2025-2026新初一数学暑假预习讲义（14讲）（新教材人教版）第01讲 正数和负数（学生版+解析）

这是一份2025-2026新初一数学暑假预习讲义（14讲）（新教材人教版）第01讲 正数和负数（学生版+解析），共4页。学案主要包含了新教材人教版，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1等内容，欢迎下载使用。

【知识框架+3个知识归纳+5个题型+课后作业】
模块二 正数和负数
细心观察图片中的数字，你有什么发现呢？这些数相信有的同学见过，甚至有的同学还能读出来．为什么会出现这些数呢？它们对我们的生活有帮助吗？要想解决上述问题，就需要搞清楚它们所代表的具体含义，下面我们一起来学习本节课的内容．

【知识点1 正数和负数】
1．正数：像30、+6、、这样的数叫做正数，正数都大于零；
2．负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：、、、．
【注】 = 1 \* GB3 ①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“”号一定不能省略； = 2 \* GB3 ②数0既不是正数也不是负数．
0的意义：数0既不是正数也不是负数．
（1）0是正负数的分界；（2）0可以表示“没有”；（3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示.
【知识点2 具有相反意义的量】
1.定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量.
2.表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示.
例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m.
【题型1 辨别正数、负数】
【例1】把下列各数填在相应的横线上：66，−9.5，17%，−182，56，0，−5113，2.07．
(1)正数：______________________．
(2)负数：______________________．
(3)既不是正数也不是负数：___________．
【变式1-1】在数字−1，0，2.5，+43，−1.732，106，−67中，正数有________，负数有________．
【变式1-2】下列各数：3，−5,−12，0，2，0.97，−0.21,−60%，9，223，85，1．其中正数有_______个，负数有_______个
【变式1-3】有下列各数：10，−8，+214，0，−300，−3.14．其中，正数有__________个，负数有__________个，__________既不是正数，也不是负数．
【题型2 用正、负数表示具有相反意义的量】
【例2】下面哪对量是具有相反意义的量?
(1)在知识竞赛中，得20分和扣10分．(2)一座水库蓄水量增加10000m3和减少12000m3．
(3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客．
(4)长方形的周长是24cm和面积是27cm2．
【变式2-1】找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米．
【变式2-2】（1）如果升降机下降10m记作−10m，那么上升15m记作什么？
（2）如果+40000元表示在银行存入40000元，那么−3000元表示什么？
（3）某盐业公司加工的袋装食盐，如果超过标准质量1g记作+1g，那么低于标准质量2g记作什么？
【变式2-3】如图有两张卡片，上面各标有四组词语．
(1)将具有相反意义的量配对，直接在横线上填序号：
Ⅰ—②，Ⅱ—______，Ⅲ—______，Ⅳ—______；
(2)若“+20%”表示增加20%，则“−6%”表示______．
【题型3 利用正、负数解决问题】
【例3】如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“×××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“−0.50D”，近视100度记录为“−1.00D”，等等．现有6位同学的验光记录如下：−0.50D,−1.25D,−2.50D,−0.75D,−1.75D,−2.25D．
通常，近视超过200度时就要持续佩戴眼镜进行视力矫正，在这6位同学中，有几位同学需要持续佩戴眼镜？
【变式3-1】某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，检测结果显示有5袋的质量符合标准，1袋的质量比标准质量少5g，4袋的质量比标准质量少2g，3袋的质量比标准质量多1g，4袋的质量比标准质量多3g，3袋的质量比标准质量多6g．请你借助正数、负数，用列表的方式记录样品的检测情况．
【变式3-2】某面粉车间生产一批面粉，要求每袋面粉的质量为“25±0.25kg”．这表明每袋面粉的标准质量是25kg，只要每袋面粉的质量不超出25+0.25kg，且不低于25−0.25kg，就是合格的．现称得一袋面粉的质量是24.8kg，这袋面粉的质量合格吗？请说明理由．
【变式3-3】如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“+5”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“−2”，再逆时针旋转3个小格记为“+3”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“+5,−2,+3”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“−15,+10,−5”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？
模块三 有理数的概念
某天毛毛看报纸，见到下面一段内容：冬季的一天，某地的最高气温为5 ℃，最低气温达到－9 ℃，平均气温是0 ℃，而同一天北京的气温为－2 ℃～6 ℃，这里出现了哪些数？我们到目前为止学过了哪些
数？你能试着将它们进行分类吗？今天我们要把大家学过的数进行分类命名．
【知识点3 有理数的概念】
1．有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数.
2．有理数的分类：
（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类：

（3）小数的分类
【注】注意以下几个概念的区分：
非负数：正数和零；非正数：负数和零；
非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；
非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．
【题型4 有理数的概念辨析】
【例4】下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ −π2不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式4-1】下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤−12不仅是有理数，而且是分数；⑥−0.9是小数，所以不是有理数．其中错误的说法有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【变式4-2】下列说法中，其中错误的说法的个数为（ ）
①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤带“−”号的数一定是负数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式4-3】①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________．
【题型5 有理数的分类】
【例5】把下列各数填在相应的括号里
−3，235，7，3.14，2025，−334，0，−5%，π
整数集合： ……
分数集合： ……
有理数集合： ……
非负整数集合： ……
【变式5-1】把下列各有理数填入相应的集合内：
−2，−213，0.6，−+3.5，0，−−3，−0.3．
负有理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
非负有理数集合：{ …}．
【变式5-2】把下列各数填在相应的横线上∶ ①−28，②125，③−π，④0，⑤2025，⑥−38， ⑦−0.1427，⑧95%⑨−3.14，⑩ 12．
(1)正有理数集合{ …}；
(2)负有理数集合{ …}；
(3)负分数集合{ …}；
(4)非负整数集合{ …}．
【变式5-3】下图中的三个圈分别表示负有理数集合，整数集合和正有理数集合．
(1)0应填在______区域，23应填入______区域，D区域表示的有理数是______；
(2)请将下列各数填入图中适当的区域内．
4，227，−1.2，−100，0，+2.25，−512，+10，−7，0.32
模块四 课后作业
1．如图是加工某零件的尺寸要求，现有的4件产品，直径尺寸（单位：mm）如下：45.04，44.09，44.98，45.01，则其中不合格的产品有___________件．

A．1件B．2件C．3件D．4件
2．下列语句中错误的有（ ）个．
①不带“−”号的数都是正数；②如果a是正数，那么−a一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④ 0℃表示没有温度．
A．1B．2C．3D．4
3．下列说法中，错误的有（ ）
① −247是负分数；② 1.5不是整数；③ 非负有理数不包括0；④ 3.14不是有理数；⑤0是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．写出一个既不是非正数又不是整数的数：___________．
5．算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是______．
6．在−1，+0.1，−1.732，25，−67，−125，−20%，+43，100中，哪些是正数，哪些是负数？
7．将下列各数填入相应的括号里：
−2.5，512，0，8，−2，π2，0.7，−23，−1.121121112⋅⋅⋅，34，−0.0·5·．
非负分数集合{___________…}；整数集合{___________…}；
有理数集合{___________…}；非正整数集合{___________…}．
8．将下列各数填入相应的集合圈内，
−12,−7,+2.6,−100,−234,9.2,0,1,−π2
9．生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示． 请根据表格信息回答下列问题：
(1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？
(2)今年 1 月和 4 月比去年同月增长率是负数表示什么意思？
(3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？
10．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：

(1)在A处的数是正数还是负数？
(2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？
(3)第2 028个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？
（解析版）第01讲 正数和负数、有理数（暑假预习讲义）
【新教材人教版】
【知识框架+3个知识归纳+5个题型+课后作业】
模块二 正数和负数
细心观察图片中的数字，你有什么发现呢？这些数相信有的同学见过，甚至有的同学还能读出来．为什么会出现这些数呢？它们对我们的生活有帮助吗？要想解决上述问题，就需要搞清楚它们所代表的具体含义，下面我们一起来学习本节课的内容．

【知识点1 正数和负数】
1．正数：像30、+6、、这样的数叫做正数，正数都大于零；
2．负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：、、、．
【注】 = 1 \* GB3 ①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“”号一定不能省略； = 2 \* GB3 ②数0既不是正数也不是负数．
0的意义：数0既不是正数也不是负数．
（1）0是正负数的分界；（2）0可以表示“没有”；（3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示.
【知识点2 具有相反意义的量】
1.定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量.
2.表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示.
例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m.
【题型1 辨别正数、负数】
【例1】把下列各数填在相应的横线上：66，−9.5，17%，−182，56，0，−5113，2.07．
(1)正数：______________________．
(2)负数：______________________．
(3)既不是正数也不是负数：___________．
【答案】(1)66，17%，56，2.07
(2)−9.5，−182，−5113
(3)0
【分析】本题考查了正负数的定义，解题关键是明确正负数的定义，大于0的数是正数，在正数前面添一个负号的数叫负数，0既不是正数也不是负数，解题时根据正负数的概念直接判断即可．
【详解】（1）解：根据正数和负数的概念知，正数有：66，17%，56，2.07；
（2）负数有：−9.5，−182，−5113；
（3）既不是正数也不是负数的是0．
故答案为：（1）66，17%，56，2.07；（2）−9.5，−182，−5113；（3）0．
【变式1-1】在数字−1，0，2.5，+43，−1.732，106，−67中，正数有________，负数有________．
【答案】 2.5,+43,106 −1,−1.732,−67
【分析】本题主要考查正负数的定义，关键是熟记定义判断即可．根据正数与负数的定义即可判断．
【详解】解：根据大于零的数为正数，小于零的数为负数可得正数有2.5,+43,106，
负数有−1,−1.732,−67，
故答案为：2.5,+43,106；−1,−1.732,−67．
【变式1-2】下列各数：3，−5,−12，0，2，0.97，−0.21,−60%，9，223，85，1．其中正数有_______个，负数有_______个
【答案】 7 4
【分析】本题考查了正负数的定义，熟练掌握正负数的定义是解题的关键．
根据大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数求解即可．
【详解】解：正数有3,2,0.97,9,223,85,1，总共7个，
负数有−5,−12,−0.21,−60%，总共4个，
故答案为：7，4．
【变式1-3】有下列各数：10，−8，+214，0，−300，−3.14．其中，正数有__________个，负数有__________个，__________既不是正数，也不是负数．
【答案】 2 3 0
【分析】本题主要就是考查了对正、负数的相关知识的理解掌握与运用的情况，对正数、负数、零的概念的理解是解本题的关键；
根据大于零的数是正数，小于零的数是负数，0即不是正数也不是负数求解即可．
【详解】解：下列各数中10，−8，+214，0，−300，−3.14，
其中，正数有10、+214，共2个，负数有−8、−300、−3.14，共3个，0既不是正数，也不是负数．
故答案为：2；3；0．
【题型2 用正、负数表示具有相反意义的量】
【例2】下面哪对量是具有相反意义的量?
(1)在知识竞赛中，得20分和扣10分．
(2)一座水库蓄水量增加10000m3和减少12000m3．
(3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客．
(4)长方形的周长是24cm和面积是27cm2．
【答案】(1)是
(2)是
(3)是
(4)否
【分析】本题主要考查相反意义的量的定义，掌握 “相反意义的量需同时具备‘相反意义’和‘同类量’两个条件” 是解题的关键．依据相反意义的量的定义判断即可．
【详解】（1）∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少，
∴ 得分为正，扣分为负，具有相反意义．
（2）∵ 蓄水量增加10000m3表示水量增加，减少12000m3表示水量减少，
∴ 增加为正，减少为负，具有相反意义．
（3）∵ 下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加，
∴ 下去为负，上来为正，具有相反意义．
（4）∵ 周长24cm是长度量，面积27cm2是面积量，
∴ 两者无相反方向含义，故无相反意义．
【变式2-1】找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米．
【答案】具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧
【分析】具有相反意义的量必须是同类量，且只具有相反意义，量不一定相同，所以要先看它们是否是同一类量，再看它们是否意义相反，据此进行逐个分析即可作答．本题考查了正负数的意义．
【详解】解：依题意，具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧．
【变式2-2】（1）如果升降机下降10m记作−10m，那么上升15m记作什么？
（2）如果+40000元表示在银行存入40000元，那么−3000元表示什么？
（3）某盐业公司加工的袋装食盐，如果超过标准质量1g记作+1g，那么低于标准质量2g记作什么？
【答案】（1）+15m；（2）在银行取出3000元；（3）−2g
【分析】本题考查了相反意义的量“用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是他们都是数量”，熟记相反意义的量的定义是解题关键．根据相反意义的量的定义求解即可得．
（1）根据上升与下降的意义相反解答即可得；
（2）根据存入与取出的意义相反解答即可得；
（3）根据超过与低于的意义相反解答即可得．
【详解】解：（1）因为上升与下降的意义相反，
所以如果升降机下降10m记作−10m，那么上升15m记作+15m．
（2）因为存入与取出的意义相反，
所以如果+40000元表示在银行存入40000元，那么−3000元表示在银行取出3000元．
（3）因为超过与低于的意义相反，
所以如果超过标准质量1g记作+1g，那么低于标准质量2g记作−2g．
【变式2-3】如图有两张卡片，上面各标有四组词语．
(1)将具有相反意义的量配对，直接在横线上填序号：
Ⅰ—②，Ⅱ—______，Ⅲ—______，Ⅳ—______；
(2)若“+20%”表示增加20%，则“−6%”表示______．
【答案】(1)③，④，①
(2)减少6%
【分析】本题考查了相反意义的量，解题的关键是理解相反意义的量的定义，即两个量的意义相反，并且数量可以用正负数表示．
（1）根据相反意义的量的定义，找出与各组词语意义相反的量；
（2）根据正负数表示相反意义的量的规则，分析“−6%”的意义．
【详解】（1）解：相反意义的量配对
II“运出250吨”，相反意义的量是“运进”，所以II－③，
III“上升6°C”，相反意义的量是“下降”，所以III—④，
IV“支出100元”，相反意义的量是“收入”，所以IV－①
故答案为：③，④，①；
（2）解：因为“+20%＂表示增加20%，
所以“−”表示与“增加”相反的意义，即“减少”，因此“−6%”表示减少6%．
故答案为：减少−6%．
【题型3 利用正、负数解决问题】
【例3】如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“×××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“−0.50D”，近视100度记录为“−1.00D”，等等．现有6位同学的验光记录如下：−0.50D,−1.25D,−2.50D,−0.75D,−1.75D,−2.25D．
通常，近视超过200度时就要持续佩戴眼镜进行视力矫正，在这6位同学中，有几位同学需要持续佩戴眼镜？
【答案】有2位同学需要持续佩戴眼镜
【分析】本题考查正负数的实际应用，掌握知识点是解题的关键．
根据正负数的定义，即可解答．
【详解】解：由题意，得
−0.50D表示近视50度； −1.25D表示近视125度；−2.50D表示近视250度；−0.75D表示近视75度；−1.75D表示近视175度；−2.25D表示近视225度；
∴在这6位同学中，近视超过200度的有2位同学，即有2位同学需要持续佩戴眼镜．
【变式3-1】某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，检测结果显示有5袋的质量符合标准，1袋的质量比标准质量少5g，4袋的质量比标准质量少2g，3袋的质量比标准质量多1g，4袋的质量比标准质量多3g，3袋的质量比标准质量多6g．请你借助正数、负数，用列表的方式记录样品的检测情况．
【答案】见解析
【分析】此题考查了相反意义的量，标准质量记为0，比标准质量多记为正数，比标准质量少记为负数，据此求解即可．
【详解】解：样品的检测情况记录表格如下：
【变式3-2】某面粉车间生产一批面粉，要求每袋面粉的质量为“25±0.25kg”．这表明每袋面粉的标准质量是25kg，只要每袋面粉的质量不超出25+0.25kg，且不低于25−0.25kg，就是合格的．现称得一袋面粉的质量是24.8kg，这袋面粉的质量合格吗？请说明理由．
【答案】这袋面粉的质量合格，理由见详解
【分析】本题考查了正负数的应用，先理解题意，算出25+0.25kg=25.25kg，25−0.25kg=24.75kg，结合24.75kg