初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）21.4 二次函数的应用导学案

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）21.4 二次函数的应用导学案，文件包含第十三章三角形-2026-2027学年八年级数学上册考点解惑基础•中等•优质题型过关专练人教版新教材原卷版docx、第十三章三角形-2026-2027学年八年级数学上册考点解惑基础•中等•优质题型过关专练人教版新教材解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。

题型归纳
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc15081" 【题型1 投球问题】 PAGEREF _Tc15081 \h 2
\l "_Tc3148" 【题型2 拱桥问题】 PAGEREF _Tc3148 \h 8
\l "_Tc19885" 【题型3 拱门问题】 PAGEREF _Tc19885 \h 15
\l "_Tc10390" 【题型4 喷水问题】 PAGEREF _Tc10390 \h 21
\l "_Tc15274" 【题型5 隧道问题】 PAGEREF _Tc15274 \h 26
\l "_Tc21558" 【题型6 跳跃问题】 PAGEREF _Tc21558 \h 32
\l "_Tc7595" 【题型7 销售问题】 PAGEREF _Tc7595 \h 39
\l "_Tc11950" 【题型8 几何图形问题】 PAGEREF _Tc11950 \h 43
\l "_Tc32623" 【题型9 表格问题】 PAGEREF _Tc32623 \h 47
\l "_Tc24065" 【题型10 新情境问题】 PAGEREF _Tc24065 \h 55
\l "_Tc31549" 【题型11 实物抽象出二次函数模型】 PAGEREF _Tc31549 \h 62
考点1
实际问题与二次函数
知识点 利用二次函数解决实际问题
1. 一般步骤
(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证
结果是否符合实际．
2. 求二次函数最值
将解析式写成y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的形式，当x=h时，y有最大（小）值k；若对二次函数y=ax2+bx+c
使用配方法，则当x=−b2a时，y有最大（小）值4ac−b24a．
3. 实际问题与二次函数的联系转化
【题型1 投球问题】
【例1】（2026·广东惠州·二模）粤BA正在广东全省21个市火热进行，惠州主场气氛爆棚，全民观赛氛围十分浓厚，如图是篮球运动员小帅在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，小帅投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米，求此抛物线的解析式．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计）．

【答案】抛物线解析式为y=−0.2x−2.52+3.5．
【分析】设抛物线解析式为y=ax−2.52+3.5，把4,3.05代入解析式即可得解．
【详解】解：由题意得抛物线图象的顶点坐标为2.5,3.5，且过点4,3.05，
设抛物线解析式为y=ax−2.52+3.5，
把4,3.05代入解析式得a4−2.52+3.5=3.05，
解得a=−0.2．
答：抛物线解析式为y=−0.2x−2.52+3.5．
【变式1-1】（2026·宁夏银川·三模）2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知：
①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：0,1；
②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米；
③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点38m～42m，球门高度0m～2.44m．
(1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式；
(2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号）
(3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离38≤x≤42的范围内，能否飞入球门？
【答案】(1)y=−1100x−202+5
(2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是20+103米．
(3)能
【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为y=ax−202+5，代入0,1即可求解；
（2）令y=2，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论．
（3）分别计算x=38，x=42的函数值，进一步判断即可．
【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为y=ax−202+5，
把0,1代入得，1=400a+5，
解得a=−1100，
∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为y=−1100x−202+5．
（2）解：令y=2，则2=−1100x−202+5，
解得x1=20+103，x2=20−103，
根据图象，头球点在最高点右侧，即x>20，x2=20−103舍去，
∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是20+103米．
（3）解：当x=38时，则y=−110038−202+5=5−3.24=1.760，
∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离38≤x≤42的范围内，能飞入球门．
【变式1-2】（2026·山西朔州·三模）根据以下素材，探索完成任务．
问题解决：
(1)任务一：求训练机发球后到落地前，羽毛球运动轨迹的函数表达式（不要求写自变量取值范围）
(2)任务二：小明在球网的另一侧接球，若羽毛球在离地面距离不少于100cm时为最佳击球高度，求最佳击球点与训练机的水平距离x的取值范围
(3)任务三：当ℎ=50时，运动员在点R处沿直线击球，想让球从网下穿过后落到O点右侧150cm的点N(150,0)，且球网下端离地面高度不低于20cm，该操作能否实现？请说明理由．
【答案】(1)羽毛球运动轨迹的函数表达式y=−1500(x−250)2+180
(2)3207m，
∴这辆货车能安全通过．
【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把x=±4代入求出函数值和车的高度作比较即可解题．
【详解】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为y=ax2+8，又知抛物线过点C8,6，
所以6=64a+8，
解得a=−132，
∴y=−132x2+8；
（2）略
【变式5-1】（2026·陕西宝鸡·一模）如图1是某海洋馆的玻璃隧道，图2是它的截面示意图，玻璃隧道截面可近似看作抛物线和矩形AOCB构成．矩形的长OC=6米，宽OA=1米，小明以O为原点，OC所在水平线为x轴、OA所在直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，在抛物线上点M35,4325处贴有一张“小心碰头”的温馨提示．
(1)求隧道截面所在抛物线的函数表达式；
(2)为保障游客观赏效果，清洁工人会对玻璃隧道进行定期清洁，某次清洁工人站在地面上清洁玻璃隧道时，能刷到的最大高度是其站立位置地面的正上方52米处（抛物线上的EF段清洁工未清洁，即点E、F到x轴的距离均为52米），此次清洁工人站在地面完成玻璃隧道清洁后，求未清洁部分最低两处的水平距离（即求E、F两点之间的距离）．
【答案】(1)y=−29x2+43x+1
(2)未清洁部分最低两处的水平距离为3米
【分析】（1）根据题意得到A0,1,B6,1，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意令y=52代入抛物线求解，得到E32,52,F92,52，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形AOCB是矩形，
∴OA=BC=1,OC=AB=6，
∴A0,1,B6,1，
设抛物线解析式为y=ax2+bx+ca≠0，点M35,4325在抛物线的图象上，
∴c=136a+6b+c=1925a+35b+c=4325，
解得，a=−29b=43c=1，
∴y=−29x2+43x+1；
（2）解：点E、F到x轴的距离均为52米，则令y=52，
∴−29x2+43x+1=52，
整理得，4x2−24x+27=0，
∴x=24±−242−4×4×278=24±128，
解得，x1=32,x2=92，
∴E32,52,F92,52，
∴EF=92−32=3，
∴未清洁部分最低两处的水平距离为3米．
【变式5-2】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【答案】(1)y=−29x−62+80≤x≤12
(2)能安全通过，
理由如下：如图，
由题意得：xA=122−22−3=2，
将x=2代入y=−29x−62+8，
则y=−29×2−62+8=409，
∵409−3.5=1718>0.5，
∴能安全通过．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入12,0即可求解a，继而得到函数解析式；
（2）先求出点A坐标，然后求出点A距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与0.5比较即可．
【详解】（1）解：由题意得，顶点为122,8，即6,8，
设抛物线的解析式为：y=ax−62+8a≠0
代入点12,0得a12−62+8=0，
解得：a=−29，
∴抛物线解析式为y=−29x−62+80≤x≤12；
（2）略
【变式5-3】（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究：
素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成．隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD=BE=3米，地面跨度DE=10米．
(1)【初步探究】如图2，过点M作MP⊥l，已知斜坡的坡角α=10∘，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米，sin10∘≈0.174，cs10∘≈0.985，tan10∘≈0.176）．
(2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式．
(3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高ℎ米”（即最大安全限高），求ℎ的值（精确到0.1米）．
【答案】(1)1.55米
(2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：y=−12125x2
(3)3.5米
【分析】（1）过点M作MP⊥l，代入数值得sin10°=MPMN≈0.174，进行计算，即可作答．
（2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线ACB的解析式为y=ax2(a