初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）数学活动教案

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）数学活动教案，共12页。
1.掌握用二次函数求“和定两数”最大积的方法，能拟合刹车距离的二次函数模型．
2.经历“观察—猜想—建模—验证”过程，提升数据分析与建模能力，感受数学的实用性．
1.利用二次函数求两数的乘积最值，刹车距离的函数拟合．（重点）
2.抽象数学模型并验证合理性．（难点）
知识链接：
今天我们要探究的两个问题，恰好是这两个旧知的实际应用：①已知两数之和固定，如何用二次函数的性质找它们最大积？②刹车距离随车速“先慢后快”变化，如何用二次函数拟合出精准的数量关系？
探究点一：哪个积最大
（1）观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大：
91×99，92×98，…，98×92，99×91.
（2）观察下列两个三位数的积（两个乘数的百位上的数都是9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个积最大；
901×999，902×998，…，998×902，999×901.
观察猜想：计算前3组两位数的乘积：
91×99=9009，92×98=9016，93×97=9021，引导学生发现“两数越接近，积越大”，猜想“95×95的积最大”；同理推导三位数乘积，猜想“950×950的积最大”．
两位数模型构建：设第一个数的个位为x，则该数为90＋x，第二个数为100－x（两数和为190，固定不变），乘积y=（90＋x）（100－x）=－x2＋10x＋9000.结合“二次函数的性质”，a=－1＜0，顶点横坐标x=－102×（－1）=5，此时积最大，对应两数为95和95，验证猜想成立．
三位数模型迁移：设第一个数的后两位为x，则该数为900＋x，第二个数为1000－x（和为1900，固定不变），乘积y=（900＋x）（1000－x）=－x2＋100x＋900000.同理，顶点横坐标x=50，对应两数为950和950，此时积最大．
归纳小结：利用“二次函数顶点求最值”的核心性质，可得出结论——当两个数的和固定时，两数相等（或最接近）时积最大；解题核心流程为“设变量→建二次函数→找顶点求最值”．
探究点二：刹车距离与刹车时车速的关系
描点连线定类型：给出刹车测试数据（车速（km/h）：40，48，56，64，72，80；刹车距离（m）：17，22.4，27.9，35.3，43.4，52.8），学生分组以车速为横轴、刹车距离为纵轴描点，用平滑曲线连接后，观察到图象呈开口向上的抛物线，结合“函数模型拟合原则”，确定用二次函数拟合．
设刹车距离关于刹车时车速的函数解析式为y=ax2＋bx＋c，选取（40，17），（64，35.3），（80，52.8）三组典型数据代入，得方程组1600a＋40b＋c=17，4096a＋64b＋c=35.3，6400a＋80b＋c=52.8，解得近似解析式：y≈0.0083x2－0.099x＋7.7.将x=56代入验证，得y≈28.2，与实测值27.9误差较小，说明模型合理．
归纳小结：刹车距离与车速呈二次函数关系，结合“函数模型拟合原则”，可通过“描点定类型→代入求解析式→多组数据验误差”建立实用模型；该模型是对实际问题的近似刻画，误差在合理范围内即可判定有效．
1.某汽车刹车距离关于刹车时车速的函数解析式为y=0.005x2＋0.05x＋2，当车速为60 km/h时，刹车距离约为 23 m．
2.已知两个数的和为170，且十位数字均为8，个位数字之和为10.
（1）设其中一个数的个位数字为x，写出两数的乘积y关于x的二次函数解析式；
（2）求这两个数的最大积，并写出对应的两个数．
解：（1）y=（80＋x）（90－x）=－x2＋10x＋7200.
（2）最大积为7225，对应两数为85和85.
1.和定两数积最大：设变量→建函数模型→求最值（验证结论）．
2.刹车距离：代值计算＋分析近似模型的误差成因．