湘教版（2024）八年级上册（2024）第3章 二次根式3.2 二次根式的乘法和除法第二课时教案

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课题
3.2二次根式的乘法和除法（第二课时）
单元
第3单元
学科
数学
年级
八年级上册
教材分析
二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础。
核心素养
能力培养
利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行计算和化简，培养学生良好的运算习惯，提高运算能力和推理能力；通过二次根式乘法类比得出二次根式除法渗透类比思想,培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值.
教学目标
1.掌握二次根式商的算术平方根的性质，会用它进行二次根式的化简和计算.
2.掌握二次根式的除法法则，能熟练地应用它进行二次根式除法运算.
教学重点
理解ba=ba（a> 0，b ≥ 0），ba=ba（a> 0，b ≥ 0），利用它们进行计算和化简.
教学难点
二次根式的除法运算及化简.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
（新知导入）
积的算术平方根的性质:
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
a ⋅ b =a ⋅b（a≥ 0，b ≥ 0）.
二次根式的乘法法则:
二次根式与二次根式相乘时，根指数不变，被开方数相乘.
a ⋅b=a ⋅ b （a≥ 0，b ≥ 0）
学生回忆，思考回答。
用旧知回顾的方式设置导入，培养学生的数学知识整体性思维，加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性.
新知探究
思考:
计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
（1）49= 23 ，49= 23 ；
（2）1649= 47 ，1649= 47 ；
发现：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
即ba=ba.
证明：一般地，如果a > 0，则a·1a=a·1a=1=1，
因此，1a=1a（a > 0）.
设a > 0，b ≥ 0，则ba=b·1a=b·1a=b·1a=ba.
因此得出：ba=ba（a> 0，b ≥ 0）.
上述等式就是商的算术平方根的性质 . 利用这一性质，可以化简二次根式.
a与1a互为倒数.
商的算术平方根的性质:
商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
ba=ba（a> 0，b ≥ 0）.
注意：
公式中的a，b既可以是一个数， 也可以是一个式子， 但必须满足a＞0，b ≥ 0.
利用商的算术平方根的性质可以把被开方数中含有分母的二次根式化成被开方数中不含分母的二次根式.
例3
化简下列二次根式：
（1）716； （2）95.
解：（1）716=716=74；
（2）95=95=35=3×55×5=355
化简二次根式时，最后结果要求分母中不含二次根式.
把ba=ba（a> 0，b ≥ 0）反过来，可得：
ba=ba（a> 0，b ≥ 0）
利用上述等式，可以进行二次根式的除法运算，运算结果中的二次根式要化成最简二次根式.
二次根式的除法法则:
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即
ba=ba（a> 0，b ≥ 0）
注意：
除法法则中的被开方数a，b 既可以是一个数，也可以是一个式子，但都必须是非负的且a 不为0， 若a=0，则式子无意义.
进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两个被开方数不能整除，可以对二次根式进行化简或变形后再相除.
例4
计算：
15÷3； （2）31456
解：（1）15÷3=153=153=5
31456=35146=3573=357×33×3=215
议一议：
小华与小楠两名同学在计算273时，做法分别如下：
（1）273=273= 9=3；
（2）273= 333= 3.
你更喜欢哪种做法？
喜欢（2） 的做法，计算量小.
例5
电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广 .已知电视塔高 h（km）与电视节目信号的传播半径r（km）之间满足 r = 2Rℎ（其中 R是地球半径）. 现有两座高分别为 h1 = 600 m，h2 = 450 m 的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？
解：设两座电视塔的传播半径分别为r1，r2.
因为r=2Rℎ ，600 m=0. 6 km，450 m=0. 45 km，
所以r1r2=2Rℎ12Rℎ2=2Rℎ12Rℎ2=ℎ1ℎ2
=×332=233
二次根式的除法法则的推广：
二次根式的除法法则的实质是逆用商的算术平方根的性质.
如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即
当二次根式根号外有因数(或因式)时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数(或因式)之商作为商的根号外的因数(或因式)，被开方数之商作为商的被开方数， 即
学生计算，并观察计算结果，总结规律.
学生在教师的引导下总结商的算术平方根的性质的注意事项。
学生独立完成，小组交流。
学生听讲，掌握二次根式的除法法则。
学生独立计算。
学生分析题目，计算解答。
学生听老师补充讲解。
根据思考这一环节，总结商的算术平方根的性质。
进一步理解公式，帮助学生记忆。
利用商的算术平方根的性质对二次根式进行化简，让学生掌握化简二次根式时，最后结果要求分母中不含二次根式.
让学生掌握二次根式的除法法则这一知识点。
会用二次根式的除法法则进行计算。
了解二次根式的除法在实际问题中的应用，会利用其解决实际问题。
二次根式的除法法则进一步补充讲解，拓展讲解。
课堂练习
1.化简下列二次根式：
（1）2516； （2）162169；（3）92 .
解：（1）2516=54 （2）162169=9213（3）92=322
2.计算：
（1）855÷211； （2）323；（3）2125 .
解：（1）855÷211=45
（2）323=6
（3）2125 =4155
学生利用商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则解答，小组交流谈论，派代表板书答案。
通过练习巩固，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。
课堂小结
1.商的算术平方根的性质:
商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
ba=ba（a> 0，b ≥ 0）
2.二次根式的除法法则:
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即
ba=ba（a> 0，b ≥ 0）
学生回顾总结，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
作业布置
必做题：教材习题3.2--学而时习之 2题、3题、4题
选做题：教材习题3.2--温故而知新 5题、6题、7题