沪科版（2024）九年级上册（2024）21.3 二次函数与一元二次方程第1课时教学设计

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1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的解；(重点)
2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？
二、合作探究
探究点一：判断二次函数图象与x轴交点个数
【类型一】 二次函数图象与x轴交点情况判断
下列函数的图象与x轴只有一个交点的是( )
A.y＝x2＋2x－3 B.y＝x2＋2x＋3
C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2－2x＋1
解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点.故选D.
【类型二】 利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴
如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________.
解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，∴其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.
方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程.
【类型三】 利用抛物线与x轴交点情况确定字母取值(范围)
若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋eq \f(1,2)m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )
A.0 B.0或2
C.2或－2 D.0，2或－2
解析：若m≠0，根据二次函数与x轴只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点.当m≠0时，Δ＝(m＋2)2－4m(eq \f(1,2)m＋1)＝0，解得m＝2或－2；当m＝0时，原函数是一次函数，图象与x轴只有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点.故选D.
方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点，当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点，当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点.
探究点二：二次函数图象与x轴的交点坐标与一元二次方程根的关系
已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为________.
解析：因为抛物线经过点(3，0)，所以x＝3，y＝0是该函数的一组对应值.将x＝3，y＝0代入函数表达式，得0＝－32＋2×3＋m，解得m＝3.所以一元二次方程为－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
方法总结：本题先求出m的值，从而写出一元二次方程，然后解这个一元二次方程得出其解.也可以由图象得抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为(3，0).根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，则(3，0)和(－1，0)两点的横坐标就是所求方程的根，即x1＝－1，x2＝3.
【板书设计】
eq \a\vs4\al(二次函数,与一元二,次方程)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1.与x轴交点的情况判断,2.确定一元二次方程的解和解的, 情况、确定对称轴和字母系数, 的取值范围))