人教版（2024）九年级上册（2024）数学活动完整版课件ppt

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）数学活动完整版课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了导入课题，活动目标，①填写下表，n-1，n+3，n+2，二次项系数不为0，m-1≠0，m≠1，练一练等内容，欢迎下载使用。
点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以组成一个点阵.
今天我们就来看看点阵中隐藏了什么有趣的数学规律.
(1)通过观察点阵（数学模型），了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律. (2)探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式. (3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题. (4)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.
图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…….观察图形，完成下面各题.
····························……
①下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整
②若该三角点阵前n行的点数和是300，求行数n.
由①知.前n行的点数和为 ，解得n1=24，n2=-25(舍去)，即行数n为24.
③该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由.
前n行的点数和 ,解得n1= , n2= ,因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以三角点阵前n行的点数和不能是600.
④如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？
⑤在④中，三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明理由.
依题意，n(n+1)=600.解得n1=24，n2=-25(舍去).
如图2 是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，……，依此类推.
②第n层所对应的点数为 （n≥2）.
③写出n层正六边形点阵的总点数（n≥2）；
1+6×1+6×2+…+6(n-1)=1+6·=1+3n(n-1)
④如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？
1+3n(n-1)=331化简方程为：n2-n-110=0分解因式为：(n-11)(n+10)=0 解得：n1=11，n2=-10(舍去)， 所以共有11层.
⑤ 点阵设计大赛： 设计时间：5分钟. 设计要求： a .每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探究提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案. b.每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律.
1. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律.（1）下图反映了一个“三角形数”是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；
①1=1；②1+2= ；③1+2+3= ；④1+2+3+4= .
（2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式： 。 （3）2015是“三角形数”吗？为什么？
1+2+3+…+9=45
解：不是.“三角形数”都可以写成 的形式， 令2015= ， 解得n1= ，n2= . 因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以2015不是“三角形”数.
（4）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和. 结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式.
①1=12； ②1+3=22；③3+6=32； ④6+10=42；⑤ .
（5）通过猜想，写出（4）中与第n个点阵相对应的等式： .
（6）判断225是不是“正方形数”，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？
解：是. ∵152=225. ∴225是“正方形数”. 由(5)得， ，∴225可以看作105，120这两个相邻的“三角形数”之和.
2.如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解答有关问题： (1)在第n个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖(均用含n的代数式表示)；
(2) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
解：(2)第n个图共有(n2+5n+6)块瓷砖. 由n2+5n+6=506. 解得n1=20,n2=-25(舍去).∴n=20.
(3) 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖?
白瓷砖块数是n(n+1)=20×(20+1)=420,黑瓷砖块数是506-420=86.86×4+420×3=1604(元).共需1604元钱购买瓷砖.
(4) 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算说明为什么?
在第n个图中白瓷砖块数是n(n+1).则有n(n+1)=(n2+5n+6)-n(n+1)化简得n2-3n-6=0解得n1= , n2= .∵n为正整数，不合题意.∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是 ( ) A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0
解析 根据一元二次方程根的定义可知，将 x = 0 代入原方程，左右两边相等，则有 m2 - 1 = 0，解得 m = ±1. 舍去 1，应填 -1. 这种解题方法我们称之为“有根必代”.
例2 若关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m2 - 1 = 0 有一个根为 0，则 m = .
【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意.
1. (1) 关于 x 的一元二次方程 x2 + px − 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 .(2) 若 x = −2 是方程 ax2 + bx + 3 = 0 (a ≠ 0) 的一个解，则代数式 1 − 8a + 4b 的值是 ．(3) 若 x = a 是方程 x2 − x − 1 = 0 的一个根，则 −a3 + 2a + 2026 的值为________.
考点二 一元二次方程的解法
例3 (1) 用配方法解方程 x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变 为 ( ) A. (x - 1)2 = 6 B. (x + 2)2 = 9 C. (x + 1)2 = 6 D.( x - 2)2 = 9
(2) (易错题) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x + 36 = 0 的根，则该三角形的周长为 ( )A. 13 B. 15 C. 18 D. 13 或 18
例4 解方程 (x2 − 2x)2 − 5x2 + 10x + 6 = 0．
解：方程整理得 (x2 − 2x)2 − 5(x2 − 2x) + 6 = 0.
设 x2 − 2x = m，则原方程变为 m2 −5m + 6 = 0.
解得 m1 = 3，m2 = 2.
当 m = 3 时，x2 − 2x = 3，解得 x = 3 或 x = −1；
当 m = 2 时，x2 − 2x = 2，解得 x = 1± .
综上所述，原方程的解为 x1 = 3，x2 = −1，
2. 用适当的方法解方程：(1) x2 − 4x − 1 = 0；(2) (2x − 1)2 = (3 − x)2.
配方，得 x2 - 4x + 22 = 5，
(x - 2)2 = 5.
移项，得 x2 - 4x = 1.
a = 1，b = −4，c = −1.
(2) (2x − 1)2 = (3 − x)2.
即 2x −1 = 3 − x，或 2x − 1 = −3 + x.
∴ x1 = ，x2 = −2.
(2x − 1)2 − (3 − x)2 = 0.
则 (2x − 1 − 3 + x) (2x − 1 + 3 − x) = 0，
即 3x − 4 = 0，或 x + 2 = 0.
2x −1=±(3 - x)，