初中数学3.3 二次根式的加法和减法第一课时教案及反思

这是一份初中数学3.3 二次根式的加法和减法第一课时教案及反思，共4页。
课题
3.3.二次根式的加法和减法（1）
单元
第3单元
学科
数学
年级
八年级上册
教材分析
本节是在学习了化简二次根式的基础上，进一步学习二次根式的加减.在化简二次根式的同时，引导学生概括出同类二次根式的概念，类比整式的加减运算中的合并同类项，给出二次根式的加减运算法则，进而进行二次根式的加减混合运算
核心素养
能力培养
经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法；通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美；培养学生的数学应用意识，发展学生分析问题、解决实际问题的能力.
教学目标
1.经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法法则；
2.掌握二次根式的加减运算.
教学重点
二次根式的加减法运算.
教学难点
被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
（新知导入）
问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式？
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点？
化简后被开方数相同
学生回忆，思考回答.
用旧知回顾的方式设置导入，培养学生的数学知识整体性思维，加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性.
新知探究
做一做:
计算：
（3+5）- 5 ； （2） 2（3+ 1）- 33.
（1）（3+5）-5
=3+（5 - 5） ……加法结合律
=3+ 0
=3.
（2）2（3+1）- 33
= 2 ×3 + 2 × 1 - 3 3……乘法对加法的分配律
= 23+ 2 - 33
=（2 - 3）×3+ 2 ……加法交换律和结合律，乘法对加法的分配律
=- 3+ 2 .
二次根式可合并的条件：
将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.
合并的方法：
先将二次根式化成最简二次根式，再将根号外的因数(或因式)相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，
注意：
几个二次根式能否合并， 不能直接从形式上判断， 需要从化简后的结果上判断.
几个最简二次根式能否合并只与被开方数有关， 与根号外的因数(或因式)无关.
思考:
（1）38+518等于多少？
（2）38 -827 +518等于多少？
由于被开方数不相同，因而无法像上面那样运算. 一般地，先将每个二次根式化成最简二次根式，再对被开方数相同的二次根式进行运算.
（1）38+518 = 3 × 22+ 5 × 32
= 62 + 152
=（6+ 15）×2
= 212 .
（2）38 -827 +518
= 3 × 22 - 8 × 33+ 5 × 32
= 62 - 243 + 152
= 212- 243.
二次根式加减法法则:
二次根式相加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
二次根式加减运算的步骤:
(1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式；
(2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式；
(3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
例1
计算：218 -50 + 1345 .
解： 218-50 + 1345=2×32- 52+13×35
= 62-52+5
=2+5.
做一做:
先计算 0. 5 - 132，再将你的结果与同学比较.
0. 5 - 132= 12 - 1412 =3412=382
二次根式加减运算的技巧 ：
(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式.
(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并.
例2
如图是一土楼的水平切面图，它由两个同心圆构成 . 已知大圆和小圆的面积分别为763. 02 m2和150. 72 m2，求圆环的宽度d（π取3. 14）.
解：设大圆和小圆的半径分别为 R，r，面积分别为 S1，S2，由 S1 = πR2，S2 = πr 2可知，R =S1π，r =S2π，则
d = R - r =S1π - S2π
= -
=93 -43 =53 （m）.
答：圆环的宽度d为53 m.
学生小组合作交流发现二次根式的被开方数相同是可以合并的.
学生在教师的引导下总结二次根式合并的条件，方法及注意事项.
学生思考，小组交流后作答.
学生总结二次根式加减法法则及运算步骤.
学生独立完成，小组交流.
学生独立完成，小组交流讨论.
学生分析题目，解决实际问题.
通过计算，让学生发现实数加法的交换律和结合律，以及实数乘法的结合律和对加法的分配律，对最简二次根式中被开方数相同的实数运算同样适用.
提高总结归纳能力，培养学生主动思考的能力.
从运算过程让学生知道，在进行二次根式的加减运算时，通常应先将每个二次根式化成最简二次根式，然后再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，但被开方数不变.
提高学生的抽象概括能力，进而掌握二次根式的加减运算方法.
提高学生二次根式加减法的计算能力.
通过做一做，引导学生总结二次根式加减运算的技巧，若被开方数中含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式.
让学生学会用二次根式加减法解决实际问题.
课堂练习
计算：
（1） 32+ 22 -2； （2） 3（5+ 2）- 55；
（3） 52+18； （4） 418 - 92；
（5） 102+ 38 - 72；
（6） 512 - 38- 227.
解：（1） 32+ 22 -2=42
（2） 3（5+ 2）- 55=-25+6
（3） 52+18=82
（4） 418 - 92=32
（5） 102+ 38 - 72=92
（6） 512 - 38- 227=43-62
2.计算：
（1） 2 -（38 + 27）；
（2）（23 - 58）-（ 75 - 18 ）；
（3）24 -0. 96 .
解：（1） 2 -（38 + 27）=-52 -27
（2）（23 - 58）-（ 75 - 18 ）=-33-72
（3）24 -0. 96 =856
学生利用二次根式加减法解答，小组交流讨论，派代表板书答案.
通过练习巩固二次根式加减法内容，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识.
课堂小结
1.二次根式合并的方法：
先将二次根式化成最简二次根式，再将根号外的因数(或因式)相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，
2.二次根式加减法法则：
二次根式相加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
3.二次根式加减运算的步骤:
(1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式；
(2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式；
(3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
学生回顾总结，教师系统归纳.
帮助学生归纳总结，巩固所学知识.
作业布置
必做题：教材习题3.3--学而时习之1题、2题
选做题：教材习题3.3--温故而知新5题（2）