沪科版（2024）九年级上册（2024）21.3 二次函数与一元二次方程导学案及答案

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题型归纳
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31801" 【题型1 抛物线与x轴是否有公共点】 PAGEREF _Tc31801 \h 2
\l "_Tc31596" 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 PAGEREF _Tc31596 \h 4
\l "_Tc4685" 【题型3 抛物线与x轴的截线长】 PAGEREF _Tc4685 \h 7
\l "_Tc25394" 【题型4 图象法确定一元二次方程的近似解】 PAGEREF _Tc25394 \h 9
\l "_Tc30489" 【题型5 图象法解一元二次不等式】 PAGEREF _Tc30489 \h 13
\l "_Tc4621" 【题型6 利用不等式求二次函数中参数】 PAGEREF _Tc4621 \h 16
\l "_Tc15848" 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 PAGEREF _Tc15848 \h 18
\l "_Tc547" 【题型8 抛物线与x轴交点上的四点比较大小】 PAGEREF _Tc547 \h 21
考点1
二次函数与一元二次方程
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标．
（1）若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根．
（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；
（2）确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由x1取到x2时，对应y的值出现y1>0，y2y2，则说明x2是近似根；反之，则说明x1是近似根．从图象上观察，（x，y）离x轴越近，y值越接近0，而y=0时x的值就是方程的确切根．
【题型1 抛物线与x轴是否有公共点】
【例1】已知二次函数y=−12x2+bx+c的图象经过A0,−8，B−2,−20两点．
(1)求b，c的值；
(2)二次函数y=−12x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由．
【答案】(1)c=−8b=5
(2)有；2,0和8,0
【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数表达式得出b、c的方程组，解方程组即可；
（2）
【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式得：
c=−8−12×4−2b+c=−20，
解得：c=−8b=5．
（2）解：有，理由如下：
由（1）知，抛物线的表达式为y=−12x2+5x−8，
则Δ=52−4×−12×−8=9>0，
故抛物线与x轴有两个公共点，
令y=−12x2+5x−8=0，解得x=2或8，
故公共点坐标为2,0和8,0．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点坐标，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤，正确进行运算．
【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知二次函数y=−x2+2mx+4−m2（m为常数），则该二次函数的图象与x轴（ ）
A．有两个公共点B．有一个公共点
C．没有公共点D．无法确定公共点的个数
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，令y=0，则−x2+2mx+4−m2=0，再求出Δ=16>0，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：令y=0，则−x2+2mx+4−m2=0，
∵Δ=2m2−4×−1×4−m2=4m2+16−4m2=16>0，
∴该二次函数的图象与x轴有两个公共点，
故选：A．
【变式1-2】（24-25九年级上·北京顺义·期中）若二次函数y=x2−4x+m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．m≥−4B．m>−4C．m≤4D．m0
B．c