初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）数学活动教案及反思

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）数学活动教案及反思，共12页。
1.掌握反比例函数“乘积为定值”的本质，能通过矩形边长补全、密度计数据推导建立反比例函数模型，并绘制对应图象.
2.经历“计算—画图—建模”的探究过程，提升数形结合与从实际问题中抽象数学模型的能力.
3.感受反比例函数在几何、物理中的应用价值，激发用数学解释生活现象的兴趣.
1.从“矩形面积相等”“密度计浮力平衡”中提炼“乘积为定值”的关系，建立并验证反比例函数模型.（重点）
2.理解面积相等的矩形对角顶点的连线是反比例函数图象的一支，理解反比例函数中系数k的几何意义.（难点）
知识链接：今天我们探究两个结合学科与生活的问题，用反比例函数解答：
①多个面积相等的矩形，一边变长，邻边会怎么变？边长是否符合“乘积为定值”？连接这些矩形对角顶点会画出什么曲线？
②密度计漂浮在不同液体中，密度越大浸入深度越浅，这种“一增一减”的关系，能否用反比例函数表示？
探究点一：用矩形画双曲线
1.补全边长表格（推导反比例关系）
任务：这里有10个面积相等的矩形（面积固定为2），已知其中一边的长度，你能算出邻边的长度吗？比如一边长是1，邻边长就是2；一边长是3，邻边长是多少？
（学生补全表格，得出“一边长x×邻边长y＝2”，即y＝2x）
2.画图验证双曲线（实践操作）
请大家在方格纸上先画一个公共角∠A（90°），以∠A的两条边为矩形的邻边，依次画出这10个面积相等的矩形；标记每个矩形中∠A的对角顶点，再用平滑的曲线把这些点连起来.
观察思考：这条曲线的形状是不是和我们学过的反比例函数图象（双曲线）一致？
归纳总结：面积相等的矩形，两邻边长满足反比例函数关系（面积为定值），其对角顶点的连线就是反比例函数图象的一支（因为边长都是正数，所以只取第一象限的分支）.
探究点二：用简易密度计测量密度
1.推导函数关系（物理＋数学建模）
物理原理告诉我们：密度计漂浮时，浮力等于自身重力，即浮力＝ρ液体gV排＝ρ液体gh浸入S底面积＝mg；
把已知的密度计质量（7.2g）、底面积（1cm2）代入，就能得到 ρh＝7.2（这是一个定值），整理后就是h＝7.2ρ ——这正是反比例函数的形式.
2.补全数据表格（验证模型）
用h＝7.2ρ补全密度计在不同液体中的浸入深度数据，如液体密度是0.8g/cm3时，浸入深度就是7.20.8＝9（cm）；对比补全的数据和实际测量值，会发现误差很小——说明“浸入深度h与液体密度ρ”的反比例关系是成立的.
归纳总结：简易密度计的浸入深度与液体密度满足反比例函数h＝7.2ρ，这是物理原理与数学函数的结合应用.
1.下表是简易密度计在不同液体中的部分测量数据，已知浸入深度h（cm）与液体密度ρ（g·cm－3）满足反比例函数关系：
根据表格和反比例函数关系，下列说法正确的是（ B ）
A.该反比例函数解析式为h＝7.8ρB.白醋对应的浸入深度约为6.86cm
C.豆浆对应的浸入深度约为8.0cmD.液体密度越小，密度计浸入深度越浅
2.面积为12的矩形，一边长为x（x＞0），邻边长为y.当x从3增大到6时，y的值如何变化？结合反比例函数的特征说明原因.
解：反比例函数中k＝12＞0，在第一象限内，y随x的增大而减小.故当x从3增大到6时，y的值逐渐减小.
1.反比例函数：xy＝k（定值）→y＝kx，图象为双曲线（一增一减）
2.实际应用矩形：面积相等→两邻边长成反比例密度计：ℎ＝7.2ρ→浸入深度与液体密度成反比例


液体
白醋
酒精
豆浆
牛奶
洗衣液
糖水
ρ（g·cm－3）
1.05
0.78
1.03
1.02
1.20
1.35
h（cm）
？
9.23
？
7.06
6.0
？