方厘米），
答：这个圆的面积是28.26平方厘米；
（2）根据题意得：
（平方分米），
答：长方体表面积比圆柱表面积增加48平方分米；
（3）（米，
（小时），
答：需要3.5小时完成．
【点评】此题考查了扇形的面积，几何体的表面积，弄清题意是解本题的关键．
10．（2023秋•灌云县期中）【问题提出】：比较代数式与的大小．
【问题探究】：要比较代数式与的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；若，则，反之亦然．
【问题解决】：
（1）如图，有、两种型号的钢板，型钢板的面积比型钢板大，制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块型钢板，8块型钢板；方案2：用3块型钢板，9块型钢板．从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由；
（2）有、两块长方形菜地，菜地的长为米，宽为米，菜地的长为米，宽为米，试比较两块长方形菜地周长的大小；
（3）如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆弧．以为圆心，为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为、，请你比较与的大小．
【分析】（1）设，两种型号的钢板的面积分别是，，由题意，表示出两种方案的材料，再作差比较即可判断；
（2）表示出、长方形菜地的周长分别为：，，进行作差，得到，然后再进行分类讨论即可；
（3）分别求出，，，再根据即可进行求解．
【解答】解：（1）设，两种型号的钢板的面积分别是，，
由题意，
根据方案1：用4块型钢板，8块型钢板；
则，
根据方案2：用3块型钢板，9块型钢板；
则，
，
方案2更加省料，应选方案2；
（2）根据题意得出、长方形菜地的周长分别为：，，
，
若，则，的周长大；
若，则，，的周长一样大；
若，则，的周长大；
（3）如图：
，，，
根据图形可知：，
，
，
．
【点评】本题考查了列代数式、整式的加减运算，扇形的面积，解题的关键是根据题意表示出相应的周长或面积，再利用分类讨论的思想进行求解．
题型6.圆的有关性质与扇形面积公式的综合应用
11．（2022春·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，在中，以为直径的交于点D，与的延长线交于点E，的切线与垂直，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)π
【分析】（1）连接，根据是的切线，可得，即可得，则有，根据，可得，问题得解；
（2）根据，，可得，问题随之得解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，求解圆弧的长度以及平行线的性质等知识，掌握切线的性质是解答本题的关键．
【方法三】 成果评定法
一．选择题（共6小题）
1．（2023•五华区校级四模）如图，，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是
A．B．C．D．
【分析】连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可．
【解答】解：如图，连接、．
，是以为直径的半圆周的三等分点，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积，难度一般．
2．（2023•崆峒区校级三模）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：
A．B．C．D．
【分析】根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：图中的管道中心线的长为，
故选：．
【点评】本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，圆心角为，半径为的弧的长度是．
3．（2023•晋安区校级模拟）已知圆的半径为6，的圆心角所对的弧长是
A．B．C．D．
【分析】根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：半径为6，圆心角为所对的弧长为．
故选：．
【点评】本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：圆心角为，半径为的扇形的弧长为．
4．（2023秋•长春期末）如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面．具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、、、，得到两个扇形，并裁剪下来．若的半径为，则剩余纸板（图中阴影部分图形）的面积为
A．B．C．D．
【分析】连接，，将图中阴影部分面积拼补为扇形与扇形面积之和，进一步利用扇形的面积公式从而求出阴影部分的面积，即可求解．
【解答】解：连接，，
，的面积与弓形，的面积相等，弓形，的面积与弓形，的面积相等，
图中阴影部分的面积，
，
、是正三角形，
阴影部分的面积．
故选：．
【点评】本题考查扇形的面积；通过拼补将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．
5．（2023•包头模拟）如图所示，边长为1的正方形网格中，，，，，是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【分析】根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可．
【解答】解：，，
，
同理，，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积
，
故选：．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
6．（2023•广元）如图，半径为5的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为
A．B．C．D．
【分析】先连接，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形的面积，然后代入数据计算即可．
【解答】解：连接，如图所示，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，和全等，
，
故选：．
【点评】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共6小题）
7．（2023秋•平湖市期末）如图，正△ABC的边长是3，分别以三个顶点为圆心，3为半径作弧，则图中由三条弧所围成的几何图形的面积是 π﹣ ．
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝3，求出BD＝CD＝，AD＝，根据图形得出图中由三条弧所围成的几何图形的面积＝3S扇形ABC﹣2S△ABC，再求出答案即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵正△ABC的边长是3，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝3，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1cm，
∴AD＝＝＝，
∴△ABC的面积＝BC•AD＝×3×＝，
∴图中由三条弧所围成的几何图形的面积是3（S扇形ABC﹣S△ABC）+S△ABC＝3S扇形ABC﹣2S△ABC＝3×﹣2×＝π﹣，
故答案为：π﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积计算和等边三角形的性质，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
8．（2023春•北碚区校级期中）如图．在边长为2的正方形中，对角线、交于点，分别以点、、、为圆心，为半径画弧，弧分别与边、、、交于点、、、，则阴影部分的面积为 ．
【分析】根据正方形的性质得到相应条件，利用勾股定理求出，再利用计算结果即可．
【解答】解：在正方形中，
，，，
，
阴影部分的面积为：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形的面积，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是找出阴影部分面积的计算方法．
9．（2023•吉林）如图①，，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点是圆心，半径为，点，是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留
【分析】由弧长公式：是弧长，是扇形圆心角的度数，是扇形的半径长），由此即可计算．
【解答】解：，半径为，
的长．
故答案为：．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
10．（2023•四平模拟）如图，扇形的圆心角为，，过点作于点，以为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形面积求即可．
【解答】解：在中，，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．
11．（2023•渝中区校级模拟）如图，已知等边中，，以的中点为圆心，为半径画弧，分别与、交于点、点，再以点为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据等边三角形的性质可得出，，可得，进而得出，求出弓形的面积即可．
【解答】解：如图，连接、、，
是等边三角形，
，
又，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积、等边三角形面积的计算方法是正确解答的前提．
12．（2023•永城市一模）如图，为半圆的直径，且，点为半圆上一点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】过点作于点，连接，由，得，又，得，则，故，，代入即可求得．
【解答】解：过点作于点，连接，如解图所示，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形中阴影部分的面积，解题的关键在于熟练运用转化思想，把不规则的图形转化成规则的图形来计算．
三．解答题（共8小题）
13．（2023•蕉城区校级三模）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）若，，求劣弧的长．
【分析】（1）如图，连接，利用圆周角定理推知是等腰的垂线，结合等腰三角形的性质证得结论；
（2）如图，连接，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角的度数，然后利用弧长公式进行解答．
【解答】（1）证明：如图，连接．
是圆的直径，
，
即．
又，
是边上的中线，
；
（2）解：，
．
又，，
，
的长为：．
【点评】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质．通过作辅助线，利用圆周角定理（或圆半径相等）的性质求得相关角的度数是解题的难点．
14．（2023秋•涟水县期中）如图，在中，，，，将绕逆时针方向旋转得到，点经过的路径为弧，求图中阴影部分的面积．
【分析】由旋转的性质可得，，可得，，根据图形可得，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积．
【解答】解：将绕逆时针方向旋转得到，
，，
，，
，
．
【点评】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等．
15．（2023•永修县三模）如图，已知是的直径，点是弧上的一点，于，点是弧的中点，交于点，交于点．
（1）判断的形状，并证明；
（2）若，．
①求的长；
②求阴影部分的面积．
【分析】（1）结合已知条件，利用圆周角定理及等角的余角相等易证得，再利用对顶角相等及等角对等边即可证得结论；
（2）①结合（1）中所求及已知条件，利用直角三角形性质易得，然后利用三角函数求得的长度，从而得出的长度；
②连接，利用等边三角形的判定及性质求得的度数及的长度，然后利用勾股定理求得的长度，最后利用扇形的面积减去的面积进行计算即可．
【解答】（1）是等腰三角形，证明过程如下：
证明：是的直径，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：①，
，
，
，
，
，
；
②如图，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
【点评】本题考查圆与三角形性质的综合应用，圆的相关性质，三角函数，等边三角形的判定及性质，三角函数都是重要知识点，必须熟练掌握并应用．
16．（2023•蚌山区三模）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．
（1）证明：；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接，由旋转知，，所以，，根据圆周角定理得，所以，，即，即可得出结论；
（2）根据（1）可推出是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．
【解答】（1）证明：连接，
由旋转知，，
，，
是的直径，
，
，
，
，
；
（2）解：，
为等腰直角三角形，
，
，
．
【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，圆周角定理，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
17．（2023春•武夷山市校级月考）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）如图，连接，利用圆周角定理推知是等腰等边上的高线，结合等腰三角形的性质证得结论；
（2）如图，连接，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角的度数，然后利用弧长公式进行解答．
【解答】（1）证明：如图，连接．
是圆的直径，
，即．
又，
是边上的中线，
；
（2）解：连接，
，
．
又，，
，
，
的长为：．
【点评】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质．通过作辅助线，利用圆周角定理（或圆半径相等）的性质求得相关角的度数是解题的难点．
18．（2023•平湖市一模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，，，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点．
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，由平行线的判定即可得到结论；
（2）连接，先根据圆周角定理可得，根据含角的性质得，根据勾股定理得的长，计算的面积，由三角形中线的性质可得的面积，最后由扇形和三角形的面积公式即可得到答案．
【解答】（1）证明：是的直径，
，
点是的中点，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
在中，，，
，，，
，
阴影部分的面积．
【点评】本题考查了扇形的面积，平行线的判定，勾股定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．（2023春•城西区校级月考）如图，是的直径，点是上一点，点是弧的中点，连接、、、交于点．
（1）若，求的大小；
（2）若，，求的弧长．
【分析】（1）先根据求出的度数，进而可得出的度数，由点是弧的中点求出的度数，由弧与圆周角的关系即可得出结论；
（2）连接，根据圆周角定理可得出，由得出，进一步得出，根据含的直角三角形的性质即可得出直径为20，然后利用弧长公式求得即可．
【解答】解：（1），
的度数为：，
的度数为：．
点是弧的中点，
的度数为：，
；
（2）连接，
是的直径，
，
，
，
，
在中，，，
，
的弧长．
【点评】本题考查的是弧长的计算，圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
20．（2023•靖江市模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．（画图过程用虚线，画图结果用实线）．
（1）仅用无刻度的直尺，在上找三点、、（逆时针方向），使得四边形为菱形；
（2）设每个小正方形的边长为1，直接写出扇形的面积．
【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线交点为对称中心可作出的垂直平分线，则可作出菱形；
（2）可证是等边三角形，则可得圆心角的度数，即可得出扇形的面积．
【解答】解：（1）如图，在点的下边3格找格点，在的左方和右方分别找格点矩形和格点矩形，通过连接格点正方形的对角线即可得到其中心点，连接格点矩形的对角线即可得到其中心点，通过点，作直线，即可判断出的线段的垂直平分线，直线交于点，，依次连接，，，，则四边形是菱形．
（2）垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
扇形的面积为．
【点评】此题主要是考查了菱形的性质及判定，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，扇形面积的求法，能够画出菱形是关键．