初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）第1章 因式分解1.3 公式法第二课时教案设计

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）第1章 因式分解1.3 公式法第二课时教案设计
课题
1.3公式法（第二课时）
单元
第1单元
学科
数学
年级
八年级上册
教材分析
本节课是公式法分解因式的第二课时，是学习平方差公式因式分解的基础上进一步学习因式分解，运用完全平方公式因式分解不仅是现阶段的学习重点，也为以后学习分式的通分和约分, 二次根式的计算与化简，以及解方程都奠定了基础.
核心素养
能力培养
1.学生能够抽象实际生活的问题中的数量关系，概括提公式法(运用完全平方公式因式分解)的实际意义，并运用完全平方公式因式分解解决现实中的应用问题；在对完全平方公式因式分解的探究中，了解完全平方公式在实际生活中的应用；
2.通过对运用完全平方公式进行因式分解的探究学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.
教学目标
1.会用完全平方公式对多项式进行因式分解；
2.经历探索运用完全平方公式分解因式的过程，体会逆向思维的作用，渗透化归思想；
3.体会从正、反两个方向认识和研究事物的方法.
教学重点
用完全平方公式分解因式.
教学难点
识别一个多项式是否适合完全平方公式.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
（新知导入）
1.什么叫做因式分解？
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解.
2.我们已学习过什么因式分解的方法？
提公因式法.
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
学生根据已学知识回答.
用旧知回顾的方式设置导入，培养学生的数学知识整体性思维，加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性.
新知探究
说一说：
请说出完全平方公式.
完全平方公式1：（x + y）2 = x2 + 2xy + y2，
完全平方公式2：（x - y）2 = x2 - 2xy + y2.
上述公式中的 x，y，可以分别用任何数或任意多项式代入.
例如，在完全平方公式1中，将y用2代入得到等式
（x + 2）2 = x2 + 4x + 4.
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x2 + 4x + 4因式分解：
x2 + 4x + 4 =（x + 2）2.
完全平方公式分解因式:
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即 a²+2ab+b²= (a+b)²
a²-2ab+b²= (a-b)²
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
例5
把多项式9x2 - 6x + 1因式分解.
分析：由于9x2 =（3x）2，1 = 12，2⋅3x⋅1 = 6x，因此9x2 - 6x + 1符合完全平方公式 2右边的形式，于是把这个公式从右到左使用，就可把 9x2 - 6x +1因式分解.
解:9x2 - 6x + 1 =（3x）2 - 2⋅3x⋅1 + 12 =
（3x - 1）2.
议一议：
与同学交流，具有什么特征的多项式可用完全平方公式分解因式？
可以用完全平方公式分解因式的多项式的特征：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
例6
把下列多项式因式分解：
（1）-4x2 + 12xy - 9y2； （2） x5 + 2x3 y + xy2.
解：（1） -4x2 + 12xy - 9y2
=-（4x2 - 12xy + 9y2）
=-［（2x）2 - 2⋅2x⋅3y +（3y）2］
=-（2x - 3y）2
（2） x5 + 2x3 y + xy2
= x（x4 + 2x2 y + y2）
= x［（x2）2 + 2 ⋅x2 ⋅y + y2］
= x（x2 + y）2
例7
把多项式x4 - 2x2 + 1因式分解.
解:x4 - 2x2 + 1
=（x2）2 - 2⋅x2⋅1 + 12
=（x2 - 1）2
=［（x + 1）（x - 1）］2
=（x + 1）2（x - 1）2
做一做：
可以利用完全平方公式把多项式（x + y）2 - 4（x + y）+ 4因式分解吗？试一试.
解：将x + y看作一个整体，则
（x + y）2 - 4（x + y）+ 4
=（x + y）2 - 2 ⋅（x + y）⋅ 2 + 22
=（x + y - 2）2
因式分解的步骤：
一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式或多项式)；
二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解；
三查：检查每个因式是否被分解彻底．
学生根据已学知识回答.
学生在教师的引导下总结.
学生根据完全平方公式的特点进行因式分解.
学生回答.
学生合作思考回答，说出先提公因式，再用公式计算.
学生讨论尝试解答.
通过问题，引导学生独立思考，引出新知识点.
培养学生的观察能力，总结归纳能力.学习运用完全平方公式进
行因式分解的条件——完全平方式的特点.
通过例题，展示如何应用完全平方公式进行因式分解.
加深用完全平方公式分解因式的条件的理解.
帮助学生综合掌握提公因式法和运用完全平方公式因式分解，提
高学生的计算能力.
让学生用整体思维的方式解决问题.
课堂练习
1.下面的多项式能否用完全平方公式分解因式？说明理由.
（1） x2 - 12xy + 36y2； （2） x2 - 10x - 25；
（3） 9x2 y2 - 3xy + 1； （4）-2xy - x2 - y2.
解：(1)能用，符合完全平方公式分解因式的结构特点.
(2)不能用， x2 与-25不同号.
(3)不能用，- 3xy不是首尾项之积的2倍.
(4)能用，符合完全平方公式分解因式的结构特点.
2.把下列多项式因式分解：
（1） x2 + 2x + 1； （2） x2 + 8x + 16；
（3） x2 - 10x + 25； （4） 16y2 - 24y + 9；
（5） x4 + 2x2 + 1； （6） 3x4 + 6x3 y + 3x2 y2.
解：(1)原式=（x+1）2
(2)原式=（x+4）2
(3)原式=（x-5）2
(4)原式=（4y-3）2
(5)原式=（x2+1）2
(6)原式=3x2（x+y）2
学生利用已学知识解答，小组交流讨论，派代表展示答案.
通过练习巩固本课所学，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识.
课堂小结
完全平方公式分解因式:
1.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
a²+2ab+b²= (a+b)²
a²-2ab+b²= (a-b)²
2.结构特征：
（1）必须是三项式(或可以看成三项的)；
（2）有两个同号的数或式的平方；
（3）中间有两底数之积的±2倍.
学生回顾总结本节知识点，教师系统归纳.
帮助学生归纳总结，巩固所学知识.
作业布置
必做题：教材习题1.3--学而时习之 2题
选做题：教材习题1.3--温故而知新 3题、5题