湘教版（2024）八年级上册（2024）小结与评价教案及反思

这是一份湘教版（2024）八年级上册（2024）小结与评价教案及反思，共16页。
课题
第3章 二次根式 小结与评价
单元
第3单元
学科
数学
年级
八年级上册
教学目标
1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子;
2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.
教学重点
含二次根式的式子的混合运算．
教学难点
综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
思考回顾
二次根式a在实数范围内有意义的条件是什么？
只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.反之也成立，即a有意义 a ≥ 0.
2. (a)2等于什么?a2等于什么？
(a)2=a(a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方
根的平方等于它本身；
即一个数的平方的算术平
方根等于它的绝对值.
3. 积的算术平方根的性质是什么？商的算术平方根的性质是什么？
积的算术平方根的性质:
a ⋅ b a b（a≥ 0，b ≥ 0）.
积的算术平方根，等于积中各因式的算术
平方根的积.
商的算术平方根的性质:
ba=ba（a> 0，b ≥ 0）.
商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
4. 什么是最简二次根式？如何把二次根式化成最简二次根式？
被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）. 这样的二次根式叫作最简二次根式.
例 26， x2+1
把二次根式化成最简二次根式的步骤：
(1)“一分”，即利用因式分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；
(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因数(或因式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
5. 如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？
先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的，与整式的混合运算顺序相同.
学生思考回答教师提出的问题。
引导学生回顾二次根式这章的知识点,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系，通过问题，检查学生对知识点的掌握程度，及时发现问题，查漏补缺。
注意事项
1. 二次根式a在实数范围内有意义的条件是a ≥ 0.
2. 对于任一实数a，有a2=|a|.
3.等式a·b=a⋅b成立需同时满足a ≥ 0，b ≥ 0.
4. 最简二次根式的被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）. 一般地，运算结果中的二次根式要化成最简二次根式.
5. 实数的运算律在二次根式的加、减、乘、除运算中仍然成立.
学生与教师一起总结。
帮助学生梳理二次根式这章需要重点注意的地方，更好的理解知识点。
典例精讲
题型一：二次根式的概念及性质
例1
下列各式中，是二次根式的是( C )
A. 35 B. −10 C. 4 D. a
例2
要使二次根式 3x−6 有意义，则 x 的取值范围是（ D ）
A. x ＞2 B. x ＜2
C. x ≤2 D. x ≥2
例3
二次根式(−2）2×6 化简的结果是（ A ）
A.26 B.－26 C. 6 D. 12
例4
将452化为最简二次根式，其结果是（ D ）
A.452 B.902 C. 9102 D.3102
题型二：二次根式的化简及运算
例5
下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ C ）
A.5与3 B. 35 与53
C.－82 与28 D.12 与6
例6
已知 a ＝ 5 ＋2， b ＝ 5 －2，则代数式 a2＋b2+7ab 的值为（ D ）
A. 25 B. ±5 C.3 D.5
例7
计算：
（46－32）÷22；
135×（23－1210）；
（5 48 －6 27 ＋4 15 ）÷ 3 .
（4）54−11 －411−7－23+7 .
解：（1）原式＝2 3 － 32 .
(2)原式＝ 85 ×2 3 － 85 × 1210
＝ 4530 －2.
（3）原式＝（5×43－6×33＋415）÷3
＝（2 3 ＋4 15 ）÷ 3
＝2＋4 5 .
（4）原式＝4＋11－（11＋7）－（3－7）
＝4＋11 －11－7 －3＋ 7
＝1.
例8
先化简，再求值： aba−b ÷（ 1a＋b ＋ 2ba2−b2 ），其中 a ＝ 5 ＋1， b ＝ 5 －1.
解：原式＝ aba−b ÷ a−b+2b（a＋b)(a−b） ＝ aba−b · （a＋b)(a−b）a＋b ＝ ab .
当 a ＝ 5 ＋1， b ＝ 5 －1时，
原式＝（ 5 ＋1）（ 5 －1）＝5－1＝4.
题型三：二次根式的实际应用
例9
已知一等腰三角形的两边长分别为 a ， b ，且 a，b满足 2a−3b+5 ＋（2 a ＋3 b －13）2＝0，则此等腰三角形的周长为 7或8 .
例10
已知长方形的长 a ＝ 12108 ，宽 b ＝ 1327 .
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长的大小关系.
解：（1）长方形的周长为
2×（ 12108 ＋ 1327 ）＝2×（3 3 ＋ 3 ）＝8 3 .
（2）长方形的面积为 12108 × 1327 ＝3 3 × 3 ＝9，
则正方形的边长为3，
∴此正方形的周长为12.
∵8 3 ＝ 192 ，12＝ 144 ，且 192 ＞ 144 ，
∴8 3 ＞12，
则长方形的周长大于正方形的周长.
拓展提升
例11
已知x＝12（13＋11），y＝12（13 －11），求下列各式的值.
（1） x2－ xy ＋ y2；（2） xy ＋ yx .
解：∵ x ＝ 12 （ 13 ＋ 11 ）， y ＝ 12 （ 13 － 11 ），
∴ x ＋ y ＝ 13 ， xy ＝ 12 .
（1） x2－ xy ＋ y2＝（ x ＋ y ）2－3 xy ＝13－ 32 ＝ 232 .
（2） xy ＋ yx ＝ （x＋y）2−2xyxy ＝ 13−112 ＝24.
学生独立解答。
通过典型例题，帮助学生回忆二次根式的知识点，及时发现问题，灵活运用本章知识解决问题，锻炼学生的解题能力。
让学生了解二次根式与实际生活的联系，体会数学在实际生活中的应用。
让学生学会灵活运用知识进行解题，体会二次根式与公式法的混合应用。
作业布置
完成本单元测试卷